Ejercicio 13-tp6
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- Words: 728
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Instituto de Ciencias - UNGS
Ejercicios resueltos de la práctica 6 - Derivadas 1. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando la respuesta. b) Si f es derivable en x = 2 y lim
x→2
f (x) − 8 = f 0 (2), entonces lim f (x) − 7 = 1 x→2 x−2
Probar que lim f (x) − 7 = 1 es equivalente, usando álgebra de límites, a ver que lim f (x) − 8 = 0. x→2
x→2
Consideremos lim f (x) − 8, multiplicando y diviendo por x − 2 resulta que x→2
lim
x→2
f (x) − 8 (x − 2), x−2
Recordemos la noción de derivada: Sea f definida en un entorno de x0 , decimos que f es derivable en x0 si existe y es finito el lim
x→x0
Lo notamos: lim
x→x0
f (x) − f (x0 ) = l , con l ∈ R x − x0
f (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 ). x − x0
f (x) − f (2) = f 0 (2) existe y es finito. x→2 x−2 Entonces por el álgebra de límites, tenemos que Como f es derivable x = 2 tenemos que lim
lim f (x) − 8 = lim
x→2
x→2
f (x) − 8 f (x) − 8 (x − 2) = lim lim x − 2 = f 0 (2)0 = 0. x→2 x − 2 x→2 x−2
Luego, lim f (x) − 7 = 1.
x→2
Demostrando así que la proposición b) es verdadera. c) Sean f , g, h :R → R funciones tales que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀ x ∈ R, f (2) = h(2) y f 0 (2) = h 0 (2) = a entonces g 0 (2) = a. En este ejercicio debemos partir de la información dada sobre las funciones e ir transformando las expresiones hasta obtener información sobre las derivadas. Sabemos que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), entonces, para x = 2 será f (2) ≤ g(2) ≤ h(2) Pero también tenemos como dato que f (2) = h(2) Entonces tendremos que f (2) ≤ g(2) ≤ f (2) y por propiedades de los números reales (Ley de Tricotomía) será g(2) = f (2), es decir, f (2) = g(2) = h(2). También sabemos que una desigualdad no se altera si restamos a todos los miembros el mismo número, es decir, si: f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) también ocurre que f (x) − f (2) ≤ g(x) − f (2) ≤ h(x) − f (2) o lo que es lo mismo, f (x) − f (2) ≤ g(x) − g(2) ≤ h(x) − h(2)
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Instituto de Ciencias - UNGS
Si ahora tomamos x > 2, es decir, x − 2 > 0 podemos dividir todos los miembros de la desigualdad sin alterarla, como sigue: f (x) − f (2) g(x) − g(2) h(x) − h(2) ≤ ≤ x−2 x−2 x−2 Si ahora tomamos el límite cuando x tiende a 2 por derecha en toda la expresión anterior, nos queda: lim+
x→2
f (x) − f (2) g(x) − g(2) h(x) − h(2) ≤ lim+ ≤ lim+ . x−2 x−2 x−2 x→2 x→2
Con un razonamiento similar para x < 2 tenemos que h(x) − h(2) g(x) − g(2) f (x) − f (2) ≤ lim− ≤ lim− . x−2 x−2 x−2 x→2 x→2 x→2 De la expresión anterior y la definición de derivada, llegamos a que: lim−
f 0 (2) ≤ g 0 (2) ≤ h 0 (2) ≤ f 0 (2). Luego por la ley de Tricotomía, tenemos que f 0 (2) = h 0 (2) = g 0 (2). Como además f 0 (2) = h 0 (2) = a entonces g 0 (2) = a. Concluímos entonces, que la proposición c) es verdadera. g) La función h(x) =| x2 | es derivable en R − {0}. Recordando la definición de módulo: | x |=
−x si x < 0 x si x ≥ 0
Ahora bien, la función g(x) = x2 es siempre positiva por lo tanto: h(x) =| x2 |= x2 Y esta función es derivable en todo R, pues h0 (x) = 2x para todo x ∈ R y en particular en R − {0}, por lo tanto la proposición g) es verdadera.
