Ejercicios De Algebra Matricial Y Sistemas De Ecuaciones Lineales

TALLER 1. GEOMETRÍA VECTORIAL Y ANALÍTICA FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA. PREPARACIÓN PARA EL PRIMER PARCIAL Profesor: Jaime Andres Jaramillo González Los ejercicios marcados con ** son de especial interés para la preparación del parcial. Estudiar los ejercicios de las páginas 96 a 104 del texto guía. Prestar especial atención a los ejercicios 18-20. A. **Para cada enunciado coloque V o F según considere la proposición verdadera o falsa. Para aquellos en que su respuesta sea F dé una breve justificación o utilice un contraejemplo. 1. ( ) El rango de la matriz de coeficientes de un SEL no puede ser mayor que el rango de su matriz aumentada. 2. ( ) Siempre un sistema de ecuaciones lineales (SEL) con mayor número de ecuaciones que de incógnitas es inconsistente. 3. ( ) Si un SEL tiene más incógnitas que ecuaciones, tiene infinitas soluciones 4. ( ) En general el producto de matrices no es conmutativo, pero si A y B ε Rn, entonces los productos AB y BA son posibles de realizar, de modo que AB=BA 5. ( ) Si AB = AC, entonces B = C 6. ( ) ( A + B) 2 = A 2 + 2 AB + B 2 7. ( ) Para toda matriz Amxn , A t A es simétrica. 8. ( ) En una matriz antisimétrica todos los elementos de la diagonal son ceros 9. ( ) Si A y ( A b ) son la matriz de coeficientes y la matriz aumentada de un SEL, y si rango(A)=n, entonces: rango( A b )=n ó rango( A b )=n+1. (n es un natural) 10. ( ) ( AB ) 2 = A 2 B 2 11. ( ) ( AB) 2 = A( AB ) B 12. ( ) Si el número de renglones de la matriz A es igual al número de columnas de la matriz B entonces la matriz BA existe y tiene tantas columnas como B y tantos renglones como A. 13. ( ) Ninguna matriz simétrica puede ser antisimétrica 14. ( ) El producto de dos matrices simétricas (compatibles bajo la multiplicación) es otra matriz simétrica 15. ( ) (A+B)(A-B) = A 2 − B 2

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16. ( ) La propiedad conmutativa, que en general no se aplica para el producto de matrices, es válida para el producto de dos matrices siempre y cuando una sea simétrica y la otra sea antisimétrica 17. ( ) La transpuesta de una matriz escalonada reducida también es escalonada reducida 18. ( ) Toda matriz en forma escalonada reducida es simétrica 19. ( ) Al sumar dos matrices escalonadas, cuadradas y por supuesto del mismo orden, la matriz que se obtiene es triangular superior 20. ( ) No es posible que un SEL con mayor número de ecuaciones que de incógnitas tenga solución única. Respuestas punto A: 1. V. 2. F. 3. F. 4.F. 5. F. 6. F. 7. V. 8. V. 9. V. 10. F. 11. F. 12. F. 13. F. 14. F. 15.F. 16. F. 17. F. 18. F. 19. V. 20. V. B. **Resuelva los siguientes SEL y muestre su representación gráfica: − 8 x + 4 y = −36 5 x − 2 y = 20 − 9 x + 12 y = −36 23. 12 x − 16 y = 21 20.

14 x − 21 y = −42 − 6 x + 9 y = 18 9 7 − x + y = 31 8 4 24. 9 7 x − y = −62 4 2 21.

− 13 x + 11y = 19 − 2 x − 7 y = 21 − x + 3y − z = 4 25. x + 4 y = 5 2x − 6 y + 2z = 3 22.

(Tenga en cuenta en el ejercicio 25: una ecuación lineal con tres incógnitas puede representarse como un plano en el espacio) C. Resuelva los siguientes SEL 26.

2x − 3y = 9 4x + 3y = 9

29.

2x + 3y + 4z = 1 3x + 4 y + 5 z = 3

27.

