Ejercicio 3.docx

Ejercicio 1: Conceptualización de vectores, matrices y determinantes Descripción del ejercicio: Luego de haber realizado la lectura de los contenidos indicados, presentar de forma individual en el foro, un Mentefacto conceptual que ilustre alguno de los contenidos de la unidad 1, utilizando para su construcción Cmaptools, GoConqr, PowerPoint o cualquier otra herramienta de desarrollo de esquemas mentales. Se recomienda subirlo en formato de imagen (*.jpg, *.bmp, etc). Previamente, se debe informar en el foro sobre el tema elegido, para que no coincida con la elección de otro compañero. Deben escoger uno de los siguientes temas: a) Matrices: operaciones sobre matrices, matrices elementales.

Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 2 a) Dados los vectores representados en el siguiente gráfico, realizar los siguientes pasos:

    

Nombrar cada uno de los vectores y encontrar la magnitud y dirección de los mismos. Encontrar el ángulo entre los vectores. Sumar los vectores y encontrar la magnitud y dirección del vector resultante. Encontrar el área del paralelogramo formado por los vectores representados, con teoría vectorial. Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

Solución Como se puede apreciar en la imagen tenemos dos de vectores que llamaremos D y G Vector D ⃗ = (−4𝑋 + 1𝑌) 𝐷 Magnitud |𝐷| = √(−4)2 + 12 = √17 = 4.123 La magnitud del vector D es de 4.123

Dirección 𝑦

𝜃 = arctan 𝑥 donde (y=1) y (x=-4) 𝜃 = arctan (

1 ) = −14.036° −4

La dirección del vector D es de -14.036 grados Vector G 𝐺 = (3𝑋 + 5𝑌) |𝐺| = √(3)2 + 52 = √34 = 5.830

La magnitud del vector G es de 5.830 𝑦 𝑥

𝜃 = arctan donde (y=5) y (x=3) 5 𝜃 = arctan ( ) = 59.026° 3 𝐺 = 59.026° La dirección del vector G es de 59.026 grados

ángulo entre los vectores El ángulo entre dos vectores es igual a 𝑐𝑜𝑠∅ =

𝑢∙𝑣 |𝑢||𝑣|

𝑢∙𝑣 ∅ = arccos ( ) |𝑢||𝑣|

∅ = arccos(

(−4𝑥 + 1𝑦) ∙ (3𝑥 + 5𝑦) √34 ∗ √17

)

Desarrollando el producto punto entre los dos vectores

∅ = arccos(

−12 + 5

√34 ∗ √17

∅ = arccos(

)

−7

√34 ∗ √17

∅ = 106.92°

)

El ángulo entre los dos vectores es de 106.92 grados Sumar los vectores ⃗ = (−4𝑥 + 1𝑦) + (3𝑥 + 5𝑦) ⃗𝑫 ⃗ + ⃗𝑮 ⃗ = (−1𝑥 + 6𝑦) ⃗𝑫 ⃗ + ⃗𝑮 La suma de los vectores D y G son las siguientes coordenadas para X=-1 y para Y=6 dando como resultado la pareja de puntos (-1x;6y) El nuevo vector lo llamaremos H, y encontraremos su magnitud ⃗ = (−1𝑥 + 6𝑦) 𝐻 |𝐻| = √(1)2 + 62 = √37 = 6.083 La magnitud del vector H es 6.083

Dirección 6 𝜃 = arctan ( ) = −80.53° −1 La dirección del vector H es de -80.53 grados

área del paralelogramo 𝒂𝒓𝒆𝒂 = |𝑫 𝐱 𝐆| 𝒙 𝒚 𝑫 𝐱 𝐆 = −4 1 3 5 Se multiplica en cruz asi: 𝑫 𝐱 𝐆 = [(−4 ∗ 5) − (3 ∗ 1)] = −23 𝒂𝒓𝒆𝒂 = |−𝟐𝟑| = 23 𝑢2 El área del paralelogramo es de -23 unidades cuadradas

Comprobacion geogebra

Angulo entre los dos vectores

b) Dados los vectores 𝑣 = (3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘) 

−3𝑣 + 2𝑤 ⃗⃗

𝑤 ⃗⃗ = (2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘) calcular:

   

6(𝑣 . 𝑤 ⃗⃗ )

Calcular los cosenos directores de cada uno de los vectores. Calcular el producto cruz y el producto punto. Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar.

