Ejercicios Algebra Matricial

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EJERCICIOS ALGEBRA MATRICIAL 1 2 3   1 ; D =  0 1 2  ,determinar cuáles 3 0 0 1   tienen inversa y en los casos que exista, calcula el determinante de dichas inversas.

1 1- De las matrices: =  3

2 1 ; B =  4 4

2 5

3 1 ; C =  6 3

−3  1 − 2 1  x       a 2 ; B =  0 ; X =  y  2- Considera las matrices: A =  0 a 1  z  − 1 a − 2       a) Determinar el rango de A en función de “a”. b) Discutir en función de “a” el sistema, dado en forma matricial A.X = B. c) Resuelve A.X = B en los casos en que sea compatible indeterminado.

senx − cos x   3- Sea A =  cos x senx  senx + cos x senx − cos x  Calcula dicha matriz inversa.

0  0  , ¿para qué valores de “x” existe la matriz inversa de A? 1 

3 4  0   4- Considera la matriz A =  1 − 4 − 5 −1 3 4   a) Siendo I la matriz identidad 3 x 3 y O la matriz nula 3 x 3, prueba que A3 + I = 0 b) Calcula A10.

0 − a a   5- Se sabe que la matriz A =  0 − 1 0  verifica que det(A) = 1 y sus columnas son vectores b 0 b   perpendiculares dos a dos. a) Calcula los valores de a y b. b) Comprueba que para dichos valores se verifica que A-1 = A t donde A t denota la matriz traspuesta de A.

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6- Determinar la matriz X tal que A.X – 3B = 0 , siendo

1  A = 2 0 

1  7- Considera la matriz A = 1 1 

0 3 1

−1  − 7 − 2 

 1  B =  −1 − 2 

2  0 1 

− 2  1  0 

0 1 1

a) Calcula el determinante de las matrices: 2A , A -1 b) Halla la matriz A .

31

y (A31)-1

8- Resuelve el sistema de ecuaciones, dado en forma matricial, AX = -AX + B siendo

1  A = −1  3 

0 1 1

2  1 4 

1   B =  4 1  

 x   C =  y z  

 1 c 1   9- Considera la matriz A =  c 1 c   0 c 1   a) Determina para que valores de a la matriz A no tiene inversa. b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para c = -2.

10- Determinar a,b y c sabiendo que la matriz

− 3  A= 1  −1 

1 a b

1  2 c 

verifica:

1  2     A ⋅  2 = 9  3  4    

y

rango (A) = 2

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956626363 / 617773217 11- a) Clasifica el siguiente sistema según los valores del parámetro m

= 0  = m = 1 

2 x + my x + mz x + y + 3z b) Resuelve el sistema anterior para m = 6.

12- Considera las matrices

1  A = 1 1 

0 m 1

0  0 1 

0  B = 1 0 

1 0 0

1  0 0 

1  C = 0 1 

0 1 0

0  0 1 

a) ¿Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial A.X + 2B = 3C. b) Resuelve la ecuación matricial dada para m =1.

1  − 2 − 2  x     1 − 2 X =  y 13) Considera las matrices A =  − 2  1 z − 2 − 2     a) Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula los valores de ”m” para los que la matriz A + mI no tiene inversa. b) Resuelve el sistema A.X = 3X e interpreta geométricamente el conjunto de todas sus soluciones. 14- Sea M una matriz real cuadrada de orden n que verifica la identidad M2 – 2M = 3I, donde I denota la matriz identidad de orden n. Se pide: a) Estudiar si existe la matriz inversa de M. En caso afirmativo, expresar M-1 en términos de M e I. 3 b) Expresar M como combinación lineal de M e I. b a c) Hallar todas las matrices de la forma M =  que verifican la identidad del enunciado. d  c 1 15- Hallar todas las matrices X tales que X.A = A.X, siendo A la matriz A =  0

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1 . 1

956626363 / 617773217 16- Para cada valor del parámetro real k, se considera el sistema lineal de ecuaciones: =3  x− y  2 x − 3 y = 2 k 3x − 5 y = k2  Se pide: a) Discutir el sistema según los valores de k. b) Resolver el sistema en los casos en que sea compatible. 17- Sea A una matriz cuadrada que verifica A2 + 2A = I, donde I es la matriz identidad. a) Demostrar que A es no singular (det(A) distinto de 0) y expresar A-1 en función de A e I. b) Calcular dos números p y q tales que A3 = pI + qA. 0 1  cumple la relación de partida, calcular el valor de k. c) Si A =  1 k  18- Sean las matrices

0 − 1 0 2 1 1     A = −1 0 2  B = −1 1 0 0 1 1 0  0 3    a) Calcular A-1. b) Resolver la ecuación matricial AX = BA.  2 − 3  , para cada número real k definimos la matriz B = A- k, donde I denota 19- Sea la matriz A =  1 − 2 matriz identidad 2 x 2. a) Hallar los valores de k que hacen que el determinante de B sea nulo.  x   0 b) Resolver el sistema: B.  =   , para los diferentes valores de k.  y   0

 x+ y+z  20- Resuelva el sistema formado por las ecuaciones  2 x − y + 2 z 3x + 2 y − 3z 

=6 =3 =3

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2 21- Sean las matrices A =  0

−1 2

0  − 1

2 B =  2

1  2 

 1  C = 0 − 2 

− 2  2  0 

a) Calcule la matriz P que verifica B. P – A = Ct

. .

b) Determine la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A M C. c) Determine la dimensión de la matriz & para que Ct . & sea una matriz cuadrada. 1 22- Dada la matriz A =  0

0  , halle A2004 − 1

 1    23- De una matriz A se sabe que su segunda fila es (-1 2) y su segundo columna es  2  . Halle los  − 3   0  1 1 1 0  • A =   . restantes elementos de A sabiendo que   2 0 1  0 − 1

 −1 0 0 −1 2 −1  B =   C =  24- Sean las matrices A =  2 1 1 −1 0 0 a) Calcule (A – I2) . B, siendo I2 la matriz identidad de orden 2. b) Obtenga la matriz Bt y calcule, si es posible, Bt.A. c) Calcule la matriz X que verifica A.X + B = C.

