Ejercicios Con Funciones En R

Ejercicios (Funciones en R) 1. Determinar si el conjunto f = {( x, y ) : y = x} es el grafo de una función: Solución: y =x⇔

y2 = x

⇔ y2 = x2 ⇔ ( y − x )( y + x ) = 0 ⇔ y = x, y = − x Como tenemos que (1,1) , (1,−1) ∈ f , y como 1 ≠ −1 , por definición, f no puede ser el grafo de una función. 2. Determinar si la función f : R − {1} → R es inyectiva y/o sobreyectiva. x +1 x f ( x) = x −1 Solución: Sean x1 , x 2 ∈ Dom( f ) . x + 1 x2 + 1 f ( x1 ) = f ( x 2 ) ⇒ 1 = x1 − 1 x 2 − 1 ⇒ ( x1 + 1)( x 2 − 1) = ( x 2 + 1)( x1 − 1) ⇒ x1 x 2 − x1 + x 2 − 1 = x 2 x1 − x 2 + x1 − 1 ⇒ 2 x 2 = 2 x1 ⇒ x 2 = x1 Por lo tanto f es inyectiva. Sin embargo, esta función no es sobreyectiva, puesto que no existe ningún x0 ∈ R − {1} tal que f ( x 0 ) = 1 . En efecto, x +1 f ( x0 ) = 1 ⇒ 0 =1 x0 − 1 ⇒ x 0 + 1 = x0 − 1 ⇒ 1 = −1 Lo que es ilógico. Por lo tanto f es no sobreyectiva. 3. Determinar si la función f : R → R x f ( x ) = ax + b Solución: Sean x1 , x 2 ∈ Dom( f ) . f ( x1 ) = f ( x 2 ) ⇒ ax1 + b = ax 2 + b

, a ≠ 0 es o no inyectiva.

⇒ x1 = x 2 Por lo tanto f es inyectiva. 4. Determinar si la función f : R → R x f ( x ) = ax + b Solución: Sean x1 , x 2 ∈ Dom( f ) . f ( x1 ) = f ( x 2 ) ⇒ ax1 + b = ax 2 + b ⇒ x1 = x 2

, a ≠ 0 es o no inyectiva.

Por lo tanto f es inyectiva. 5. Determinar si la función f : A → B x

, es o no biyectiva.

x+3 f ( x) = 2x − 5

Solución: Encontremos primero el dominio de f. 2x − 5 ≠ 0 2x ≠ 5 5 x≠ 2

5  Entonces Dom( f ) = R −   2

Encontremos ahora el recorrido de f. x+3 2x − 5 2 xy − 5 y − x − 3 = 0 x( 2 y − 1) = 5 y + 3 5y − 3 x= 2y −1 y=

Luego, para que x exista, 2y −1 ≠ 0 2y ≠ 1 1 y≠ 2

1  Entonces Re c( f ) = R −   2

Veamos si f es inyectiva. Sean x1 , x 2 ∈ Dom( f ) , x +3 x +3 f ( x1 ) = f ( x 2 ) ⇒ 1 = 2 2 x1 − 5 2 x 2 − 5

⇒ 2 x1 x 2 + 6 x 2 − 5 x1 − 15 = 2 x 2 x1 + 6 x1 − 5 x 2 − 15 ⇒ 11x1 = 11x 2 ⇒ x 2 = x1 Por lo tanto f es inyectiva. La función es también sobreyectiva, puesto que no existe ningún f ( x ) que no tenga su pre imagen. 6. Demostrar que si f y g son biyectivas, entonces, g  f es biyectiva. Además ( g  f ) −1 = f −1  g −1 Solución: Sabemos que ( g  f )  ( g  f ) −1 = I , por la definición de inverso. Debemos entonces demostrar que ( g  f )  f −1  g −1 = I

(

)

Luego,

[( g  f )  ( f

−1

)]

[( ) ] [ ( )] = g ( f ( f ( g ( x) ))) = g ( I ( g ( x) )) = g ( g ( x) )

 g −1 ( x ) = ( g  f ) f −1  g −1 ( x ) = ( g  f ) f −1 g −1 ( x ) −1

−1

−1

−1

=x

(

Por tanto ( g  f ) −1 = f

−1

 g −1

)

7. Determinar si la función f : A → B , es o no monótona. 2 x f ( x) = x Solución: Sean x1 , x 2 ∈ R + , con x1 < x 2 , tenemos, x 2 − x1 > 0 . Además, como x1 , x 2 ∈ R + , también se tiene que x 2 + x1 > 0 . Luego,

( x 2 − x1 )( x 2 + x1 ) > 0 2

2

2

2

x 2 − x1 > 0 x1 < x 2

f ( x1 ) < f ( x 2 )

Lo que implica que f es creciente en R+.

Sean x1 , x 2 ∈ R − , con x1 < x 2 , tenemos, x1 − x 2 < 0 . Además, como x1 , x 2 ∈ R − , también se tiene que x1 + x 2 < 0 . Luego,

( x1 − x 2 )( x1 + x 2 ) > 0 2

2

2

2

x1 − x 2 > 0 x1 > x 2

f ( x1 ) > f ( x 2 )

Lo que implica que f es decreciente en R-. x1 ∈ R − y x 2 ∈ R + ,

Sean

x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 ) . 2

se

tiene

que

x1 > x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 ) 2

2

Por lo tanto, podemos concluir que f es monótona a trozos.

2

o