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Ejercicios resueltos de la práctica 6 - Derivadas 1. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando la respuesta. b) Si f es derivable en x = 2 y lim
x→2
f (x) − 8 = f 0 (2), entonces lim f (x) − 7 = 1 x→2 x−2
Probar que lim f (x) − 7 = 1 es equivalente, usando álgebra de límites, a ver que lim f (x) − 8 = 0. x→2
x→2
Consideremos lim f (x) − 8, multiplicando y diviendo por x − 2 resulta que x→2
lim
x→2
f (x) − 8 (x − 2), x−2
Recordemos la noción de derivada: Sea f definida en un entorno de x0 , decimos que f es derivable en x0 si existe y es finito el lim
x→x0
Lo notamos: lim
x→x0
f (x) − f (x0 ) = l , con l ∈ R x − x0
f (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 ). x − x0
f (x) − f (2) = f 0 (2) existe y es finito. x→2 x−2 Entonces por el álgebra de límites, tenemos que Como f es derivable x = 2 tenemos que lim
lim f (x) − 8 = lim
x→2
x→2
f (x) − 8 f (x) − 8 (x − 2) = lim lim x − 2 = f 0 (2)0 = 0. x→2 x − 2 x→2 x−2
Luego, lim f (x) − 7 = 1.
x→2
Demostrando así que la proposición b) es verdadera. c) Sean f , g, h :R → R funciones tales que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀ x ∈ R, f (2) = h(2) y f 0 (2) = h 0 (2) = a entonces g 0 (2) = a. En este ejercicio debemos partir de la información dada sobre las funciones e ir transformando las expresiones hasta obtener información sobre las derivadas. Sabemos que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), entonces, para x = 2 será f (2) ≤ g(2) ≤ h(2) Pero también tenemos como dato que f (2) = h(2) Entonces tendremos que f (2) ≤ g(2) ≤ f (2) y por propiedades de los números reales (Ley de Tricotomía) será g(2) = f (2), es decir, f (2) = g(2) = h(2). También sabemos que una desigualdad no se altera si restamos a todos los miembros el mismo número, es decir, si: f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) también ocurre que f (x) − f (2) ≤ g(x) − f (2) ≤ h(x) − f (2) o lo que es lo mismo, f (x) − f (2) ≤ g(x) − g(2) ≤ h(x) − h(2)
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Si ahora tomamos x > 2, es decir, x − 2 > 0 podemos dividir todos los miembros de la desigualdad sin alterarla, como sigue: f (x) − f (2) g(x) − g(2) h(x) − h(2) ≤ ≤ x−2 x−2 x−2 Si ahora tomamos el límite cuando x tiende a 2 por derecha en toda la expresión anterior, nos queda: lim+
x→2
f (x) − f (2) g(x) − g(2) h(x) − h(2) ≤ lim+ ≤ lim+ . x−2 x−2 x−2 x→2 x→2
Con un razonamiento similar para x < 2 tenemos que h(x) − h(2) g(x) − g(2) f (x) − f (2) ≤ lim− ≤ lim− . x−2 x−2 x−2 x→2 x→2 x→2 De la expresión anterior y la definición de derivada, llegamos a que: lim−
f 0 (2) ≤ g 0 (2) ≤ h 0 (2) ≤ f 0 (2). Luego por la ley de Tricotomía, tenemos que f 0 (2) = h 0 (2) = g 0 (2). Como además f 0 (2) = h 0 (2) = a entonces g 0 (2) = a. Concluímos entonces, que la proposición c) es verdadera. g) La función h(x) =| x2 | es derivable en R − {0}. Recordando la definición de módulo: | x |=
−x si x < 0 x si x ≥ 0
Ahora bien, la función g(x) = x2 es siempre positiva por lo tanto: h(x) =| x2 |= x2 Y esta función es derivable en todo R, pues h0 (x) = 2x para todo x ∈ R y en particular en R − {0}, por lo tanto la proposición g) es verdadera.
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