Ejercicios De Conjuntos Resueltos.docx

Ciclo 2017-II Escuela Profesional de Escuela Académico Profesional de Administración y Negocios Internacionales

Trabajo académico

3502-35101

MATEMÁTICA I

Docente: Ciclo:

Datos del alumno:

Mg. HECTOR CHECASACA ARPITA 1

1

Sección:

Nota:

Módulo I

Forma de publicación:

Apellidos y nombres:

LEIDY ROSMERI SILVA ARRASCUE Código de matrícula:

2017203136

Publicar su archivo(s) en la opción TRABAJO ACADÉMICO que figura en el menú contextual de su curso

Panel de control:

Uded de matrícula:

AYACUCHO Fecha de publicación en campus virtual DUED LEARN:

Hasta el Domingo 05 de Noviembre 2017 (Hora peruana) Recomendaciones: 1. Recuerde verificar la correcta publicación de su Trabajo Académico en el Campus Virtual antes de confirmar al sistema el envío definitivo al Docente. Revisar la previsualización de su trabajo para asegurar archivo correcto.

2.

Las fechas de publicación de trabajos académicos a través del campus virtual DUED LEARN están definidas en la plataforma educativa, de acuerdo al cronograma académico 2017-II por lo que no se aceptarán trabajos extemporáneos.

3.

Las actividades de aprendizaje que se encuentran en los textos que recibe al matricularse, servirán para su autoaprendizaje mas no para la calificación, por lo que no deberán ser consideradas como trabajos académicos obligatorios.

NOMBRE: LEIDY ROSMERI SILVA ARRASCUE CURSO: MATEMATICAS TEMA: CONJUNTOS, ECUACIONES E INECUACIONES PROFESOR: Mg. HECTOR CHECASACA ARPITA CILCLO: I CODIGO: 2017203136

AÑO:

Ejercicios de conjuntos resueltos 1. En una clase de 50 alumnos, se practica tres deportes: Atletismo, Básquet y Fulbito. *

Los que practican atletismo o fulbito pero no básquet son 30.

*

Los que practican básquet o fulbito pero no atletismo son 27.

*

Los que practican atletismo y fulbito son 7.

*

Los que practican fulbito pero no atletismo o básquet son 15.

*

Los que no practican estos deportes son la cuarta parte de los que practican básquet y fulbito pero no atletismo.

*

4 practican atletismo y básquet pero no fulbito.

*

Los que practican básquet pero no atletismo o fulbito son 4. ¿Cuántos practican solo dos deportes o no practican ninguno?

U=50

2

A 7-X X

4

B

F 8+X+7+15+X+4+8+4+2=50 15+15+X+18=50 X+48=50 X+2

∴

(7-X)+4+8+2

7-X+?=30 22-X+?=30

5+8+2=19

¿=8+X

Practican solo dos deportes solo 19 alumnos

2. En un salón de clases de 47 alumnos se sabe que a 30 les gusta Matemática, a 20 les gusta Lenguaje y a 25 les gusta Inglés. A 14 les gusta Matemática y Lenguaje, a 13 Matemática e inglés y a 15 les gusta Lenguaje e inglés. Si a 12 les gusta los tres cursos. ¿A cuántos alumnos no les gusta ninguno de los cursos mencionados? U=47

M=30

NINGUN CURSO

2

15

M M

MM

2 12

1

3 3

I=25

9

L=20

14 matemáticas y lenguaje

12 +2+1=15

13 matemáticas y ingles

12+3+2=17

15 lenguaje y ingles

12+3+1=16

sumamos todos los elementos 12+15+2+1+3+3+9=45

47-45=2 12 los tres cursos ¿A cuántos alumnos no les gusta ninguno de los cursos mencionados? Repta: NO LES GUSTA NINGÚN CURSO A 2 ALUMNOS

3. De “m” azafatas, 46 leen francés, 36 leen alemán, 27 leen español, 19 leen francés y alemán, 8 leen francés y español, 10 leen español y alemán y 3 leen los 3 idiomas. ¿Cuál es el valor de “m”?