Solución  −3𝑣 + 2𝑤 ⃗⃗ Para el desarrollo de este punto debemos multiplicar el vector (v) por -3 de igual manera multiplicamos el vector (w) por 2 de la siguiente manera. −3𝑣 + 2𝑤 ⃗⃗ = (−3) ∗ (3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘 ) + (2) ∗ (2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘) Se multiplica el -3 por cada uno de los factores del vector (v), luego se multiplica el dos por cada uno de los fatores del vector (w) = (−9𝑖 + 12𝑗 − 6𝑘) + (4𝑖 + 10𝑗 + 8𝑘) Luego se suman o restan según el caso uno a uno cada factor es decir i con i, j con j, k con k; dando como resultado un nuevo vector (z) z= −5𝑖 + 22𝑗 + 2𝑘 solución  6(𝑣. 𝑤 ⃗⃗ ) Para el desarrollo de este punto primero hacemos el producto dentro del paréntesis luego multiplicamos por 6 asi: 6((3𝑖 − 4𝑗 + 2𝑘) ∗ (2𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘)) 6((3i*2i)+(-4j*5j)+(2k*4k)) 6((6i)+(-20j)+(8k)) 6(-22) -132

Cosenos directores Los cosenos directores se hallan de la siguiente forma Para el vector v

cos 𝛼 =

𝑥𝑖 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2

=

3𝑖 √32 + (−4)2 + 22

= 0.559

cos 𝛼 = 0.847

cos 𝛽 =

𝑦𝑗 √𝑥 2

+

𝑦2

+

𝑧2

=

−4𝑗 √32

+ (−4)2 + 22

= 0.742

cos 𝛽 = 0.737 cos 𝛾 =

𝑧𝑘 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2

=

2𝑘 √32 + (−4)2 + 22

= 0.372

cos 𝛾 = 0.931 Para el vector w cos 𝛼 =

cos 𝛽 =

cos 𝛾 =

𝑥𝑖 √𝑥 2

+

𝑦2

𝑧2

+

𝑦𝑗 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 𝑧𝑘 √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2

=

=

=

2𝑖 √22

+ (5)2 + 42 5𝑗

√22 + (5)2 + 42 4𝑖 √22 + (5)2 + 42

= 0.298

= 0.745

= 0.596

Calcular el producto cruz y el producto punto. Calculo del producto cruz 𝒊 𝒋 𝒌 𝑽𝒙𝑾 = 𝟑 −𝟒 𝟐 𝟐 𝟓 𝟒 Para el desarrollo del producto cruz procedemos asi Para (i) anulamos la columana i 𝒊 𝒋 𝒌 𝟑 −𝟒 𝟐 𝟐 𝟓 𝟒 Para (j) anulamos la columna j

𝒊 𝒋 𝒌 𝟑 −𝟒 𝟐 𝟐 𝟓 𝟒 Para (k) anulamos la columna k 𝒊 𝒋 𝒌 𝟑 −𝟒 𝟐 𝟐 𝟓 𝟒 Como resultado tendríamos V*W=[(-4*4)-(5+2)]i – [(3*4)-(2*2)]j + [(3*5)-(2*-4)] V*W= [(-16)-(10)]i – [(12)-(4)]j + [(15)-(-8)] V*W= -26i -8j +23k Calculo del producto punto Para el desarrollo de este punto descomponemos los vectores en cada uno de sus componentes asi V*W = {3,-4,2}*{2,5,4} V*W =(3*2)+(-4*5)+(2*4) V*W =6-20+8 V*W =14-20 V*W =-6



Comprobar y/o graficar los ítems anteriores, según corresponda, en Geogebra, Matlab, Octave, Scilab, u otro programa similar. Grafica vector V

Grafica vector W

Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3 Descripción del ejercicio 3 La velocidad de un cuerpo tiene inicialmente el valor V1 = (5,-3) m/s, al instante t1 = 25. Después de transcurridos 4 segundos, la velocidad ha cambiado al valor V2 = (-4,8) m/s. ⃗⃗⃗⃗⃗ . ?  ¿Cuánto vale el cambio de velocidad ∆𝑉  ¿Cuál es la variación de la velocidad por unidad de tiempo?  Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector.



