Ejercicio 03-11-15.docx

Ejercicio 03 Sea un DE con respuesta 𝒚~(𝜇, 𝜎 2 ); demostrar que 𝛼2 = 𝜎 2 + 𝜇 2 donde 𝛼𝑘 = 𝐸(𝒚 𝑘 ) es el momento de orden 𝑘 de 𝒚 respecto al origen

Ejercicio 11 En algunos diseños experimentales, la respuesta 𝒚~Bin(𝑛, 𝜋). a) Utilizando la definición, calcular (𝒚) y 𝐸(𝒚 2 ); calcular, además, 𝑉(𝒚). Cambiar p por pi

b) Determinar 𝑚𝒚 (𝑡), la FGdM de y

Nota: ()

Ejercicio 15 Sea 𝒚 una respuesta experimental con media 𝜇 = (𝒚) como parámetro de investigación y varianza 𝑉(𝒚) = 𝜎 2 parámetro conocido. Se extraen 𝑛 ≥ 25 réplicas de un mismo tratamiento y se desea contrastar la hipótesis 𝐻0: 𝜇 = 𝜇0 versus la hipótesis 𝐻1: 𝜇 > 𝜇0 al nivel de significancia 𝛼; si el verdadero valor de 𝜇 es 𝜇1 > 𝜇0: a) Calcular la potencia o poder de la PdH (prueba de hipótesis). b) Calcular el tamaño muestral mínimo necesario para realizar la PdH, como función de las expresiones: 1 − 𝛽, 1 − 𝛼, 𝜎, 𝜇0 y 𝜇1.

Se nos pide formular la PdH siguiente {

𝐻0 : 𝜇 ≤ 𝜇0 𝐻1 : 𝜇 > 𝜇0

Si definimos el estadístico de contraste 𝑍0 =

𝑦̅ − 𝜇0 𝜎/√𝑛

∼ 𝑁(0,1)

Entonces se rechaza 𝐻0 a favor de 𝐻1 , si el valor de la media muestral es muy alto respecto de 𝜇0 , es decir, si se cumple que 𝜎 𝑍0 > 𝑍(𝛼) ⟺ 𝑦̅ > 𝜇0 + ( ) 𝑍(𝛼) √𝑛 Además, conocemos que la potencia de la PdH viene dada por 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎(𝜇1 ) = 𝑃[𝑅𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎𝑟 𝐻0 |𝐻0 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜] 𝜎 = 𝑃 [𝑦̅ > 𝜇0 + ( ) 𝑍(𝛼) |𝜇 = 𝜇1 ] √𝑛 𝑦̅ − 𝜇 (𝜇0 − 𝜇) = 𝑃[ 𝜎 > + 𝑍(𝛼) | 𝜇 = 𝜇1 ] 𝜎 ( ) √𝑛 √𝑛

= 1−𝑃[

(𝜇0 − 𝜇1 ) 𝑦̅ − 𝜇1 ≤ + 𝑍(𝛼) ] 𝜎 𝜎 ( ) √𝑛 √𝑛

= 1 − 𝑃 [𝑍1 ≤

(𝜇0 − 𝜇1 ) √𝑛 + 𝑍(𝛼) ] 𝜎

(𝜇0 − 𝜇1 ) = 1 − 𝐹𝑦 ( √𝑛 + 𝑍(𝛼) ) 𝜎 Donde 𝐹𝑦 representa la función de Distribución de una variable Normal Estándar.

a) En referencia al literal anterior, calcular el tamaño muestral mínimo necesario para realizar la PdH, como función de 1 − 𝛽, 1 − 𝛼, 𝜎, 𝜇0 y 𝜇1 . Se nos pide hallar el menor valor de 𝑛 tal que 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎(𝜇1 ) ≥ 1 − 𝛼 Luego de la parte anterior (e) se tiene que: 1 − 𝐹𝑦 (

(𝜇0 − 𝜇1 ) √𝑛 + 𝑍(𝛼) ) ≥ 1 − 𝛼 𝜎

Recordemos que 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎(𝜇1 ) = 1 − 𝛽, luego se tiene que 𝛽 = 𝐹𝑦 (

(𝜇0 − 𝜇1 ) (𝜇0 − 𝜇1 ) √𝑛 + 𝑍(𝛼) ) ⟹ √𝑛 + 𝑍(𝛼) = 𝐹𝑦−1 (𝛽) 𝜎 𝜎 ⟹ 𝑛≈(

2 𝜎 2 ) (𝐹𝑦−1 (𝛽) − 𝑍(𝛼) ) 𝜇0 − 𝜇1

⟹ 𝑛≈( ⟹ 𝑛≈(

2 𝜎 2 ) (−𝐹𝑦−1 (1 − 𝛽) + 𝑍(1−𝛼) ) 𝜇0 − 𝜇1

2 2 𝜎 ) (𝑍(1−𝛼) − 𝐹𝑦−1 (1 − 𝛽)) 𝜇0 − 𝜇1

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