“m” azafatas

solución:

46 leen francés

3-10=7

36 leen alemán

3-8=5

27 leen español

3-19=16

19 leen francés y alemán

46-24=22

8 francés y español

36-26=10

10 español y alemán

27-15=12 M= 22+16+3+5+12+7+10=75

3 leen los tres idiomas

Cuál es el valor de “m” el valor de” m” seria 75

U=75

F=46 22 5

12 E=27

3

7

16

10

A=36

4. En

un salón de clase de 50 alumnos, aprueban matemática 30; física 30, castellano 35; matemática y física 18, física y castellano 19; matemática y castellano 20 y 10 aprueban los tres cursos. ¿Cuántos no aprueban ninguno de los tres cursos?

50 alumnos

solución:

30 matemáticas

¿Cuántos alumnos no aprueban

18-10=8

ninguno de los tres cursos?

30 física

19-10=9

no aprueban ninguno de los cursos

35 castellano

20-10=10

2

18 matemáticas y física

10+10+8=28-30=2

19 física y castellano

10+9+8=27-30=3

20 matemáticas y castellano 10 estudian los tres cursos

10+10+9=29-35=6 10+10+9+6+8+3+2=48-50=2

50-48=2

X=2

U=50

M=30

JALARON

2

2 8

10 10

6 C=35

9

3 F=30

ECUACIONES Resuelve A. 𝟖(𝒙 − 𝟑) +

𝟓 𝒙−𝟒

= 𝟔(𝟏 + 𝒙) +

𝟓 𝒙−𝟒

− 𝟐𝟐 ;cs E R - {4}

Solución:

(𝒙−𝟒)(𝟖)(𝒙−𝟑) 𝒙−𝟒

+

𝟓

𝑿−𝟒

𝟖(𝑿𝟐 +𝟕𝑿+𝟓 𝑿−𝟒

=

=

(𝑿−𝟒)(𝟔)(𝟏−𝑿) 𝑿−𝟒

+

−𝑿+𝟓𝑿−𝟒)𝟔+𝟓−𝟐𝟐𝑿+𝟖𝟖 𝑿−𝟒

𝟓 𝑿−𝟒

;

−

𝟐𝟐(𝑿−𝟒 𝑿−𝟒

𝑪𝑺 𝑬 𝑹 − {𝟒}

𝟖(𝑿𝟐 − 𝟓𝟔𝑿 + 𝟗𝟔 + 𝟓 = −𝟔𝑿𝟐 + 𝟑𝟎𝑿 − 𝟐𝟒 + 𝟓 − 𝟐𝟐𝑿 + 𝟖𝟖 𝟖𝑿𝟐 − 𝟓𝟔𝑿 + 𝟏𝟎𝟏 = 𝟔𝑿𝟐 + 𝟖𝑿 + 𝟔𝟗 𝟖𝑿𝟐 + 𝟔𝑿𝟐 − 𝟓𝟔𝑿 − 𝟖𝑿 + 𝟏𝟎𝟏 − 𝟔𝟗 = 𝟎 𝟏𝟒𝑿𝟐 − 𝟔𝟒 + 𝟑𝟐 = 𝟎 𝟕𝑿𝟐 − 𝟑𝟐𝑿 + 𝟏𝟔 = 𝟎

(𝟕𝑿 − 𝟒)(𝑿 − 𝟒) = 𝟎

Multiplico y me sale los siguientes resultados

X1,2 =

−(−𝟑𝟐)±√(−𝟑𝟐)𝟐 −𝟒(𝟕)(𝟏𝟔) 𝟐 (𝟕)

