Ejercicios 5 Sismo.docx

Ejercicio 5: Un sistema de 1GL con m =1, c= 0.6 y k = 40 (unidades consistentes) tiene condiciones iniciales U0 = 1 y velocidad inicial cero. Cuando el sistema completa su primer ciclo de vibración (o sea cuando el desplazamiento es máximo por primera vez para t >0) una masa adicional ma = 1 se le suma (como si la masa original fuera de metal y la segunda fuera un imán de igual peso que se le conecta). Calcule el valor máximo del desplazamiento en el segundo ciclo. ¿Es el valor obtenido mayor o menor que si no se hubiera adicionado la masa? Grafique ambas condiciones en un solo gráfico y compare – Realice sus conclusiones

SOLUCIÓN: 1) Con la masa original 

Cálculo de la frecuencia angular natural 𝜔𝑛 = √𝑘⁄𝑚 = √40⁄1 = 6.324



Calculo del factor de amortiguamiento (𝜁 )

𝜁= 

𝑐 2𝜔𝑛 𝑚

=

0.6 2(6.324)(1)

= 0.0474

Calculo de la frecuencia angular amortiguada 𝜔𝐷 = 𝜔𝑛 √1 − 𝜁 2 = 6.324√1 − 0.04742 = 6.317

La ecuación de movimiento para el sistema amortiguado es:

𝑋(𝑡) = 𝑒 −𝜁𝜔𝑛𝑡 [𝐵1 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝐷 𝑡) + 𝐵2 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝐷 𝑡)] Para condiciones iniciales X(0) = 1 y V(0)=0: 𝐵1 = 𝑋(𝑜) = 1 𝐵2 =

𝑉(𝑜) + 𝜁𝜔𝑛 𝑋(𝑜) 0 + (0.0474)(6.234)(1) = = 0.0468 𝜔𝐷 6.317 La ecuación que describe el movimiento

𝑋(𝑡) = 𝑒 −0.3𝑡 [𝐶𝑜𝑠(6.317𝑡) + 0.0468𝑆𝑒𝑛(6.317𝑡)]

Grafica que describe la respuesta

Vibracion libre amortiguada Con la masa original

Desplazamiento (X(t))

1.5

TD

1 0.5 0 0

1

2

3

4

5

6

-0.5 -1

Tiempo (t)

Calculo del periodo amortiguado TD: 2𝜋

2𝜋

𝑇𝐷 = 𝜔 = 6.317 = 1 → En t = 1 el sistema completa su primer ciclo de vibración y 𝐷

se coloca la masa adicional ma=1 Calculando el desplazamiento en t = 1 𝑋(1) = 𝑒 −0.3(1) [𝐶𝑜𝑠(6.317(1)) + 0.0468𝑆𝑒𝑛(6.317(1))] 𝑿(𝟏) = 𝟎. 𝟕𝟒 Calculando el desplazamiento en t = 2 (donde completa su segundo ciclo) 𝑋(2) = 𝑒 −0.3(2) [𝐶𝑜𝑠(6.317(2)) + 0.0468𝑆𝑒𝑛(6.317(2))] 𝑿(𝟐) = 𝟎. 𝟓𝟒𝟗

2) Agregando la masa ma=1 

Cálculo de la frecuencia angular natural 𝜔𝑛 = √𝑘⁄𝑚 = √40⁄2 = 4.4721



Calculo del factor de amortiguamiento (𝜁 )

𝜁= 

𝑐 2𝜔𝑛 𝑚

=

0.6 2(4.4721)(2)

= 0.0335

Calculo de la frecuencia angular amortiguada 𝜔𝐷 = 𝜔𝑛 √1 − 𝜁 2 = 4.4721√1 − 0.03352 = 4.4696

La ecuación de movimiento para el sistema amortiguado es:

𝑋(𝑡) = 𝑒 −𝜁𝜔𝑛𝑡 [𝐵1 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝐷 𝑡) + 𝐵2 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝐷 𝑡)] -

Condiciones iniciales: Se sabe que ma se agrega en t = 1 donde X(1)=0.74 y V(1)=0 porque X es máximo. Por lo tanto: 0.74 = 𝑒 −0.1498 𝐶𝑜𝑠(4.4696)𝐵1 + 𝑒 −0.1498 𝑆𝑒𝑛(4.4696)𝐵2 0.74 = −0.207𝐵1 − 0.8356𝐵2

𝑒𝑐. 1

Derivando X(t) para hallar la velocidad resulta: 𝑣(𝑡) = 𝑒 −𝜁𝜔𝑛 𝑡 [−𝜁𝜔𝑛 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝐷 𝑡) − 𝜔𝐷 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝐷 𝑡)]𝑩𝟏 + [−𝜁𝜔𝑛 𝑆𝑒𝑛(𝜔𝐷 𝑡) + 𝜔𝐷 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝐷 𝑡)]𝑩𝟐

Sustituyendo los valores conocidos en t = 1 0 = 3.7659𝑩𝟏 − 0.9291 𝑩𝟐

𝑒𝑐. 2

Resolviendo el sistema de ecuaciones de 2 incógnitas resulta: 𝑩𝟏 = −𝟎. 𝟐𝟎𝟓𝟗 𝑩𝟐 = −𝟎. 𝟖𝟑𝟒𝟔 La ecuación que describe el nuevo movimiento:

𝑋(𝑡) = 𝑒 −0.1498𝑡 [−0.2059𝐶𝑜𝑠(4.4696𝑡) − 0.8346𝑆𝑒𝑛(4.4696𝑡)]

Grafica que describe la respuesta total

Vibracion libre amortiguada Con la masa original

Con la masa adicional

Desplazamiento (X(t))

1.5

TD

1 0.5 0

0

1

2

3

4

5

6

7

-0.5 -1

Tiempo (t)

Calculando el desplazamiento en t = 1 para verificar que coincida con el anterior. 𝑋(1) = 𝑒 −0.1498 [−0.2059𝐶𝑜𝑠(4.4696) − 0.8346𝑆𝑒𝑛(4.4696)] 𝑿(𝟏) = 𝟎. 𝟕𝟒 Calculo del periodo amortiguado TD: 2𝜋

2𝜋

𝑇𝐷 = 𝜔 = 4.4721 = 1.405 → En t = 1+1.405 =2.405 el sistema completa su ciclo 𝐷

de vibración. Calculando el desplazamiento en t = 2.405 𝑋(2.405) = 𝑒 −0.1498(2.405) [−0.2059𝐶𝑜𝑠(4.4696 ∗ 2.405) − 0.8346𝑆𝑒𝑛(4.4696 ∗ 2.405)]

𝑿(𝟐. 𝟒𝟎𝟓) = 𝟎. 𝟔 Recordando que el desplazamiento cuando completa su segundo ciclo si no se hubiera adicionado la masa es:

𝑿(𝟐) = 𝟎. 𝟓𝟒𝟗 Por lo tanto:

3) CONCLUSIONES 

El desplazamiento obtenido cuando el sistema completa su segundo ciclo con la masa agregada ES MAYOR que el desplazamiento obtenido si no se hubiera añadido dicha masa.



Al añadirle la masa adicional el período de oscilación del sistema aumentó.



También es importante destacar que al añadirle la masa, el factor de amortiguamiento disminuye, lo cual indica que el sistema permanecerá vibrando más tiempo. Es decir que al agregarle más masa el sistema tiende a ser una vibración sin amortiguamiento.