Dados: 𝑎 = (5, 12) y 𝑏⃗ = (1, k), donde k es un escalar, encuentre (k) tal 𝜋 que la medida en radianes del ángulo 𝑏⃗ y 𝑎 sea 3 .

Solución ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑉2 − 𝑉1 ) ∆𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑉 = (−4𝑥 + 8𝑦) − (5𝑥 − 3𝑦) 𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−9𝑥 + 11𝑦) ∆𝑉 𝑠 |∆𝑉| = √(−9)2 + (11)2 |∆𝑉| = √202 𝑚 |∆𝑉| = 14.21 𝑠 El cambio de velocidad es de (-9x+11y) o 14.21 m/s

variación de la velocidad A la variación de la velocidad con respecto al tiempo se le denomina aceleración por lo tanto tenemos. 𝑎=

∆𝑉 −9𝑖 + 11𝑗 9 11 = =− 𝑖+ 𝑗 ∆𝑡 4 4 4 9 2 11 2 |𝑎| = √( ) + ( ) 4 4

|𝑎| = √(

81 121 ) +( ) 16 16

202 ) 16 𝑚 |𝑎| = 3.54 2 𝑠

|𝑎| = √(

La aceleración del cuerpo en 4 segundos es de 3.54 metros sobre segundo cuadrado Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector. 𝑎 = (5, 12) y 𝑏⃗ = (1, k), donde k es un escalar, encuentre (k) tal que la 𝜋 medida en radianes del ángulo 𝑏⃗ y 𝑎 sea . 3

𝑐𝑜𝑠∅ =

𝑎∙𝑏 |𝑎||𝑏|

|𝑎̅| = √52 + 122 |𝑎̅| = √25 + 144 |𝑎̅| = √169 |𝑎̅| = 13 | 𝑏̅| = √12 + 𝑘 2 | 𝑏̅| = √𝑘 2 + 1 𝑎̅ . 𝑏̅ = |𝑎̅|. 𝑏̅|.Cos ϴ Cos ϴ=𝑎̅ . 𝑏̅ /|𝑎̅|. 𝑏̅|. (5𝑥 + 12𝑦). (1𝑥 + 𝑘) 𝜋 cos ( ) = 3 √52 + 122 ∗ √12 + 𝑘 2 𝜋

1

cos (3 ) = 2 por lo tanto 1 (5𝑥 + 12𝑦). (1𝑥 + 𝑘) = 2 √52 + 122 ∗ √12 + 𝑘 2 1 ∗ √52 + 122 ∗ √12 + 𝑘 2 = 6 + 12𝑘 2 13 ∗ √12 + 𝑘 2 = (5 + 12𝑘) 2 13 ∗ √12 + 𝑘 2 = 2 ∗ (5 + 12𝑘) Elevando al cuadrado a lado y lado

13 ∗ √12 + 𝑘 2 = 10 + 24𝑘 169 ∗ (1 + 𝑘 2 ) = (10 + 24𝑘)2 169 + 169𝑘 2 = 100 + 480𝑘 + 576𝑘 2 Igualando a cero las partes 576𝑘 2 − 169𝑘 2 + 480𝑘 + 100 − 169 = 0 407𝑘 2 + 480𝑘 − 69 = 0 Usamos la siguiente formula para resolver ecuaciones de segundo grado 𝑥=

𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

−480 ± √4802 − (4 ∗ 407 ∗ −69) 2 ∗ 407

−480 ± 585.433 814 Obtenemos dos soluciones para k 𝑥=

−480 + 585.433 = 0.1295 814 −480 − 585.433 𝑥2 = = −1.3088 814 𝑥1 =

𝑘1 = 0.129 𝑘2=−1.308

Por lo tanto tendremos los vectores asi

𝑎 = (5, 12) y 𝑏⃗ = (1, 0.129) 𝑎 = (5, 12) y 𝑏⃗ = (1, -1.308)

Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes. Descripción del ejercicio 4

Sean las siguientes matrices: 1 −2 𝐴=[ 1 5

0 2 5 6 0 3 2 −3

3 3 8] 0

9 𝐵 = [1 0 5

−5 6 6 3 −1 3 ] 7 −5

0 3𝑥 2 0 −2 3 5 𝐶 = [ 4 3 5 4 ] 𝐷 = [ 3 𝑦2 −1 0 −9 8 1 0

−2 3 ] (𝑥 + 𝑦)

