Ejercicios Capitulo 5 Dennis Zill

DIEGO FABIÁN PONCE TRIANA 8) un contrapeso de 32lb estira 2 pies a un resorte determine, determine la amplitud y el periodo de movimiento si el contrapeso parte de 1pie arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad inicial de 2pies/Sg hacia arriba. ¿Cuántas vibraciones completas habrá hecho el contrapeso hasta los 4π segundos? W = 32lb S = 2 pies A= T= X(o) = -1 pie X’(0) = -2 pie / Sg 𝑚=

𝑊 𝑔

=

32 𝐿𝑏 32

𝑝𝑖𝑒 𝑆𝑔

= 1 𝑆𝑙𝑢𝑔

𝑇=

2𝜋 𝜔

𝑓=

𝜔 2𝜋

𝐿𝑏 𝑝𝑖𝑒 𝜔2 = = 16 1 𝑆𝑙𝑢𝑔

𝜔2 =

𝑘 𝑚

𝑘=

𝑊 𝑠

=

32 𝐿𝑏 2 𝑝𝑖𝑒

16

𝜔=4 𝐴=

𝑐1 + 𝑐2

𝑋 ′′ + 16𝑋 = 0 𝑆 2 𝑋 𝑠 − 𝑆𝑋 0 − 𝑋 ′ 0 + 16𝑋(𝑠) = 0 𝑆 2 𝑋 𝑠 + 𝑆 + 2 + 16𝑋(𝑠) = 0 𝑋 𝑠 (𝑆 2 + 16) = −𝑆 − 2 𝑋 𝑠 =−

𝑆 2 2 − (𝑆 2 + 16) (𝑆 2 + 16) 2

𝑋 𝑠 =−

𝑆 4 − (𝑆 2 + 16) 2(𝑆 2 + 16)

1 𝑋 𝑡 = − cos 4𝑡 − 𝑠𝑒𝑛4𝑡 2 𝐴=

𝑐1 2 + 𝑐2 2 =

(−1)2 + (−1/2)2 = 𝑇=

𝑓=

5 2

1 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 2𝜋 2𝜋 𝜋 = = = 𝑓 𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝜔 4 2

𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 = 4𝜋 = 8 𝑣𝑖𝑏𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝜋

= 16

𝐿𝑏 𝑝𝑖𝑒

23) Una masa de 1kg está unida a un resorte cuya constante es 16 N/m y todo el sistema se sumerge en un liquido que imparte una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 10 veces la velocidad instantánea formule las ecuaciones si: a) el contrapeso se suelta partiendo del reposo a 1m debajo de la posición de equilibrio. b) el contrapeso se suelta partiendo de la posición de equilibrio con una velocidad de 12 m/s hacia arriba. a) m = 1kg K = 16 N/m β = 10 X(0) = 1m X’(0) = 0 𝑋 ′′ + 10𝑋 ′ + 16𝑋 = 0 𝑆 2 𝑋 𝑠 − 𝑆𝑋 0 − 𝑋 ′ 0 + 10 𝑆𝑋(𝑠 − 𝑋(0)] + 16𝑋(𝑠) = 0 𝑆 2 𝑋 𝑠 − 𝑆 + 10𝑆𝑋(𝑠) − 10 + 16𝑋(𝑠) = 0 𝑆 2 𝑋 𝑠 + 10𝑆𝑋 𝑠 + 16𝑋 𝑠 = 𝑆 + 10 𝑋 𝑠 (𝑆 2 + 10𝑆 + 16) = 𝑆 + 10 𝑋 𝑠 =

𝑋 𝑠 =

(𝑆 2

𝑆 + 10 + 10𝑆 + 16)

𝑆 + 10 𝐴 𝐵 = + 𝑆 + 2 (𝑆 + 8) (𝑆 + 2) (𝑆 + 8)

𝑆 + 10 = 𝐴 𝑆 + 2 + 𝐵(𝑆 + 8) 𝑆𝑖 𝑆 = −2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 =

4 3

𝑆𝑖 𝑆 = −8 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐵 = − 𝑋 𝑠 =

4/3 1/3 − (𝑆 + 2) (𝑆 + 8)

𝑋 𝑡 =

4 −2𝑡 1 −8𝑡 𝑒 − 𝑒 3 3

1 3

b) m = 1kg K = 16 N/m β = 10 X (0) = 1m X’ (0) = -12 m/s 𝑋 ′′ + 10𝑋 ′ + 16𝑋 = 0 𝑆 2 𝑋 𝑠 − 𝑆𝑋 0 − 𝑋 ′ 0 + 10 𝑆𝑋(𝑠 − 𝑋(0)] + 16𝑋(𝑠) = 0 𝑆 2 𝑋 𝑠 − 𝑆 − 12 + 10𝑆𝑋(𝑠) − 10 + 16𝑋(𝑠) = 0 𝑆 2 𝑋 𝑠 + 10𝑆𝑋 𝑠 + 16𝑋 𝑠 = 𝑆 − 2 𝑋 𝑠 𝑆 2 + 10𝑆 + 16 = 𝑆 − 2 𝑋 𝑠 =

𝑋 𝑠 =

𝑆−2 (𝑆 2 + 10𝑆 + 16)

𝑆−2 𝐴 𝐵 = + 𝑆 + 2 (𝑆 + 8) (𝑆 + 2) (𝑆 + 8)

𝑆 − 2 = 𝐴 𝑆 + 2 + 𝐵(𝑆 + 8) 𝑆𝑖 𝑆 = −2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐴 = − 𝑆𝑖 𝑆 = −8 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐵 =

𝑋 𝑠 =−

2 3

5 3

2/3 5/3 + (𝑆 + 2) (𝑆 + 8)

𝑋 𝑡 =−

2 −2𝑡 5 −8𝑡 𝑒 + 𝑒 3 3