Ejercicio 38 Guia 6

Ejercicio 38 - Trabajo Práctico 6 38) Sea g(x) =

1 − x−1

 

1 ln(x)



xex − x

si x < 1 si x ≥ 1

a) Halle Dom(g) y analice la derivabilidad de g. Comencemos por la rama superior. Hay dos cosas que aparecen en la fórmula de g a las que debemos prestar atención: 1. ln(x). Nos impone la necesidad de tomar únicamente los x > 0. 2. Los denominadores. Debemos pedir que ln(x) 6= 0, es decir x 6= 1; y por otro lado, x − 1 6= 0, o lo que es lo mismo, x 6= 1. De la primera restricción se desprende que el dominio de g comprende los x > 0. La segunda restricción nos dice que x debe ser distinto de 1. Pero eso no es problema, ya que en esta rama de g se abarcan los x < 1. La rama inferior de g no presenta ninguna restricción, de manera que: Dom(g) = R>0 = (0; +∞). Analizamos la continuidad de la función: 1 1 Para los x ∈ (0, 1), g(x) = ln(x) − x−1 . Luego, g es continua en dicho intervalo, por ser cociente de funciones continuas con denominador no nulo. Para los x > 1, g(x) = xex − x que resulta continua allí por ser resta y producto de funciones continuas. Para analizar el caso de que x = 1 se deben tomar los límites laterales y verificar que den lo mismo que g(1). Veamos que: g(1) = e − 1 l´ım+ g(x) = l´ım+ xex − x = e − 1 x→1

x→1

x−1−ln(x) 1 1 l´ım− g(x) = l´ım− ln(x) = l´ım− (x−1) − x−1 ln(x) = l´ım−

x→1

x→1

x→1

x→1

1− 1x 1 (x−1)+ln(x) x

Aplicando la regla de L’Hôpital nuevamente l´ım−

x→1

+ x12 −(x−1) x2

+ 1x + 1x

=

1 2

Luego los límites laterales son diferentes, por lo cual g resulta discontinua en x = 1 (en particular, g no es derivable en x = 1). Solamente debemos analizar la derivabilidad de g en (0, 1) ∪ (1, +∞). 1 1 Para los x ∈ (0, 1), g(x) = ln(x) − x−1 resulta derivable por ser cociente de funciones derivables con denominador no nulo. Para los x > 1, g(x) = xex − x es también derivable por producto y resta de funciones derivables. Para x = 1 no es necesario ningún tipo de análisis puesto que la función g no es continua en ese valor. Luego, la expresión de g0 quedará:  − 1x 1  + (x−1) si x < 1  ln2 (x) 2 0 g (x) =   x e + xex − 1 si x > 1 b) Analizar la existencia de asíntotas. Asíntotas verticales Elijo los posibles candidatos para ser AV.: 

x=0 x=1 1

No existen otros candidatos pues la función es continua en (0, 1) ∪ (1, +∞). x = 0 (Por ser el punto del borde del dominio de la función). Para evaluar el límite de g cuando x tiende a cero, debemos tomar la rama superior de g 1 1 − =1 x→0 ln(x) x−1

l´ım g(x) = l´ım

x→0

Luego, x = 0 no es asíntota vertical de g. x = 1 (Por ser un punto de discontinuidad de la función) Para evaluar este valor tengo que tomar los límites laterales de g alrededor de x = 1. l´ım− g(x) = l´ım−

x→1

x→1

1 1 1 − = ln(x) x − 1 2

l´ım g(x) = l´ım+ xex − x = e − 1

x→1+

x→1

Como los límites laterales no son infinitos, entonces decimos que x = 1 no es asíntota vertical de g. Luego, la función g no tiene asíntotas verticales. Asíntotas no verticales Veamos si la función tiene asíntotas no verticales, entonces comienzo por calcular : g(x) xex − x = l´ım = l´ım ex − 1 = +∞ x→+∞ x x→+∞ x→+∞ x Esto significa que g no posee asíntotas no verticales en +∞. En −∞ no tiene sentido hacer un análisis por el dominio de g. l´ım

Luego, la función g no tiene asíntotas de ningún tipo. c) Demuestre que existe c ∈ (1; +∞) tal que g(c) = 2. Aprovechando la continuidad de g recurrimos al Teorema del Valores Intermedios. En el intervalo (1, +∞), g es continua y con límites l´ım g(x) = e − 1,

x→1+

l´ım g(x) = l´ım xex − x l´ım x(ex − 1) = +∞.

x→+∞

x→+∞

x→+∞

Como l´ım+ g(x) = e − 1 < 2 tenemos por el Teorema de Valores Intermedios que existe c ∈ (1, +∞) tal que x→1

g(c) = 2.

2