Ejercicio-de-marco-catigliano.docx

Ejercicio 21. Determine el desplazamiento vertical en el marco que se muestra y emplee el método de Castigliano, en el marco considere EI constante.

40 klb

60 klb D

C

B 10 ft

10 ft

E 10 ft

15ft

A 20 ft

30 ft

Primeramente se colocara una carga P en el punto B, seguidamente por estática calculamos las reacciones del marco, teniendo en cuenta que primero descompondremos nuestra carga distribuida

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = √15𝑓𝑡 2 + 20𝑓𝑡 2 = 25𝑓𝑡

6𝑘𝑙𝑏/𝑓𝑡 × 25 𝑓𝑡 = 150𝑘𝑙𝑏 Entonces las componentes de la carga serán: 120klb B

20 𝐶𝑌 = 150 ( ) = 120 𝑘𝑙𝑏 25 90 klb

15 𝐶𝑋 = 150 ( ) = 90𝑘𝑙𝑏 25

15ft

7.5ft A

10 ft

20 ft

Teniendo estos valores se procede a calcular las reacciones del marco real. 150 klb

120 klb

P

40 klb

D

C

B 90 klb

60 klb

10 ft

10 ft

A 20 ft

30 ft

E 10 ft

15ft

∑ 𝐹𝑥 = 0 + 90 − 𝐸𝑥 = 0 ∴ 𝐸𝑥 = −90𝑘𝑙𝑏

∑ 𝑀𝐴 = 0 + −90(7.5) − 120(10) − 𝑃(20) − 40(30) − 60(40) + 90(15) + 𝐸𝑦(50) 2 𝐸𝑦 = 82.5 + 𝑃 5 ∑ 𝐹𝑦 = 0 + = −60 − 40 − 120 − 𝑃 + 𝐴𝑦 + 𝐸𝑦 3 𝐴𝑦 = 137.5 + 𝑃 5

Las fuerzas con las que se trabajarán deben ser perpendicular a la viga, por lo tanto, se requerirá de sacarlas componentes de Ay. Para el marco real será:

120klb

3 15 𝐴𝑥` = (137.5 + 𝑃 ) ( ) = 82.5 + 0.36𝑃 5 25

B 90 klb 7.5ft

3 20 𝐴𝑦` = (137.5 + 𝑃) ( ) = 110 + 0.48𝑃 5 25

A Ax`

15ft

10 ft

Ay Ay`

20 ft

A continuación calcularemos los momentos en el marco, usando el método de las ecuaciones 𝐴𝐵 0 ≤ 𝑋 ≤ 25

B

𝑀 = −3𝑥 2 + 110𝑥 + 0.48𝑃𝑥

A 82.5+0.36P

110+ 0.48P

𝐷𝐸 0 ≤ 𝑋 ≤ 10

E Ex

𝑀 = 82.5𝑥 + 0.36𝑃𝑥

x Ey

60 klb

𝐶𝐷 10 ≤ 𝑋 ≤ 20

D

𝑀 = 22.5𝑥 + 0.36𝑃𝑥 + 600

E Ex= 90 klb

x-10ft

10 ft Ey= 82.5 +0.36P

𝐵𝐶 20 ≤ 𝑋 ≤ 30

40 klb

60 klb D

C

B

E Ex= 90klb

x-20 ft

10 ft

10 ft Ey= 82.5 + 0.36P

𝑀 = 22.5𝑥 − 600 − 40(𝑥 − 20) + 0.36𝑃𝑥 = −17.5𝑥 + 0.36𝑃𝑥 + 1400 Obteniéndose de esta manera los siguientes datos: Sección

M

A-B

−3𝑥 2 + 110𝑥 + 0.48𝑃𝑥

0.48𝑃

D-E

82.5𝑥 + 0.36𝑃𝑥

0.36𝑃

C-D

22.5𝑥 + 0.36𝑃𝑥 + 600

0.36𝑃

B-C

−17.5𝑥 + 0.36𝑃𝑥 + 1400

0.36𝑃

𝑀𝜕𝑀/𝜕𝑃

𝜕𝑀/𝜕𝑃 −

36 3 264 2 144 2 𝑥 + 𝑥 + 𝑃𝑥 25 5 625 33𝑥 2 + 9𝑥 2 +

4 𝑃𝑥 2 25

4 𝑃𝑥 2 + 240𝑥 25

−7𝑥 2 +

4 𝑃𝑥 2 + 560𝑥 25

𝜕𝑀 ∫ 𝑀 ( ) 𝑑𝑥 𝜕𝑃 134375

11000 57000

95666.67

𝜕𝑀 𝑀 ( ) 𝑑𝑥 298,041.67 𝜕𝑃 ∆𝑉𝐵 = ∑ ∫ = 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝑛

𝑖