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Una nave de masa m se aproxima a Marte (de masa M) e n u n a ó r b i t a AB parabólica. Cuando la nave alcanza el punto B de mínima distancia a Marte, frena usando sus cohetes y pasa a una órbita elíptica tan bien calculada que “Amartiza” en un punto C, opuesto a B, en forma tangencial. Los datos son m, M, 𝑟𝐵 y el radio 𝑅𝑀 de Marte. Obtenga: (a) La velocidad de la nave en B justo antes de frenar. (b) La energía cuando la nave está en su órbita elíptica. (c) La velocidad con que llega a C

Solución. (a) La trayectoria inicial AB es parabólica, por lo tanto: 𝜀 2 = 1 , o, lo que es lo mismo 𝐸 = 0. Por otra parte, la energía mecánica total es: 1 𝐺𝑀𝑚 𝐸 = 𝑚𝑣 2 − =0 2 𝑟 Así, la velocidad en B se despeja evaluando 𝑟 = 𝑟𝐵 , de lo que resulta: 𝑣𝐵2 =

2𝐺𝑀 𝑟𝐵

(b) Para continuar, hay que tener claro que: *La energía total cambia pues, de un momento a otro (es decir, para un mismo radio r), la rapidez cambia. *Como el frenado es un impulso tangencial, el momentum angular cambia; no se puede calcular usando 𝑣𝐵 de la parte (a). Para la órbita elíptica resultante, es decir, entre B y C, la energía y el momentum angular se mantendrán constantes. Recordemos que, gracias a que

la fuerza total es central, podemos escribir la energía mecánica total nueva como: 1 𝑙2 𝐺𝑀𝑚 𝐸 ′ = 𝑚𝑟̇ 2 + − 2 2 2𝑚𝑟 𝑟 A c á e s i m p r e s c i n d i b l e n o t a r q u e e n l o s p u n t o s B y C, 𝑟̇ = 0 Así, tenemos la siguiente igualdad: 𝑙2 𝐺𝑀𝑚 𝑙2 𝐺𝑀𝑚 𝐸′ = − = − 2 2 𝑟𝐵 𝑅𝐵 2𝑚𝑟𝐵 2𝑚𝑅𝐵 Donde se ha usado que 𝑟𝐶 = 𝑟𝑀 A partir de la igualdad anterior, es fácil despejar 𝑙 2 , lo que entrega: 𝑙2 =

𝑅𝑀 𝑟𝐵 2𝐺𝑀𝑚2 𝑅𝑀 + 𝑟𝐵

𝑙2

𝐺𝑀𝑚

Reemplazando 𝑙 2 en la expresión 𝐸 ′ = 2𝑚𝑟 2 − 𝑟 2 obtiene que: 𝐺𝑀𝑚 𝐸′ = − 𝑅𝑀 + 𝑟𝐵

con 𝑟 = 𝑟𝐵 ó 𝑟 = 𝑅𝑀 se

(c) La velocidad en C se puede obtener directamente de la ecuación: 1 𝐺𝑀𝑚 𝐸 = 𝑚𝑣𝐶2 − 2 𝑅𝑀 Sin embargo, existe otra manera: En los puntos en que la velocidad es perpendicular al vector posición (B y C en particular), o equivalentemente, en los puntos en que 𝑟̇ = 0 se cumple que 𝑙 = 𝑚𝑟𝑣 Así: 𝑅𝑀 𝑟𝐵 2 2 𝑙 2 = 𝑚2 𝑅𝑀 𝑣𝑐 = 2𝐺𝑀𝑚2 𝑅𝑀 + 𝑟𝐵 ∴ 𝑣𝐶2 =

𝑟𝐵 2𝐺𝑀 𝑅𝑀 𝑅𝑀 + 𝑟𝐵