3x − 2 y = 8 − 6 x + 4 y = 16

4x − 3y = 1 30. 2 x + y = −7 − x + y = −1

3 1 x − y =1 2 3 28. 1 1 2x − y = − 2 2 x + 3 y − 3 z = −5 31. 2 x − y + z = −3 − 6 x + 3 y − 3z = 4

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x+ y+ z + w=0 x + y + 2 z + 2w = 0 33. 2 x + 2 y + 3z + 4w = 1 2 x + 3 y + 4 z + 5w = 2

2 x1 + x 2 + x 3 = 0 32. x1 − 2 x 2 − 2 x 3 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0

− x + 2 y + z − 3w = 3 3x − 4 y + z + w = 9 34. − x− y+ z+w=0 2 x + y + 4 z − 2w = 3

2 x1 − x 2 + 2 x 3 + x 4 = 5 35. − x1 + x 2 + 4 x 3 − x 4 = 3 3x1 − 2 x 2 − x 3 = 0 D. Dada la matriz aumentada del SEL reducido, determine si es consistente o inconsistente, en el primer caso, escriba su solución: 1  0 35.  0 0 

3 0 0 0

0 1 1 −2 0 0 0 0

0 0   4 − 2 1 0  0 1 

1  0 36.  0 0 

0 1 0 0

1 0 0 0

0 − 4  0 3  1 0  0 0 

E. Encuentre, si es posible, los valores de k para los cuales el sistema: 36. ** 5x1 + x2 -2x3 = 4 x1 + 3x2 +2x3 = -2 2x1 +3x2 +(k2+3)x3 = k + 2

Tenga: a. Solución única b. Infinitas soluciones c. Sea inconsistente

F. **Compruebe que la propiedad: ( AB) t = B t A t se cumple para las siguientes matrices: 6  3   B = − 5 2   4 − 1  

 − 1 2 0  37. A =   5 − 6 5  3 − 2   38. A =  5 0   0 − 3  

−1 0 3   B =   0 2 − 4

 − 2 − 1 − 1 0   0 1 0 39. A =  0  3 2 4 6  

0 − 2   1 − 1 B= 2 1    0 2   

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G. **Demostraciones 40. Sean A y B dos matrices antisimétricas ε Rn, demuestre que A+B es antisimérica 41. Sea A ε Rn, demuestre que la matriz A + A t es simétrica 42. Si A y B ε Rn son matrices antismétricas, demuestre que AB-BA es antisimétrica 43. Si A y B ε Rn son matrices antismétricas, demuestre que ABA es antisimétrica

H. Problemas 44. Al preguntar en mi familia cuántos hijos son, yo respondo que tengo tantas hermanas como hermanos y mi hermana mayor responde que tiene doble número de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hijos e hijas somos? 45. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas son 50, si las patas son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase? 46. En una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a $8 000= y otros a $1 200= con los que han obtenido $192 000=. ¿Cuántos libros han vendido de cada precio? 47. En una reunión hay 22 personas, entre hombres, mujeres y niños. El doble del número de mujeres más el triple del número de niños, es igual al doble del número de hombres. a. Con estos datos, ¿se puede saber el número de hombres que hay? b. Si, además, se sabe que el número de hombres es el doble del de mujeres, ¿cuántos hombres, mujeres y niños hay? 48. Por 5 kilos de papa, 6 de yuca y 8 de frijol se pagan $35 400=. Por 4 de papa, 5 de yuca y 8 de frijol $32 100=. Y por 7 de papa, 7 de yuca y 1 de frijol $ 25 200=. Encuentre el precio de cada producto. 49. Una compañía produce tres marcas de alicates: groso, transverso y ergos los costos de producción de una unidad son $28 000=, $39 000=, y $47 000= y sus precios de venta $36 000=, $49 000= y $61 000= respectivamente. Si la producción diaria de 350 alicates representa un costo total de $13 616 000= y por su venta se facturan $17 484 000=, determine cuantos alicates de cada marca son elaborados diariamente.

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50. En una fábrica de barro se elaboran semanalmente 15 940 tejas y 72 200 ladrillos. Tres constructoras requieren por cada casa los siguientes materiales:

Constructora Construplus Material Tejas Ladrillos

Incora

460 2000

Ingegamma 840 3600

420 7220

a. ¿Cuántas casas puede construir cada constructora de modo que se consuma exactamente la producción de una semana de la fábrica? b. ¿Cuál alternativa entre las anteriores permite que Ingegamma tenga la mayor participación?

