Ejercicios 9 7 Y 4.docx

7. Calcule el valor de Z en el siguiente triangulo, así como cada uno de

los ángulos presentes.

En este ejercicio se puede dividir el triángulo mayor en dos triángulos mas pequeños, el primer triangulo los conforman los lados “a” y “b”, la hipotenusa del triángulo uno será el lado “c”; el segundo triangulo lo conforman el lado “z” con el lado “c”, y la hipotenusa del triángulo mayor será el lado “d”.  Triangulo #1 Por teorema de Pitágoras: 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 (200)2 + (150)2 = 𝑐 2 𝑐 = 250 Por razones trigonométricas: 𝐶𝑂 𝑠𝑒𝑛𝑏 = 𝐻𝐼𝑃 𝑠𝑒𝑛𝑏 =

150 250

∢𝑏 = 36.86° ∢𝑐 = 90° ∢𝑎 = 180° − ∢𝑏 − ∢𝑐 ∢𝑎 = 180° − 36.86° − 90° = 53.14°



Para el triángulo mayor: El lado “b” y el lado “z” conforman el lado “e” El ángulo “b” y el ángulo “z” conforman el ángulo “e”

∢𝑒 = 36.86° + 11.32° ∢𝑒 = 48.18° ∢𝑒 = ∢𝑐 ⇒ ∢𝑐 = 48.18°



Para el triángulo #2 ∢𝑑 = 180° − ∢𝑧 − ∢𝑐 ∢𝑑 = 180° − 11.32° − 48.18° = 120.5°

Por ley del seno: 𝑠𝑒𝑛 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑑 = 𝑐 𝑑 𝑠𝑒𝑛 48.18 𝑠𝑒𝑛 120.5 = 250 𝑑 𝑑=

𝑠𝑒𝑛 120.5 ∗ 250 𝑠𝑒𝑛 48.18

𝑑 = 289.04 ≈ 290 𝑠𝑒𝑛 𝑧 𝑠𝑒𝑛 𝑑 = 𝑧 𝑑 𝑠𝑒𝑛 11.32 𝑠𝑒𝑛 120.5 = 𝑧 290 𝑧=

𝑠𝑒𝑛 11.32 ∗ 290 𝑠𝑒𝑛 120.5

𝑧 = 66.06

9. Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación trigonométrica para ángulos entre 0°≤ x ≤ 360°: 𝟑𝑪𝒐𝒔𝟐 (𝒙) + 𝑪𝒐𝒔(𝒙) − 𝟐 = 𝟎

Por factorización: 𝟗𝑪𝒐𝒔𝟐 (𝒙) + 𝑪𝒐𝒔(𝒙) − 𝟔 =𝟎 𝟑 (𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝒙) + 𝟑)(𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝒙) − 𝟐) =𝟎 𝟑 (𝒄𝒐𝒔(𝒙) + 𝟏)(𝟑 𝒄𝒐𝒔(𝒙) − 𝟐) = 𝟎

 𝒄𝒐𝒔(𝒙) + 𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝒄𝒐𝒔(𝒙) = −𝟏 ⇒ 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏 (−𝟏) ⇒ 𝒙 = 𝟏𝟖𝟎° 𝒚 𝒙 = 𝟑𝟔𝟎°

𝟐

𝟐

 𝟑𝒄𝒐𝒔(𝒙) − 𝟐 = 𝟎 ⇒ 𝒄𝒐𝒔(𝒙) = 𝟑 ⇒ 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏 (𝟑) ⇒ 𝒙 = 𝟒𝟖. 𝟏𝟖° 𝒚 𝒙 = 𝟐𝟐𝟖. 𝟏𝟖°

4. Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 − 𝑥 + 2) 𝑦 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1). Determine analíticamente y compruebe con Geogebra: a. b. c. d.

𝒇+𝒈 𝒈∗𝒇 (𝒇 • 𝒈)(𝟐) (𝒈 • 𝒇)(𝟒)

a. 𝒇 + 𝒈 = (𝑥 2 − 𝑥 + 2) + (𝑥 + 1) 𝒇 + 𝒈 = 𝑥2 − 𝑥 + 2 + 𝑥 + 1 𝒇 + 𝒈 = 𝑥2 + 3 b. 𝒈 ∗ 𝒇 = (𝑥 + 1) ∗ (𝑥 2 − 𝑥 + 2) 𝒈 ∗ 𝒇 = 𝑥 3 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐 𝒈 ∗ 𝒇 = 𝑥3 + 𝒙 + 𝟐 c. (𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐) • (𝒙 + 𝟏))(𝟐) = 𝟖 d. (𝒙 + 𝟏) • (𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐)(𝟒) = 𝟏𝟓