𝟑𝟐 ± √+𝟏𝟎𝟐𝟒 − 𝟒𝟒𝟖 𝟑𝟐 ± √𝟓𝟕𝟔 𝟑𝟐 ± 𝟐𝟒 = = 𝟏𝟒 𝟏𝟒 𝟏𝟒 𝟑𝟐+𝟐𝟒

𝑿𝟏 =

𝟏𝟒

𝑿𝟏 = 𝟒

𝑿𝟐 = 𝑿𝟐 =

RESOLVIENDO CON FORMULA General

𝑿=𝟒

𝟑𝟐−𝟐𝟒 𝟏𝟒 𝟖 𝟏𝟒

=

𝟒 𝟕

𝟕𝑿𝟐 − 𝟑𝟐𝑿 + 𝟏𝟔 = 𝟎 (𝟕𝑿 − 𝟒)(𝑿 − 𝟒) = 𝟎

𝑿 = 𝟒⁄𝟕

𝟒

𝟕𝑿 − 𝟒 = 𝟎 ; 𝑿 = 𝟕 𝑿−𝟒 =𝟎 ; 𝑿=𝟒 𝟕𝑿𝟐 − 𝟑𝟐𝑿 + 𝟏𝟔 = 𝟎 𝟕

− 𝟒 → −𝟒

𝟏

Sus puntos críticos son

-4 y

−𝟐𝟖 −𝟑𝟐

−𝟐𝟖

− 𝟒→

−𝟑𝟐

(𝟕𝑿 − 𝟒)(𝑿 − 𝟒) = 𝟎

∴ 𝑿 = { 𝟒;

𝟒 𝟕

} ; 𝑪𝑺 ∈ 𝑹 − {𝟒}

𝟒

𝑹𝑷𝑻𝑨: 𝑿 = 𝟕

B) Resuelve 𝑿𝟐 −𝟒+𝟓 𝑿𝟐 +𝟔𝑿+𝟏𝟎

𝑿+𝟑 −𝟐 ] 𝑿−𝟐

=[

𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰𝑶𝑵 𝑿𝟐 −𝟒+𝟓 𝑿𝟐 −𝟔𝑿+𝟏𝟎

=

(𝑿−𝟐)𝟐

𝑿𝟐 −𝟒𝑿+𝟓

(𝑿+𝟑)𝟐

𝑿𝟐 +𝟔𝑿+𝟏𝟎

=

𝑿𝟐 −𝟒𝑿+𝟒 𝑿𝟐 +𝟔𝑿+𝟗

SE MULTIPLICAN

(𝑋 2 − 4𝑋 + 5)(𝑋 2 − 6𝑋 + 9) = (𝑋 2 + 6𝑋 + 10)(𝑋 2 − 4𝑋 + 4) 𝑋 4 − 4𝑋 3 + 5𝑋 2 + 6𝑋 3 − 24𝑋 2 + 30𝑋 + 9𝑋 2 − 36𝑋 + 45 = 𝑋 4 + 6𝑋 3 + 10𝑋 2 − 4𝑋 3 − 24𝑋 2 − 40𝑋 + 4𝑋 2 + 24𝑋 + 40 SE ELIMINAN LOS 𝑿𝟒

𝟐𝑿𝟑 − 𝟏𝟎𝑿𝟐 − 𝟔𝑿 + 𝟒𝟓 = 𝟐𝑿𝟑 − 𝟏𝟎𝑿𝟐 − 𝟏𝟔𝑿 + 𝟒𝟎 SE ELIMINAN 𝟐𝑿𝟑 𝒀 𝑳𝑶𝑺 𝟏𝟎𝑿𝟐 QUEDANDO

𝟓 = −𝟏𝟎𝑿

𝑿=−

𝟏 𝟐

C) Resuelve 𝑿 − √𝑿𝟐 − 𝟐𝟏 = 𝟕 SOLUCION: 𝑿 = √𝑿𝟐 − 𝟐𝟏 = 𝟕

;