Realizar las siguientes operaciones, si es posible:

a) b) c) d) e) f) g) h) i)

𝐴∙𝐵∙𝐶 4𝐵 ∙ 2𝐴 3𝐶 ∙ (−7𝐵) 𝐷2 𝐷∙𝐶 𝐶𝑇 ∙ 𝐷 𝐷𝑒𝑡(𝐵) 𝐷𝑒𝑡(𝐷) (𝐵 𝑇 − 𝐶)𝑇 𝑨∙𝑩∙𝑪 1 −2 𝐴. 𝐵. 𝐶 = [ 1 5

0 5 0 2

2 6 3 −3

3 9 3 1 8] ∗ [0 0 5

−5 6 0 −2 3 5 6 3 4 3 5 4] ∗ [ ] −1 3 −1 0 −9 8 7 −5

En primer lugar, ¿se puede multiplicarse A.B.C? Nos tenemos que fijar en las columnas de A, en las filas de B y de C. Para el ejercicio observamos en el tamaño de las matrices y el orden es el siguiente. 𝐴: 4 ∗ 4 𝐵 =4∗3 𝐶 =3∗4 Para el ejercicio primero vamos a desarrollar el producto A.B La matriz A tiene 4 columnas y la matriz B tiene 4 filas. Son iguales y por tanto se pueden multiplicar.

1 −2 𝐴. 𝐵 = [ 1 5

0 2 5 6 0 3 2 −3

3 9 −5 6 3 6 1 3 8] ∗ [0 −1 3 ] 0 5 7 −5

En primer lugar multiplicamos la primera fila de A, por la primera columna de B. Se realiza un producto escalar, es decir, se van multiplicando los elementos de la fila y de la columna y sus resultados se van sumando. Ejemplo: (𝐴. 𝐵) 1 = (1 ∗ 9) + (0 ∗ 1) + (2 ∗ 0) + (3 ∗ 5) = 𝟐𝟒 (𝐴. 𝐵)2 = (1 ∗ −5) + (0 ∗ 3) + (2 ∗ −1) + (3 ∗ 7) = 𝟏𝟒 De esta manera completamos la matriz y por último obtendríamos

24 2 𝐴. 𝐵 = [49 47

−3 14 21 40 48 −25] −16 33

Como ya tenemos el producto A.B no falta la operación completa A.B.C, para ello verificamos. 𝐴. 𝐵 = 4 ∗ 3 𝐶 =3∗4 La matriz A.B tiene 3 columnas y la matriz C tiene 3 filass. Son iguales y por tanto se pueden multiplicar. 24 2 𝐴. 𝐵. 𝐶 = [49 47

−3 14 0 −2 3 5 21 40 4 3 5 4] ∗ [ ] 48 −25 −1 0 −9 8 −16 33

Ejemplo: (𝐴. 𝐵. 𝐶)1 = (24 ∗ 0) + (14 ∗ 4) + (−3 ∗ −1) = 𝟓𝟗 (𝐴. 𝐵. 𝐶)2 = (24 ∗ −2) + (14 ∗ 3) + (−3 ∗ 0) = −𝟔 Luego de realizar tosas las operaciones tenemos que el producto A.B.C es el siguiente 59 −6 169 139 116 17 𝐴. 𝐵. 𝐶 = [ 217 46 612 −97 −142 −236

152 338 237] 435

𝟒𝑩 ∙ 𝟐𝑨 La matriz 4.B tiene 3 columnas y la matriz 2A tiene 4 filas. No son iguales y por tanto no se pueden multiplicar.

