Ejercicio Preparcial

Presentado por: Linamaría Gallegos Mayorga – Cod.285453 Presentado a : Ing. Jennifer Corredor Desarrollo del ejercicio planteado en clase:

Teniendo en cuenta el planteamiento anterior, lo primero que debe hacerse es resolver estáticamente el árbol. Las fuerzas tangenciales y radiales en cada uno de los engranajes son las siguientes: 2𝑃 𝑑𝑝𝑖 𝜔 𝐹𝑟𝑖 = 𝐹𝑡𝑖 tan 𝜑 𝐹𝑡𝑖 =

Aplicando la fórmula anterior a cada uno de los engranes planteados con un 𝜑 = 25°y teniendo en cuenta las convenciones del diagrama inicial, se tiene: Para el engrane 1 (El de la derecha): 𝐹𝑡1 = 3.82 [𝑘𝑁] 𝐹𝑟1 = 1.78 [𝑘𝑁] Para el engrane 2 (El de la izquierda): 𝐹𝑡2 = 1.91 [𝑘𝑁] 𝐹𝑟2 = 0.89 [𝑘𝑁] Ahora, hallamos el momento torsor al que está sometido el árbol 𝑇=

𝑃 = 𝜔

30 × 103 [𝑁𝑚/𝑠] = 572.9577951 𝑁𝑚 2𝜋 [𝑟𝑎𝑑] 500 𝑟𝑝𝑚 ∗ 60 𝑠 ∗ [𝑟𝑝𝑚]

Luego, determinamos las reacciones en cada uno de los apoyos del árbol en el plano xz y en el yz puesto que ambos generan deflexión en la pieza analizada. *Los momentos contrarios a las manecillas del reloj y las fuerzas hacia arriba son considerados positivos. ** Durante todo el ejercicio las unidades utilizadas serán las del Sistema Internacional.

Plano XZ: 𝐹 = −𝑅𝐴 + 1780 + 890 − 𝑅𝐷 = 0 𝑀@𝐴 = 890 ∗ 0.35 + 1780 ∗ 7 − (𝑅𝐷 ∗ 0.9) = 0 Resolviendo el sistema, se tiene que: 𝑅𝐴𝑥𝑧 = 939.444 [𝑁] 𝑅𝐷𝑥𝑧 = 1730.556 [𝑁]

Planteando las ecuaciones de singularidad para cortante (V) y momento (M), se tienen las siguientes expresiones: 𝑉 = − 939.444 − 𝑀 = − 939.444 −

< 𝑥 − 0 >0 + 890 < 𝑥 − 0.35 >0 + 1780 < 𝑥 − 0.7 >0 1730.556 < 𝑥 − 0.9 >0 + 𝐶1 < 𝑥 − 0 >1 + 890 < 𝑥 − 0.35 >1 + 1780 < 𝑥 − 0.7 >1 1730.556 < 𝑥 − 0.9 >1 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2

Donde C1=C2=0; E=206.8MPa e 𝐼 =

𝜋𝐷 4 64

Plano YZ: 𝐹 = −1910 + 3820 − 𝑅𝐴 + 𝑅𝐷 = 0 𝑀@𝐴 = − 1910 ∗ 0.35 + 3820 ∗ 7 + (𝑅𝐷 ∗ 0.9) = 0 Resolviendo el sistema, se tiene que: 𝑅𝐴𝑦𝑧 = −318.3333 [𝑁] 𝑅𝐵𝑦𝑧 = −2228.3333 [𝑁]

Planteando las ecuaciones de singularidad para cortante (V) y momento (M) , se tienen las siguientes expresiones: 𝑉 = 318.333 < 𝑥 − 0 >0 − − 2228.3333 𝑀 = 318.333 < 𝑥 − 0 >1 − − 2228.3333

Donde C1=C2=0; E=206.8MPa e 𝐼 =

1910 < 𝑥 − 0.35 >0 + 3820 < 𝑥 − 0.7 >0 < 𝑥 − 0.9 >0 + 𝐶1 1910 < 𝑥 − 0.35 >1 + 3820 < 𝑥 − 0.7 >1 < 𝑥 − 0.9 >1 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2

𝜋𝐷 4 64

Teniendo las reacciones en cada plano, las magnitudes absolutas serán (como se visualiza en los diagramas) de la siguiente manera: En XZ: Fuerza Cortante

Momento Flector

En YZ: Fuerza Cortante

Momento Flector

Magnitud: Fuerza Cortante

Momento Flector

Iniciando la etapa de diseño como tal, determinamos las propiedades del material escogido: AISI 4140 Recocido a 1450 F 𝑆𝑢𝑡 = 655𝑀𝑃𝑎; 𝑆𝑦 = 421𝑀𝑃𝑎 Entonces, Factor de carga=1 Factor de tamaño=1 Factor de superficie=1 Factor de temperatura=1 Factor de confiabilidad=0,753 (99.9%) 𝑆𝑒 ′ = 0.5𝑆𝑢𝑡 = 327.5 × 106 𝑃𝑎 𝑆𝑒 = 𝑆𝑒 ′ 1 1 1 1 (0,753) *Siendo una pieza enteramente teórica se asume con acabado perfecto

Teniendo en cuenta el diámetro del árbol como constante, no existen concentradores de esfuerzos las iteraciones para determinar el diámetro del árbol tendrán los resultados siguientes:

32𝑁𝑓 𝑑= 𝜋

𝑀𝑎 𝑘𝑓 𝑆𝑓

2

+

3 𝑇𝑚 𝑘𝑓𝑠𝑚 4 𝑆𝑦

1 2 2

1 3

*Factor de Seguridad: 1

Primera iteración: 3

𝑑=

32 1 𝜋

2

1 ∗ 564.2797 246.6075 ∗ 106

2

1 ∗ 573 + 0.75 ∗ 421 ∗ 106

𝑑 = 2.9191𝑐𝑚 ≈ 1.1492𝑖𝑛 Segunda iteración: 𝐶𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 = 1.189 ∗ 2.9191−0.097 𝐶𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 = 1.071649 𝑆𝑒 = 1 1.071649 1 1 0.753 327.5𝑀𝑝𝑎 𝑆𝑒 = 264.27677𝑀𝑝𝑎

2

3

𝑑=

32 1 𝜋

2

1 ∗ 564.2797 264.2767 ∗ 106

2

1 ∗ 573 + 0.75 ∗ 421 ∗ 106

2

𝑑 = 2.9178𝑐𝑚 ≈ 1.1484𝑖𝑛 Finalmente, determinamos la deflexión en cada uno de los apoyos para comprobar si el diseño cumple o no con los requerimientos de diseño E= 206.8Gpa 𝜋 ∗ 𝑑4 𝐼= = 4.545 ∗ 10−8 𝑚4 64 Plano XZ: Las ecuaciones de singularidad serán las siguientes 𝑉 = 939.44 < 𝑥 − 0 >0 − 890 < 𝑥 − 0.35 >0 − 1780 < 𝑥 − 0.7 >0 𝑀 = 939.44 < 𝑥 − 0 >1 − 890 < 𝑥 − 0.35 >1 − 1780 < 𝑥 − 0.7 >1 𝐸𝐼𝜃 = 469.722 < 𝑥 − 0 >2 − 445 < 𝑥 − 0.35 >2 − 890 < 𝑥 − 0.7 >2 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑦 = 156.57 < 𝑥 − 0 >3 − 148.33 < 𝑥 − 0.35 >3 − 296.66 < 𝑥 − 0.7 >3 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 Si 𝑦 0 =0 𝐶2 = 0 𝑦 0.9 = 0 𝐶1 = −96.7642 Entonces, la deflexión en cada apoyo será: 𝜃 0 = 1.0295 × 10−2 𝑟𝑎𝑑 𝜃 0.9 = 1.0275 × 10−2 𝑟𝑎𝑑

Plano YZ: Las ecuaciones de singularidad serán las siguientes 𝑉 = −318.3 < 𝑥 − 0 >0 + 1980 < 𝑥 − 0.35 >0 − 3820 < 𝑥 − 0.7 >0 𝑀 = −318.3 < 𝑥 − 0 >1 + 1980 < 𝑥 − 0.35 >1 − 3820 < 𝑥 − 0.7 >1 𝐸𝐼𝜃 = 159.166 < 𝑥 − 0 >2 + 990 < 𝑥 − 0.35 >2 − 1910 < 𝑥 − 0.7 >2 + 𝐶1 𝐸𝐼𝑦 = 53.055 < 𝑥 − 0 >3 + 330 < 𝑥 − 0.35 >3 − 636.66 < 𝑥 − 0.7 >3 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 Si 𝑦 0 =0 𝐶2 = 0 𝑦 0.9 = 0 𝐶1 = −98.3199 Entonces, la deflexión en cada apoyo será: 𝜃 0 = 1.0461 × 10−2 𝑟𝑎𝑑 𝜃 0.9 = 2.6989 × 10−2 𝑟𝑎𝑑 De ser así la magnitud de la deflexión total será: 𝜃 0 =

2

𝜃 0.9 =

1.0461 × 10−2 2

2.6989 × 10−2

2

+ 1.0295 × 10−2

2

+ 1.0275 × 10−2

2

= 1.4677 × 10−2 𝑟𝑎𝑑

2

= 2.8878 × 10−2 𝑟𝑎𝑑

Desafortunadamente el diámetro no cumple con los requerimientos de deflexión (si con los de fatiga), es por esta razón que debe ser redefinido por medio de las ecuaciones de singularidad.

YZ: 𝐸𝐼𝜃 = 469.722 < 𝑥 − 0 >2 − 445 < 𝑥 − 0.35 >2 − 890 < 𝑥 − 0.7 >2 + 𝐶1 XZ: 𝐸𝐼𝜃 = 159.166 < 𝑥 − 0 >2 + 990 < 𝑥 − 0.35 >2 − 1910 < 𝑥 − 0.7 >2 + 𝐶1 *Cada constante es distinta según el plano

Igualando a 0,008 radianes determinaremos el nuevo diámetro 2

𝐸𝐼 𝜃(0) = 𝐼=

−98.3199

2

+ −96.7642

2

137.949 (206.8 × 109 ) ∗ 0.008 𝐼 = 8.3383 × 10−8

𝑑=

64 ∗ 𝐼 = 3.6101 × 10−2 𝜋

4

2

𝐸𝐼 𝜃(0.9) = 𝐼=

253.67956

2

+ 113.49812

277.9121 (206.8 × 109 ) ∗ 0.008 𝐼 = 1.6798 × 10−7

𝑑=

4

64 ∗ 𝐼 = 4.301 × 10−2 𝜋

Siendo el árbol de diámetro constante el valor escogido es de 4.3 cm

2