𝑿𝟐 − 𝟐𝟏 ≥ 𝟎

(𝑿 − 𝟕)𝟐 = (√𝑿𝟐 − 𝟐𝟏 )𝟐

𝑿𝟐 − √𝟐𝟏)𝟐 ≥ 𝟎

𝑿𝟐 − 𝟏𝟒𝑿 + 𝟒𝟗 = 𝑿𝟐 − 𝟐𝟏

(𝑿 + √𝟐𝟏)(𝑿 − √𝟐𝟏) ≥ 𝟎

SE ELIMINAN LAS X2 −𝟏𝟒𝑿 + 𝟒𝟗 = −𝟐𝟏

𝑿𝟐 − 𝟐𝟏 ≥ 𝟎

𝟒𝟗 + 𝟐𝟏 = 𝟏𝟒𝑿

𝑿𝟐 − (√𝟐𝟏 )𝟐 ≥ (𝑿 + √𝟐𝟏)(𝑿 − √𝟐𝟏) ≥ 𝟎

𝟏𝟒𝑿 = 𝟒𝟗 + 𝟐𝟏

X E -{<-∞; -√21 } ∪ {+√21: + ∞ }

+

-

+

𝟏𝟒𝑿 = 𝟕𝟎 -√21

𝑿=

𝟕𝟎 𝟏𝟒

=𝟓

-4.5

D. halla el valor de x en (√𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 + √𝟗𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟕) = (𝟏 + 𝟐𝒙)𝟐 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 + √𝟗𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟕 = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏 (√𝟗𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟕) = (𝟑𝒙 +)𝟐 𝟗𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟕 = 𝟗𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟏 √𝒙𝟐 + 𝟕 = 𝒙 + 𝟏

√21 +4.5

(√𝒙𝟐 + 𝟕) = (𝒙 + 𝟏)𝟐 𝒙𝟐 + 𝟕 = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 𝟔 = 𝟐𝒙 𝒙=𝟑

E. resuelve

√𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟖 + √𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒 = √𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟐

SOLUCION: 𝟐𝑿𝟐 + 𝟖𝑿 + 𝟏𝟐√(𝑿𝟐 + 𝟒𝑿 + 𝟖)(𝑿𝟐 + 𝟒𝑿 + 𝟒) = 𝟐𝑿𝟐 + 𝟖𝑿 + 𝟏𝟐 𝟐√(𝑿𝟐 + 𝟒𝑿 + 𝟖)(𝑿𝟐 + 𝟒𝑿 + 𝟒) = 𝟐𝑿𝟐 + 𝟖𝑿 + 𝟏𝟐 (𝑿𝟐 + 𝟒𝑿 + 𝟖)(𝑿𝟐 + 𝟒𝑿 + 𝟒) = 𝟎 𝑿𝟐 + 𝟒𝑿 + 𝟖 = 𝟎 −𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄

𝑿𝟐 + 𝟒𝑿 + 𝟒 = 𝟎

(𝑿 + 𝟐)𝟐 = 𝟎

𝟐𝒂

{ 𝑿𝟏 = −𝟐 −𝟒±√𝟏𝟔−𝟒(𝟏)𝟖 𝟐(𝟏) −𝟒±√𝟏𝟔−𝟑𝟐 𝟐 −𝟒±√−𝟏𝟔 𝟐

→

−𝟒±𝟒√−𝟏 𝟐

= −𝟐 ± 𝟐𝒊

∴ 𝒙𝟐 = −𝟐 + 𝟐𝒊 𝒙𝟑 = −𝟐 – 𝟐𝒊

2. resuelve en R las siguientes inecuaciones 𝒙−𝟖

a. resolver 𝒙+𝟏𝟐 < 𝟎 𝒙−𝟖 𝒙+𝟐

<𝟎

(𝒙−𝟖)(𝒙+𝟐) 𝒙+𝟐

< 𝟎(𝒙 + 𝟐); 𝒙 ≠ −𝟐

(𝒙 − 𝟖)(𝒙 + 𝟐) < 𝟎 Puntos críticos {𝒙 − 𝟖 =→ 𝒙 = 𝟖

{𝒙 + 𝟐 = 𝟎 → 𝒙 = −𝟐

O

+

O

-

−∞ -2

0

+

∴ 𝑪. 𝑺. 𝑿 ∈< −𝟐; 𝟖 >

+∞

8

B) CALCULAR EL CONJUNTO DE VALORES DE “X” PARA LO CUALES EL NÚMERO:

𝑵 = √𝑿𝟐 − 𝟓𝑿 + 𝟒 ∈ 𝑹 Entonces: 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 ≥ 𝟎 𝑿 −𝟒 𝑿 −𝟏 (𝑿 − 𝟒)(𝑿 − 𝟏) ≥ 𝟎 +