51. Una distribuidora se ha surtido de lápices y lapiceros. Cada fábrica hace el siguiente suministro por cada pedido:

Fábrica Milimétrico artículo Lápices Lapiceros

450 900

Peter

Feligro 1800 4200

450 1500

a) ¿Cuántos pedidos deben hacerse a cada fábrica para disponer de 24 300 lápices y 56 400 lapiceros? b) Según las posibilidades obtenidas en el literal anterior, qué alternativa representa un menor costo para la distribuidora si un pedido a Peter cuesta 4 veces el de uno a Milimétrico, y un pedido a Feligro cuesta un 50% más que un pedido a Milimétrico? 52. **Biradol Ltda. Ha entregado los siguientes insumos a una empresa de confección : 144 cortes de tela, 270 marquillas, 396 botones La cantidad de estos insumos que requiere cada prenda se especifica en el siguiente cuadro: Insumo Cortes de tela

Marquillas

Botones

Prenda

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Chaqueta Overol Camisa

3 12 1

3 15 2

3 18 3

El acuerdo hecho entre Biradol Ltda. y la empresa de confección es que se confeccionaran prendas en una cantidad tal que se usen exactamente los insumos disponibles. Halle la cantidad de cada una de las prendas que serán confeccionadas de acuerdo con los siguientes criterios: a. Si las ganancias que obtiene la empresa de confección son: $2800 por cada chaqueta, $9500 por cada overol y $2100 por cada camisa. ¿Cuál es la mejor alternativa para la empresa de confección? b. Si Biradol Ltda. prefiere tener la mayor cantidad de overoles posibles, debido a su uso y consumo, ¿Cuál será la alternativa a seguir? 53. **La facultad de ingeniería, programará 3 cursos intensivos para los estudiantes nuevos admitidos, para que ellos adelanten su plan de estudio mientras comienza el semestre regular. En el horario de los lunes de 6-8 am se dictarán los cursos que muestra el cuadro, todos los grupos tendrán la cantidad de estudiantes por programa que se indica: Programa Curso Matemáticas operativas Geometría euclidiana Español

Ing. Industrial

Ing. Química

Ing. Sanitaria

15

5

10

10 20

20 15

10 15

Se sabe que para estos cursos se matricularán 270, 190 y 200 estudiantes de los programas de ingeniería industrial, química y sanitaria. Cuántos grupos de cada curso deben programarse si 3 profesores de español ya han sido contratados para trabajar con la facultad en ese horario y se prefiere que el número de grupos de geometría sea el mayor posible? 54. **Una fábrica de muebles de calidad tiene 2 divisiones:  Taller de máquinas herramienta, donde se fabrican partes de los muebles  División de ensamble y terminado, donde las partes son ensambladas. Suponga que se tienen 12 empleados en el taller y 20 en la división, y que cada empleado trabaja 8 horas diarias. 384 Si en cierto día se fabricarán sillas y mesas, teniendo en cuenta que cada silla demanda horas17 480 240 hombre de maquinado y horas-hombre de ensamble; y cada mesa requiere horas-hombre 17 17 640 de maquinado y horas-hombre de ensamble. ¿Cuántas mesas y cuántas sillas se fabricaron? 17

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55. **Luís, un trabajador de la librería “La Cultura”, le ha dicho a su jefe que ha notado que Gustavo, el mensajero, ha estado robando, cobrando por los pedidos un valor mayor al real, y quedándose con el excedente, aprovechándose de que por la prisa con que se han hecho las compras de las tres publicaciones de mayor venta durante la semana, el editor no elaboró las facturas. El jefe, entendiendo que esta denuncia es muy grave se dispone a revisar los datos de estas compras, decidido a tomar medidas disciplinarias con sus trabajadores. Encuentra que en tres ocasiones Gustavo ha traído pedidos de las tres obras: “Las Margaritas”, “Rogelio El Castigador” y “3 Años Sin Llover”, cobrando en la primera $975 000= en la que adquirió 10,4 y 7 ejemplares respectivamente de cada obra. En la segunda ocasión trajo 4, 6 y 5 ejemplares por los cuales reportó un valor de $643 000=. Y en la tercera se adquirieron 9, 7 y 8 ejemplares, por los cuales se le entregaron $1 073 000= a Gustavo. El jefe queriendo disponer de la mayor cantidad de información posible, y sabiendo que no puede contactar al vendedor de la editorial porque justamente esa misma mañana se ha ido para un congreso en Malasia, busca entre sus viejos documentos una factura de dos semanas atrás, cuando los libros no eran tan populares y estaban en oferta, costando un 20% menos de su valor actual. Al encontrarla encuentra que le cobraron por 5 ejemplares de “Las Margaritas” y 10 de “Rogelio El Castigador” $488 000=. Analice estos datos y concluya si el jefe debe sancionar a Gustavo por hurto a la empresa, o si la sanción la merece Luís por dar un falso testimonio, o si la información de que se dispone no es suficiente para determinar si Luís dice la verdad.

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