𝟑𝑪 ∙ (−𝟕𝑩) La matriz 3C tiene 4 columnas y la matriz 7B tiene 4 filas. Son iguales y por tanto se pueden multiplicar. Lo primero que haremos es multiplicar el escalar por cada termino de las matrices asi:

Por ejemplo:

−63 35 −42 0 −6 9 15 −7 −21 −42 [ 12 9 15 12 ]*[ 0 7 −21] −3 0 −27 24 −35 −49 35

(3𝐶 ∗ −7𝐵)1 = (0 ∗ −63) + (−6 ∗ −7) + (9 ∗ 0) + (15 ∗ −35) = −𝟒𝟖𝟑 (3𝐶 ∗ −7𝐵)2 = (0 ∗ 35) + (−6 ∗ −21) + (9 ∗ 7) + (15 ∗ −49) = −𝟓𝟒𝟔

la matriz final queda de la siguiente manera −483 −546 588 3𝐶 ∙ (−7𝐵) = [−1239 −252 −777] −651 −1470 1533

𝑫𝟐 Para desarrollar D² miramos que tiene 3 columnas y como se va a multiplicar por la misma matriz se determina que son iguales y por tanto se pueden multiplicar. 0 3𝑥 2 𝐷 = [ 3 𝑦2 1 0 2

Ejemplo:

−2 0 3𝑥 2 3 ] ∗ [ 3 𝑦2 (𝑥 + 𝑦) 1 0

−2 3 ] (𝑥 + 𝑦)

𝐷 2 = (0 ∗ 0) + (3𝑥 2 ∗ 3) + (−2 ∗ 1) = 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐 𝐷 2 = (0 ∗ 3𝑥 2 ) + (3𝑥 2 ∗ 𝑦 2 ) + (−2 ∗ 0) = 𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟐 Por último, tenemos que la matriz es: 9𝑥 2 − 2 𝐷 = [3𝑦 2 + 3 (𝑥 + 𝑦) 2

3𝑥 2 𝑦 2 9𝑥 2 + 𝑦 4 3𝑥 2

9𝑥 2 − 2𝑥 − 2𝑦 −6 + 3𝑦 2 + 3𝑥 + 3𝑦] −2 + 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2

𝑫∙𝑪 La matriz D tiene 3 columnas y la matriz C tiene 3 filas. Son iguales y por tanto se pueden multiplicar.

Ejemplo:

0 3𝑥 2 𝐷. 𝐶 = [ 3 𝑦 2 1 0

−2 0 −2 3 5 3 ]∗[ 4 3 5 4 ] (𝑥 + 𝑦) −1 0 −9 8

(𝐷. 𝐶)1 = (0 ∗ 0) + (3𝑥 2 ∗ 4) + (−2 ∗ −1) = 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟐 (𝐷. 𝐶)2 = (0 ∗ −2) + (3𝑥 2 ∗ 3) + (−2 ∗ 0) = 𝟗𝒙𝟐 Por lo tanto la matriz queda resuelta asi: 12𝑥 2 + 2 9𝑥 2 𝐷. 𝐶 = [4𝑦 2 − 3 3𝑦 2 − 6 −𝑥 − 𝑦 −2

15𝑥 2 + 18 12𝑥 2 − 16 5𝑦 2 − 18 4𝑦 2 + 39 ] −9𝑥 − 9𝑦 + 3 8𝑥 + 8𝑦 + 5

𝑪𝑻 ∙ 𝑫 La matriz 𝑪𝑻 tiene 4 columnas y la matriz D tiene 4 filas. Son iguales y por tanto se pueden multiplicar. 0 −2 3 5 𝐶=[ 4 3 5 4 ] −1 0 −9 8

0 −2 𝑪 =[ 3 5

1 0 −9] 8

4 3 5 4

𝑻

0 3𝑥 2 𝐷 = [ 3 𝑦2 1 0

−2 3 ] (𝑥 + 𝑦)

De esta manera se conforma la matriz 𝑪𝑻 ∙ 𝑫

11 4𝑦 2 2 −6𝑥 + 3𝑦 2 𝑪𝑻 ∙ 𝑫 = 9 6 9𝑥 2 + 5𝑦 2 [20 15𝑥 2 + 4𝑦

12 − (𝑥 + 𝑦) 13 9 − (𝑥 + 𝑦) 2 + 8(𝑥 + 𝑦)]

𝑫𝒆𝒕(𝑩) La matriz 𝐵 = 4 ∗ 3 por lo tanto vamos a tener 3 matrices de 3*2 para hallar el determinate asi: 3

𝑫𝒆𝒕(𝑩) = 9. [−1 7

6 3 −5

1

] − (−5). [0 5

6 3 −5

1

] + 6 [0 5

3 −1 7

]

