Ejercicio 1 Calculo Diferencial.docx

Ejercicio 1: Desarrollar los siguientes ítems: i. Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4 determinar utilizando los criterios de la primera y segunda derivada, los puntos máximos, mínimos, las concavidades y los intervalos donde la función es creciente o decreciente. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4 Primera derivada 𝑓(𝑥)′ = 3𝑥 2 − 6𝑥 Segunda derivada 𝑓(𝑥)′′ = 6𝑥 − 6 Puntos máximos y mínimos con la primera derivada 𝑓(𝑥)′ = 3𝑥 2 − 6𝑥 Cuando es de grado 2 solo va a tener máximo o mínimo, en este caso un mínimo así: 1) Igualamos a cero

0 = 3𝑥 2 − 6𝑥 + 0

=

−6 ± √(−6)2 − 4(3)(0) 2(3)

=

−6 ± √36 6

𝑥1 =

−6 + 6 =0 6

𝑥2 =

−6 − 6 = −2 6

La respuesta en este caso como valor mínimo tenemos 0, -2

Para averiguar si son máximos o mínimos tenemos que averiguar la segunda derivada 𝑓(𝑥)′′ = 6𝑥 − 6

𝑓′′(0) = 6(0) − 6 𝑓′′(0) = 0 − 6 𝑓′′(0) = −6 f’’(0)>0 en este caso estamos en presencia de un mínimo 𝑓(𝑥)′′ = 6𝑥 − 6 𝑓′′(−2) = 6(−2) − 6 𝑓′′(−2) = −12 − 6 𝑓′′(−2) = −18 f’’(-2)>0 en este caso también estamos en presencia de un mínimo luego para averiguar las coordenas en “y”, debemos averiguar la imagen de la función original en los valores que obtuvimos: cuando nuestro valor en x es “0”

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4 𝑓(0) = (0)3 − 3(0) + 4 𝑓(0) = 0 − 0 + 4 𝑓(0) = 4 cuando nuestro valor en x es “-2”

𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4 𝑓(−2) = (−2)3 − 3(−2)2 + 4 𝑓(−2) = −8 − 12 + 4 𝑓(−2) = −16 Entonces el máximo va a estar entre (0, 4) Y el mínimo va a estar entre (-2, 16)