Ejercicios 8 Y 9.docx

( x, y )dx  N( x, y )dy  0 , es exacta 8. Una ecuación diferencial de la forma M M N cuando: , es decir, sus derivadas parciales son iguales.  y x

De las siguientes ecuaciones diferenciales, cuáles de ellas “No” son exactas:

1. ( 2y 2 xdx  1) ( 4xy 2  1)dy  0 𝑑𝑚

Rta/ 𝑑𝑦 = 2𝑥𝑦

𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑥

= 4𝑦 𝑒 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎𝑠

2. ( xy 2  y )dx ( x 2 y  x )dy  0 Rta/

𝑑𝑚 𝑑𝑦

= (2𝑥𝑦 + 1)

𝑑𝑛 𝑑𝑥

= (2𝑥𝑦 − 1) 𝑛𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎𝑠

3. ( 4y 2 x 3  2y )dx ( 2x 4 y  2x )dy  0 Rta/

𝑑𝑚 𝑑𝑦

= (8𝑦𝑥 3 + 2)

𝑑𝑛 𝑑𝑥

= (8𝑥 3 𝑦 + 2) 𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎𝑠

4. ( 3x 2 y 2  y )dx ( 2x 3 y  x )dy  0 Rta/

𝑑𝑚 𝑑𝑦

= (6𝑥 2 𝑦 + 1)

𝑑𝑛 𝑑𝑥

= (6𝑥 2 𝑦 + 1) 𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎𝑠

( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 que no es 9. Una ecuación diferencial de la forma M

exacta, es decir,

M N , se puede convertir en una ecuación exacta  y x

multiplicándola por un factor apropiado ( x, y ) , llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de y a través de la fórmula:

( y )  e



Nx My M

dy

.

El factor integrante y la solución general de la ecuación diferencial 3xydx  3x 2 dy  0 , viene dado por: A. ( y ) 

1 y3

B. ( y )  y 3 C. y  cx D. y  c x

Solución

3𝑥𝑦𝑑𝑥 − 3𝑥 2 𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑚 𝑑𝑦3𝑥

𝑑𝑛 = −6𝑥 𝑑𝑥

𝜇 (𝑦) = 𝑒

𝑚𝑥

∫ 𝑛𝑥− 𝑚 =

𝜇 (𝑦) = 𝑒

𝑒

3 ∫ −𝑥 = 3𝑙𝑛𝑦=

𝜇 (𝑦) = 𝑦 − 3 𝜇 (𝑦) =

3𝑥

1 𝑦3

𝑒

∫ −6𝑥−3𝑥𝑦=

𝑒 𝑙𝑛𝑦−

3

𝑎𝑥

𝑒 ∫ −3𝑥7