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Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 5

Uno de los campos de mayor aplicación del algebra lineal es en la Robótica en el Modelado de la Cinemática de Robots. Para representar la posición y la orientación de un giro, se utilizan matrices y vectores. Sea el siguiente sistema de coordenadas tridimensional. En él se pueden hacer tres rotaciones: Rotación 𝑂𝑋, Rotación en 𝑂𝑌, Rotación en 𝑂𝑍.

Haciendo la rotación, tomando al eje 𝑦 como eje de giro, la matriz de rotación 𝑅(𝑦, 𝜑) que se obtiene es:

Teniendo en cuenta que: 𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, 𝜙) ∙ 𝑃𝑢𝑣𝑤 1 a) Encontrar el vector 𝑃𝑥𝑦𝑧, cuando el punto 𝑃𝑢𝑣𝑤 = [1], con 𝜙 = 90°, con respecto al eje 2 𝑂𝑌. cos 90 0 𝑃𝑥𝑦𝑧 = [ 0 1 − sin 90 0

sin 90 1 2 0 ] [1] = [ 1 ] cos 90 2 −1

1 b) Encontrar el vector 𝑃𝑥𝑦𝑧, cuando el punto 𝑃𝑢𝑣𝑤 = [2] , con 𝜙 = 45°, con respecto a eje 3 𝑂𝑌.

cos 45 0 𝑃𝑥𝑦𝑧 = [ 0 1 − sin 45 0

3√2 sin 45 1 2 0 ] [1] = 1 cos 45 2 √2 [ 2 ]