2 1

− 1 . − 1

= −2  x− y−z  25- Sea el sistema de ecuaciones lineales 2 x + 3 y − z =2 4 x + y − 3z = −2  a) Clasifique y resuelva el sistema. b) Escriba la matriz de coeficientes de este sistema y, si es posible, calcule su matriz inversa.

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956626363 / 617773217 mx − y =1   x − my = 2m − 1 a) Clasifica el sistema según los valores de m. b) Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solución en la que x = 3.

26- Considera el sistema de ecuaciones

27- Considera las matrices

 1 0 1 0     B = 0 1 C = 0 2  0 0 1 0     t t t t a) Calcula A.B , A.C, At . B y C .A , siendo A , Bt, Ct las matrices transpuestas de A,B y C, respectivamente. b) Razona cuáles de las matrices A,B,C y A.B tienen matriz inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa.

1 A =  0

0 1

1  2 

x + 3y + z 28- Considera el sistema de ecuaciones

2 x − 13 y + 2 z (a + 2) x − 12 y + 12 z

= 0  = 0 = 0

Determina el valor a para que tenga soluciones distintas de la solución trivial y resuélvelo para dicho valor de a.

a11

a12

a13

29- Se sabe que a 21 a31 determinantes:

a 22 a32

a 23 = −2 . Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes a33

3a11

3a12

15a13

a) a 21 a31

a 22 a32

5a 23 5a33

b)

3a11

3a 22

3a 23

a11 a31

a12 a32

a13 a33

a11 c) a 21 − a31 a31

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a12

a13

a 22 − a32 a32

a 23 − a33 a33

956626363 / 617773217 30- Denotamos por Mt a la matriz transpuesta de una matriz M. b a  y que det(A) = 4, calcula los siguientes determinantes: a) Sabiendo que A =  c d  2b 2a det(-3At) y − 3d − 3c b) Sea I la matriz Identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que B3 = I. Calcula det(B).

= 2  = m 31- Considera el sistema de ecuaciones x + my 2 x + mz = 0  a) Determina los valores de m para los que x = 0 , y = 1 y z = 0, es solución del sistema. b) Determina los valores de m para los que el sistema es incompatible. c) Determina los valores de m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. mx + 2 y + z

x + my mx + y + (m − 1) z mx + y a) Clasifica el sistema según los valores del parámetro m. b) Resuelve el sistema cuando sea compatible indeterminado. 32- Considera el sistema de ecuaciones

=m   =1  = 2 + m

33- Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C. El mencionado tendero observa que se vende a 1 € las botellas del tipo A, a 3 € las del tipo B y a 4 € las del C, entonces obtiene un total de 20 €. Pero si vende a 1 € las del tipo A, a 3 € las del B y a 6 € las del C, entonces obtiene un total de 25 €. a) Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el número de botellas de cada tipo que posee el tendero. b) Resuelve dicho sistema. c) ¿Puede determinarse el número de botellas de cada tipo de que dispone el tendero? (ten en cuenta que el número de botellas debe ser entero y positivo).

x + 3y + z 34- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones

− x + y + 2z ax + by + z

tiene al menos dos soluciones distintas.

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=1   = −1 = 4 

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−2 1  3   35- a) Sabiendo que la matriz A =  1 −4 − 2  tiene rango 2, ¿cuál es el valor de a? −1 a −1 a   −2 1   x  1  3       b) Resuelve el sistema de ecuaciones:  1 − 4 − 2 •  y  =  0   − 1 − 6 − 5   z   − 1      

36- Se sabe que el sistema de ecuaciones

x + my = 1  x + mz = 1 tiene una única solución. y + z = m 

a) Prueba que m≠0. b) Halla la solución del sistema.

37) Sabiendo que determinantes: − 3x − y a) 3t 3a

y

z

t a

u b

v c

= −6 , calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes

−z

u b

v c

− 2y

x

z

b) − 2u − 2b

t a

v c

c)

x

x

y

z

t 2x − a

u 2y − b

v 2z − c

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λx + y + z  38- Estudiar según el valor de λ, el sistema de ecuaciones  x + λy + z  x+ y+z  caso es compatible indeterminado.

=1 = λ , y resolverlo si en algún = λ2

=0  x + y − 2z  39- Sea el sistema homogéneo de ecuaciones  ax − y + z =0  x + 2ay − z = 0  a) determinar el valor o valores del parámetro “a” para que el sistema tenga soluciones distintas de la nula. b) Resolver el sistema para el valor o valores de “a” hallados en el apartado anterior.

40- Determinar una matriz cuadrada X que verifique: 1 A =  1

2 AX+XA =  3

− 2  , siendo 3 

0  . Luego analizar si la matriz X es inversible, y en el caso de serlo calcular su matriz inversa. 1 

= 33 x − 9 y + 5z  41- Se considera el sistema  x + 3 y − z = −9  x− y+z =5  a) Resuélvelo y clasifícalo en función del número de soluciones. b) Determina si es posible, o no, eliminar una de las ecuaciones, de forma que el sistema que resulte sea equivalente al anterior. Razona la respuesta.

42- Se considera el siguiente sistema de ecuaciones:

}

n 2 x + ny (3n 2 − 2n) x − y a) Estudia el sistema en función del parámetro m. b) En aquéllos casos que sea posible, resuélvelo.

= −1   = 6n + 1

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