Ejercicio 9.madrid Junio 2009.

Ejercicio 9. Madrid. Junio 2009. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k: x + y + kz = 4 2x – y + 2z = 5 – x + 3y – z = 0 (a) Discútase el sistema según los diferentes valores del parámetro k. (b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. (c) Resuélvase el sistema para k = 0. Solución: F3 + F1

1 1 k 2 -1 2 -1 3 -1

4 5 0

→

3F3 + 4F2

1 1 k 0 - 3 2 - 2k 0 4 - 1+ k

4 -3 4

→

1 1 k 4 0 - 3 2 - 2k - 3 0 0 5 - 5k 0

F2 – 2F1 (a) 5 – 5k = 0 → 5 = 5k → k = 1 Si k = 1 el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Si k ≠ 1 el sistema es compatible determinado, tiene una única solución. (b) k=1 x+y+z=4 – 3y + 0z = – 3 0z = 0

→ – 3y = – 3 → y = 1 → x + 1 + z = 4 → x = 3 – z

Tomamos z = λ Entonces el conjunto de soluciones será (3 – λ, 1, λ) con λ Є R (c) k=0 x+y =4 – 3y + 2z = – 3 5z = 0

→ 5z = 0 → z = 0 → – 3y + 0 = – 3 → y = 1 → x + 1 = 4 → x = 3

Por tanto x = 3, y = 1, z = 0