1

+ 4

C) RESOLVER 𝑿

𝟏

𝟐𝑿

+ 𝟐𝑿 ≥ 𝟑−𝟒𝑿+𝑿𝟐 𝑿𝟐 −𝟓𝑿+𝟔

SOLUCION: 𝑿(𝟐𝑿) (𝑿𝟐 −𝟓𝑿+𝟔)(𝟐𝑿) 𝟐𝑿𝟐 +𝑿𝟐 −𝟓+𝟔 (𝟐𝑿)(𝑿𝟐 −𝟓𝑿+𝟔

+

≥

𝟏(𝑿𝟐 −𝟓𝑿+𝟔 (𝟐𝑿)(𝑿𝟐 −𝟓+𝟔 𝟐𝑿 𝟑−𝟒𝑿+𝑿𝟐

≥

𝟐𝑿 𝟑−𝟒𝑿+𝑿𝟐

Puntos críticos {x-4=0 x=4 {x-1=0 x=1

𝒙 ∈ < −∞; 𝟏] ∪ [𝟒; +∞ >

𝟑𝒙𝟐 −𝟓𝒙+𝟔 (𝟐𝒙)(𝒙𝟐 −𝟓𝒙+𝟔)

≥

𝟑𝒙𝟐 −𝟓𝒙+𝟔 (𝟐𝒙)(𝒙𝟐 −𝟓𝒙+𝟔)

−

𝟐𝒙 𝒙𝟐 −𝟒𝒙+𝟑 𝟐𝒙

≥𝟎

𝒙𝟐 −𝟒𝒙+𝟑

(𝟑𝒙𝟐 −𝟓𝒙+𝟔)(𝒙𝟐 −𝟒𝒙+𝟑)−𝟐𝒙(𝟐𝒙)(𝒙𝟐 −𝟓𝒙+𝟔) (𝟐𝒙)(𝒙𝟐 −𝟓𝒙+𝟔)(𝒙𝟐 −𝟒𝒙+𝟑) 𝟑𝒙𝟒 −𝟏𝟕𝒙𝟑 +𝟑𝟓𝒙𝟐 −𝟑𝟗𝒙+𝟏𝟖−𝟒𝒙𝟒 +𝟐𝟎𝒙𝟑 −𝟐𝟒𝒙𝟐 (𝟐𝒙)(𝒙𝟐 −𝟓𝒙+𝟔)(𝒙𝟐 −𝟒𝒙+𝟑)

≥𝟎 ≥𝟎

−𝟒𝒙𝟒 +𝟑𝒙𝟑 +𝟏𝟏𝒙𝟐 −𝟑𝟗𝒙+𝟏𝟖 (𝟐𝒙)(𝒙−𝟑)(𝒙−𝟐)(𝒙−𝟏)(𝒙−𝟑)

≥𝟎

−𝒙𝟒 +𝟑𝒙𝟑 +𝟏𝟏𝒙𝟐 −𝟑𝟗𝒙+𝟏𝟖 (𝟐𝒙)(𝒙−𝟑)(𝒙−𝟐)(𝒙−𝟏)(𝒙−𝟑)

≥ 𝟎 ; 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: −𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 + 𝟏𝟏𝒙𝟐 − 𝟑𝟗𝒙 + 𝟏𝟖

(𝒙−𝟑)(𝒙−𝟑)(−𝒙𝟐 −𝟑𝒙+𝟐) (𝟐𝒙)(𝒙−𝟑)(𝒙−𝟐)(𝒙−𝟏)(𝒙−𝟑) −𝒙𝟐 −𝟑𝒙+𝟐 (𝟐𝒙)(𝒙−𝟐)(𝒙−𝟏)

-1 +3 +11 -39 +18

≥𝟎

3 0

3

≥ 𝟎 ; 𝒙 ≠ 𝟑, 𝟎, 𝟐, 𝟏

-1

33

0

-18

11 -6 0

-3 -9 6

3 -1

-3

2

0

Luego:−𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 + 𝟏𝟏𝒙𝟐 − 𝟑𝟗𝒙 + 𝟏𝟖 ≅ (𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟑)(−𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐) Hallando puntos críticos: ∗𝟏 −𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟎

∆ = (−𝟑)𝟐 − 𝟒(𝟏)(𝟐) = 𝟏𝟕 𝟑−√𝟏𝟕 X1=

𝟐(−𝟏) 𝟑+√𝟏𝟕

x2=

∗𝟏 𝟐𝒙 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟎

𝟐(−𝟏)