𝑫𝒆𝒕(𝑩) = 9. [(9 + 5) − (−6 + 21)] − (−5)[((3) − (15)] + 6. [(−1) − (−5)] 𝑫𝒆𝒕(𝑩) = 9. [(14 − 15)] − (−5)[(−12)] + 6. [(4)] 𝑫𝒆𝒕(𝑩) = −9 − 60 + 24 𝑫𝒆𝒕(𝑩) = −45 El determinante de B es -45

𝑫𝒆𝒕(𝑫) La matriz 𝐷 = 3 ∗ 3 por lo tanto vamos a tener 3 matrices de 2*2 para hallar el determinate asi:

𝑦2 3 𝑫𝒆𝒕(𝑫) = 0. [ 0 (𝑥 + 𝑦)

3

2

] − 3𝑥 . [ 1

3 (𝑥 + 𝑦)

3 ] − 2[1

𝑦2 0

]

𝑫𝒆𝒕(𝑫) = 0. [(𝑦2 (+𝑦)) − (0)] − 3𝑥2 [3(𝑥 + 𝑦) − 3] − 2. [(0) − (𝑦2 )] 𝑫𝒆𝒕(𝑫) = 0 − 3𝑥2 [3𝑥 + 3𝑦2 − 3] − 2. (𝑦2 ) 𝑫𝒆𝒕(𝑩) = −3𝑥 3 − 9𝑥 2 𝑦 + 9𝑥 2 + 2𝑦 2 El determinante de B es −3𝑥 3 − 9𝑥 2 𝑦 + 9𝑥 2 + 2𝑦 2

(𝑩𝑻 − 𝑪)𝑻 La matriz 𝑩𝑻 = 3 ∗ 4 y la matriz 𝑪 =3 ∗ 4 por lo tanto hacemos la sustracción punto a punto asi: 9 −5 6 6 1 3 𝐵 = [0 −1 3 ] 5 7 −5 9 1 3 −5 𝑩 =[ 6 6 𝑻

9

1

0 5

0 5 −1 7] 3 −5 0 −2 3 5 3 5 4]𝑻 −1 0 −9 8

(𝑩𝑻 − 𝑪)𝑻 =[−5 3 −1 7] − [ 4 6

6 3 9

−5 3

−3 0 −6 3 ] 𝑻 6 12 −13

(𝑩𝑻 − 𝑪)𝑻 =[−9 0 7

9 3 (𝑩𝑻 − 𝑪)𝑻 = [3 0

−9 0 −6 3

7 6 12] 13

Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices

Descripción del ejercicio 5 Uno de los campos de mayor aplicación del algebra lineal es en la Robótica en el Modelado de la Cinemática de Robots. Para representar la posición y la orientación de un giro, se utilizan matrices y vectores. Sea el siguiente sistema de coordenadas tridimensional. En él se pueden hacer tres rotaciones: Rotación 𝑂𝑋, Rotación en 𝑂𝑌, Rotación en 𝑂𝑍.

Haciendo la rotación, tomando al eje 𝑦 como eje de giro, la matriz de rotación 𝑅(𝑦, 𝜑) que se obtiene es:

Teniendo en cuenta que: 𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, 𝜙) ∙ 𝑃𝑢𝑣𝑤 1 a) Encontrar el vector 𝑃𝑥𝑦𝑧, cuando el punto 𝑃𝑢𝑣𝑤 = [1], con 𝜙 = 90°, con 2 respecto al eje 𝑂𝑌. Utilizando los datos dados procedemos a remplazarlos en la formula 𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, 𝜙) ∙ 𝑃𝑢𝑣𝑤 asi:

𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, 90°)𝑃𝑢𝑣𝑤 𝑃𝑥𝑦𝑧 = [

cos(90°) 0 sin(90°) 1 0 1 0 ] ∙ [1] − sin(90°) 0 cos(90°) 2

0 0 𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, 90°)𝑃𝑢𝑣𝑤 = [ 0 1 −1 0

