Ejercicio Admon Produccion

EJERCICIO DE ESTADISTICA El proveedor informa que sólo uno de cada 20 microchips es defectuoso. Usted decide analizar en cada análisis de calidad 50 chips. Hallar la probabilidad de que entre ellos no aparezca ninguno defectuoso. La probabilidad de que un microchip sea defectuoso, es igual a 1/20 y de que no lo sea es 19/20. Definamos la variable aleatoria, como el número de microchips defectuosos en la muestra de 50 chips. Esta variable aleatoria sigue una distribución Binomial con parámetros (50,1/20). La probabilidad de que entre los 50 chips no aparezca ninguno defectuoso es

 19  P ( x = 0) =    20 

50

= 0.07694

Calcular el número esperado de microchips que no funcionan. Para ello habrá que calcular el valor medio de la variable aleatoria x

E [ x ] = 50 ∗

1 5 = = 2.5 20 2

Obtener la probabilidad de que alguno sea defectuoso.

 19  P( a lg uno _ sea _ defectuoso) = 1 − P(ninguno _ sea _ defectuoso) = 1 −    20 

50

= 0.9231

Los microchips se analizan de forma consecutiva. ¿Cuál es el número esperado de microchips que debe analizar hasta llegar al primero defectuoso? Consideramos x una variable aleatoria definida como el instante en el que aparece el primer microchip defectuoso de la muestra. Esta variable aleatoria sigue una distribución geométrica con parámetro p = 1/20. El valor esperado de microchips que se deben analizar hasta llegar al primero defectuoso es:

E[ x] =

1 1 = = 20 1 p 20

Hallar la probabilidad de que el primero defectuoso sea el cuarto que se analiza.

P ( x = 4 ) = p ∗ (1 − p )

3

3

1  19  = ∗   = 0.04287 20  20 

Obtener la desviación típica del instante en que aparece el primero defectuoso.

19 1− p = 20 2 = 380 , luego la desviación típica es 19.49. La varianza de la variable x es: var( x ) = p2  1     20  EJERCICIO 2 Se sabe que la probabilidad de que cada uno de los ordenadores producidos por la empresa sea defectuoso es 0,02. En un control de calidad se prueban los 350 equipos producidos ayer. Obtenga la probabilidad de que al menos 10 ordenadores sean defectuosos. Sea X la variable aleatoria que muestra el número de ordenadores defectuosos en una muestra de 350 ordenadores. La variable x sigue una distribución Binomial (n,p), donde n=350 y p=0,02. Como n es mayor igual que 30 y n·p, n·(1-p) es mayor que 5 la distribución binomial se puede aproximar por una distribución normal.

Z=

X − n· p se puede aproximar por una distribución normal (0,1). np(1 − p )

En nuestro caso: E[X]=7 y var[X]=6,86.

X −7 ∼ N (0,1) ⇒ X ~ N 7, 6,86 = N ( 7,2.62 ) 6,86 P[ X ≥ 10] = 0.126096

(

)

Calcule la probabilidad de que el número de ordenadores defectuosos esté entre 5 y 9.

P[ 5 ≤ X ≤ 9] = P[ X ≤ 9] − P[ X ≤ 5] = 0.777376 − 0.0634154 = 0.7139606 ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de 4 ordenadores que no funcionen?

P[ X < 4] = 0.126096 ¿Cuál es el número esperado de ordenadores defectuosos? El número esperado de ordenadores defectuosos es:

E [ X ] = np = (350)(0,02) = 7