= 𝟎, 𝟓𝟔𝟏𝟓 = −𝟑, 𝟓𝟔𝟏𝟔 +

+

-

+

-

-

∗𝟐 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟐 -3,56

∗𝟑 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟏 –

0

0,56

1

2

𝑿 ∈< −∞; −𝟑. 𝟓𝟔𝟏𝟔] ∪< 𝟎; 𝟎 − 𝟓𝟔𝟏𝟓] ∪< 𝟏; 𝟐 >

D) ¿Entre qué limites debe estar comprendido “n” para que la inecuación: x2 + 2n x + n  3/16, se verifique para todo valor real de “x” 𝑿𝟐 + 𝒏𝒙 + 𝒏 > 𝟑⁄𝟏𝟔 𝒕𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆: 𝒙 ∈ 𝑹 Solución:

𝒙𝟐 + 𝒏𝒙 + 𝒏

−𝟑

>𝟎

𝟏𝟔

𝒔𝒂𝒃𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆: −𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄

𝒙𝟏,𝟐 =

𝟐𝒂

𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒒𝒖𝒆: 𝒙𝟏,𝟐 ∈ 𝑹

𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 ≥ 𝟎 −𝟑

𝒏𝟐 − 𝟒(𝟏)( ) ≥ 𝟎 𝟏𝟔

𝒏𝟐 − 𝟒𝒏 +

𝟒(𝟑)

≥𝟎

𝟏𝟔 𝟑

𝒏𝟐 − 𝟒𝒏 + ≥ 𝟎 𝟒

𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒄𝒓𝒊𝒕𝒊𝒄𝒐𝒔: 𝒏𝟐 − 𝟒𝒏 + 𝟑⁄𝟒 = 𝟎 ∆= (−𝟒)𝟐 − 𝟒(𝟏)(𝟑⁄𝟒) = 𝟏𝟑 𝒏𝟏 =

𝒏𝟐 =

𝟒−√𝟏𝟑 𝟐(𝟏)

= 𝟎. 𝟏𝟗𝟕𝟐𝟐

𝟒+√𝟏𝟑 𝟐(𝟏)

= 𝟑. 𝟖𝟎𝟐𝟖

𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐:

-

+ 0.19722

+ 3.8028

∴ 𝒏 ∈< −∞; 𝟎. 𝟏𝟗𝟕𝟐𝟐] ∪ [𝟑. 𝟖𝟎𝟐𝟖; +∞ >

E) RESOLVER: √𝟐𝑿 + 𝟐𝟑 > 𝑿 + 𝟒 SOLUCION: 2

(√𝟐𝑿 + 𝟐𝟑) > (𝑿 + 𝟒)𝟐 𝟐𝑿 + 𝟐𝟑 > 𝑿𝟐 + 𝟖𝑿 + 𝟏𝟔 𝟎 > 𝑿𝟐 + 𝟖𝑿 − 𝟐𝑿 + 𝟏𝟔 − 𝟐𝟑 𝟎 > 𝑿𝟐 + 𝟔𝑿 − 𝟕 𝟎 > (𝑿 + 𝟕)(𝑿 − 𝟏) 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒄𝒓𝒊𝒕𝒊𝒄𝒐𝒔: 𝑿 + 𝟕 = 𝟎 → 𝑿 = −𝟕 𝑿−𝟏=𝟎→𝑿=𝟏 𝒂𝒅𝒆𝒎𝒂𝒔: 𝟐𝒙 + 𝟐𝟑 ≥ 𝟎 𝑿≥

−𝟐𝟑 𝟐

𝑿 ≥ −𝟏𝟏. 𝟓 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐:

+ -11.5

-7

+ 1

∴ 𝑪. 𝑺. 𝑿 ∈ < −𝟕; 𝟏 >

F) RESOLVER LA INECUACION:

𝟑

√𝑿𝟑 − 𝟕 < 𝑿 − 𝟏

SOLUCION: 𝟑

(√𝑿𝟑 − 𝟕) < (𝑿 − 𝟏)𝟑 𝑿𝟑 − 𝟕 < 𝑿𝟑 − 𝟑𝑿𝟐 + 𝟑𝑿 − 𝟏 𝑿𝟑 − 𝑿𝟑 + 𝟑𝑿𝟐 − 𝟑𝑿 − 𝟕 + 𝟏 < 𝟎 𝟑𝑿𝟐 − 𝟑𝑿 − 𝟔 < 𝟎 3

+3

1

-2 => 𝟑𝑿𝟐 − 𝟑𝑿 − 𝟔 < 𝟎 (𝟑𝑿 + 𝟑)(𝑿 − 𝟐) < 𝟎 𝒉𝒂𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒄𝒓𝒊𝒕𝒊𝒄𝒐𝒔: 𝟑𝒙 + 𝟑 = 𝟎 → 𝒙 = −𝟏 𝒙−𝟐=𝟎→𝒙=𝟐

-

+

+

2

-1

𝒙 ∈< −𝟏; 𝟐 >

G) RESOLVER: (𝑿 − 𝟑)𝟑 (𝑿𝟐 − 𝟏)𝟐 (𝑿 − 𝟏)𝟓 𝑿(𝑿 − 𝟔)𝟔 > 𝟎 SOLUCION: (𝑿 − 𝟑)𝟑 (𝑿𝟐 − (𝟏))𝟐 (𝑿 − 𝟏)𝟓 𝑿(𝑿 − 𝟔)𝟔 > 𝟎 (𝑿 − 𝟑)𝟑 ((𝑿 + 𝟏)(𝑿 − 𝟏))𝟐 (𝑿 − 𝟏)𝟓 𝑿(𝑿 − 𝟔)𝟔 > 𝟎 (𝑿 − 𝟑)𝟑 (𝑿 + 𝟏)𝟐 (𝑿 − 𝟏)𝟐 (𝑿 − 𝟏)𝟓 𝑿(𝑿 − 𝟔)𝟔 > 𝟎

P

-

I

-

I

+

-1

0

I

-

1

P

+

3

+ 6

𝑪. 𝑺: < 𝟎; 𝟏 >∪< 𝟑; 𝟔 >∪< 𝟔; +∞ >

H) √|𝑿 − 𝟐| − 𝟐 ≤ 𝑿 SOLUCION: 2

(√|𝑿 − 𝟐| − 𝟐) ≤ 𝑿𝟐 |𝑿 − 𝟐| − 𝟐 ≤ 𝑿𝟐

|𝟐𝑿𝟐 + 𝑿 − 𝟓| > |𝑿𝟐 − 𝟐𝑿 − 𝟗|

I)

(𝟐𝑿𝟐 + 𝑿 − 𝟓 + 𝑿𝟐 − 𝟐𝑿 − 𝟗)(𝟐𝑿𝟐 + 𝑿 + 𝟓 − 𝑿𝟐 + 𝟐𝑿 + 𝟗) (𝟑𝑿𝟐 − 𝑿 − 𝟏𝟒)(𝑿𝟐 + 𝟑𝑿 + 𝟒) > 𝟎 (𝟑𝑿 − 𝟕)(𝑿 + 𝟐)(𝑿 + 𝟒)(𝑿 − 𝟏) > 𝟎 𝟕

𝑷. 𝑪 = 𝟑 ; −𝟐; −𝟒; 𝟏

+

-4

+ -2

1

+ 7 3

𝟕

𝒙 ∈< −∞; −𝟒 >∪< −𝟐; 𝟏 >∪< 𝟑 ; +∞ >

J) √√𝟐 − 𝒙 + 𝟑 ≤ √𝒙 + 𝟒 √𝒙 + 𝟒 ≥ √√𝟐 − 𝒙 + 𝟑 𝒙 + 𝟒 ≥ 𝟎 ∩ 𝟑 + √𝟐 − 𝒙 ≥ 𝟎 ∩ 𝒙 + 𝟒 ≥ 𝟑 + √𝟐 − 𝒙 i)

√𝟐 − 𝒙 ≥ −𝟑 𝟐−𝒙≥𝟎∩𝟐−𝒙≥𝟗 𝟐 ≥ 𝒙 ∩ −𝟕 ≥ 𝒙 𝒙 ∈< −∞, 𝟕]

ii)