1 1 2 0] ∙ [ 1] = [ 1 ] 0 2 −1

2 𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, 90°)𝑃𝑢𝑣𝑤 = [ 1 ] −1 2 𝑃𝑥𝑦𝑧 = [ 1 ] −1 1 b) Encontrar el vector 𝑃𝑥𝑦𝑧, cuando el punto 𝑃𝑢𝑣𝑤 = [2] , con 𝜙 = 45°, con 3 respecto a eje 𝑂𝑌. Utilizando los datos dados procedemos a remplazarlos en la formula 𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, 𝜙) ∙ 𝑃𝑢𝑣𝑤 asi: 𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, 45°)𝑃𝑢𝑣𝑤 cos(45°) 0 sin(45°) 1 𝑃𝑥𝑦𝑧 = [ 0 1 0 ] ∙ [1] − sin(45°) 0 cos(45°) 3 0.7071 0 𝑃𝑥𝑦𝑧 = 𝑅(𝑦, 90°)𝑃𝑢𝑣𝑤 = [ 0 1 −0.7071 0

0.7071 1 0 ] ∙ [ 2] 0.7071 3

2.828 𝑃𝑥𝑦𝑧 = [ 2 ] 1.414

Ejercicio 6: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 6 ELIMINACION GAUSSIANA: Es un procedimiento sistemático para resolver sistemas de ecuaciones lineales; se basa en la idea de reducir la matriz aumentada a una forma que sea lo suficientemente simple como para que el sistema de ecuaciones se pueda resolver por observación. Un nutricionista desarrolla una dieta para pacientes con bajo nivel de peso basándose en 3 materias primas cuyos contenidos se relacionan a continuación:

Materia Prima A B

Costo $/Kg 2,35 2

% % % % Azúcares Grasas Proteínas Inertes 12 10 60 18 10 10 50 30

C



1,7

8

6

44

42

Cuánto deberán mezclar de cada una de las tres (3) materias primas si se desea minimizar el costo de preparar un (1) kg de alimento cuyo contenido de azúcar no sea menor al 10%, su contenido de grasa no se mayor del 95% y su contenido de proteínas no sea menor al 52%.

Para el desarrollo de este punto tomamos los datos de la tabla y formamos la matriz % Azúcares 12 10 8

% Grasas 10 10 6 12 𝐴 = [10 8

% Proteínas 60 50 44

10 60 10 50] 6 44

● Calcular la inversa de la matriz aumentada por el método de la Adjunta. fórmula Para este punto debemos hallar AdjA asi: 140 −80 −100 𝐴𝑑𝑗 𝐴 = [−40 48 0 ] −20 8 20 Ahora debemos hallar Det A asi:

12 10 8 𝐷𝑒𝑡 𝐴 = [10 10 6 ] 60 50 44 𝑫𝒆𝒕(𝑨) = (5280 + 4000 + 3600) − (4800 + 3600 + 44000)

𝑫𝒆𝒕(𝑨) = (12880 − 12800) 𝑫𝒆𝒕(𝑨) = 80

ahora remplazamos estos valores en la formula asi:

𝐴¹ =

1 140 −80 −100 [−40 48 0 ] 80 −20 8 20

7 −5 −4 4 4 −1 3 𝐴¹ = 0 2 5 −1 1 1 [ 4 10 4 ]

● Comprobar que la inversa de la matriz calculada en el inciso anterior multiplicada por la matriz aumentada (inicial u original) es igual a la matriz identidad de la matriz identidad. 7 −5 −4 4 4 12 −1 3 𝐴¹𝐴 = 0 [10 2 5 8 −1 1 1 [ 4 10 4 ] 1 𝐴¹𝐴 = [0 0

10 60 10 50] 6 44

0 0 1 0] 0 1

Ejercicio 7: Usos del algebra lineal a. Usos del álgebra lineal en los modelos de transporte en cadenas de suministro. El algebra lineal nos sirve en este caso para determinar, la dirección, trayectoria, tiempo, velocidad y aceleración de cada vehículo o flota de vehículos en el trasporte de suministro, es decir, podemos determinar rutas de movilidad, tiempo que se tarda

entre punto y punto, a que velocidad de desplaza, la aceleración que puede alcanzar en algún punto y realizar el perímetro que recorre en la entrega de los productos. b.

Usos del álgebra lineal en los modelos para minimizar costos.

El algebra lineal en este punto nos enseña a calcular ingresos, costos, utilidades, puntos de equilibrio, a llevar un registro de datos que nos ayudaran a determinar una decisión para minimizar costos y optimizar una institución.

c. Usos del álgebra lineal en la asignación de recursos. El algebra lineal en este punto nos ayuda a determinar qué proceso requiere más recursos, a cuál le sobra, y cuando están en igualdad de condiciones.