𝒙 + 𝟏 ≥ √𝟐 − 𝒙 √𝟐 − 𝒙 ≥ 𝒙 + 𝟏 𝟐 − 𝒙 ≤ 𝟎 ∩ 𝒙 + 𝟏 ≥ 𝟎 ∩ 𝟐 − 𝒙 ≥ 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 𝟐 ≤ 𝒙 ∩ 𝒙 ≥ −𝟏 ∩ 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 ≤ 𝟎

3 − √3 2

-1

-7

−3√3 2

2

2

3. Resolver los siguientes ejercicios, justificando tu respuesta: (1.5 punto por cada inciso) a. En el gráfico de la función f: R  R definida por f(x) = ax2 + bx + c, a  0 es: Y

(0; 2)

(r; 0) (s; 0)

X

(1; –1)

a. Si el vértice de una función cuadrática tiene por coordenadas (0; 2) y pasa por el punto (1; 3), halla la ecuación de dicha función cuadrática. 𝒔𝒆𝒂: 𝒚 = 𝒇(𝒙)𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄; 𝒂 ≠ 𝟎 𝒔𝒂𝒃𝒆𝒎𝒐𝒔: 𝑽 (𝒉, 𝒌)𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆: 𝒉 = 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔:

−𝒃 𝟐𝒂

;𝒌 =

𝑽 (𝟏, −𝟏) (𝟎, 𝟐) ≅ (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏

𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐: 𝑽 (𝟏, −𝟏) ; 𝒉 = 𝟏 𝒚 𝒌 = −𝟏

𝒓𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒉 𝒚 𝒌 −𝒃 𝟐𝒂

=𝟏

𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐 𝟒𝒂

−𝒃 = 𝟐𝒂 𝒃 = −𝟐𝒂 … (𝒊)

= −𝟏 … (𝒊𝒊)

𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐 𝟒𝒂

𝒓𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐: (𝒊) 𝒆𝒏 (𝒊𝒊): 𝟒𝒂𝒄−(−𝟐)𝟐 𝟒𝒂 𝟒𝒂𝒄−(𝟒𝒂𝟐 ) 𝟒𝒂 𝟒𝒂𝒄−𝟒𝒂.𝒂 𝟒𝒂 𝟒𝒂(𝒄−𝒂) 𝟒𝒂

= −𝟏 = −𝟏

= −𝟏

= −𝟏

𝒄 − 𝒂 = −𝟏 … (𝒊𝒊𝒊) 𝒂𝒅𝒆𝒎𝒂𝒔: (𝒙𝟏, 𝒚𝟏 ) = (𝟎, 𝟐) => 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝟐 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝟐 = 𝒂(𝟎)𝟐 + 𝒃(𝟎) + 𝒄 𝟐=𝒄 𝒓𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 "c" en (iii) 𝒄 − 𝒂 = −𝟏 𝟐 − 𝒂 = −𝟏 → 𝟐 + 𝟏 = 𝒂 𝟑=𝒂 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆"a" 𝒆𝒏 (𝒊) 𝒃 = −𝟐𝒂 𝒃 = −𝟐(𝟑) => 𝒃 = −𝟔 ∴ 𝒍𝒂 𝒆𝒄. 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟐 𝒂 ∴ 𝑽(𝟎, 𝟐) (𝒙, 𝒚) = (𝟏, 𝟑) 𝒉= 𝟎=

−𝒃 𝟐𝒂 −𝒃 𝟐𝒂

−𝒃 = 𝟎

𝒌= 𝟐=

𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐 𝟒𝒂 𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐 𝟒𝒂

𝒃=𝟎

𝟐= 𝟐= 𝟐= 𝟐=

𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐 𝟒𝒂 𝟒𝒂𝒄−(𝟎)𝟐 𝟒𝒂 𝟒𝒂𝒄−𝟎 𝟒𝒂 𝟒𝒂𝒄 𝟒𝒂

𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ; 𝒂 ≠ 𝟎 =>

𝟑 = 𝒂(𝟏)𝟐 + 𝒃(𝟏) + 𝒄

𝟑=𝒂+𝒃+𝒄 𝟑=𝒂+𝟎+𝟐 𝟑−𝟐=𝒂 𝟏=𝒂

∴ 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ; 𝒂 ≠ 𝟎 => 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟎 + 𝟐 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