Ejercicicos Resueltos Analisis

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR DE LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL NÚCLEO YARACUY- EXTENSIÓN BRUZUAL

EJERCICIOS RESUELTOS LIMITES INDETERMINADOS

Resolución:

•Este límite es de la forma ∞ − ∞. Indeterminado.

• Por tanto el límite se reduce a calcular

Apartado A) - Para calcular un límite con x tendiendo a menos infinito, basta con cambiar x por - x y hacer que tienda a más infinito.

Apartado B)

Resolución:

• El límite es por tanto de la forma 0·∞ . Indeterminado. • Multiplicando las dos fracciones:

• Al ser un cociente de polinomios de igual grado,

Resolución:

Apartado A)

Resolución:

1

lim Apartado B) x0

1 2x 1

3  2x

Si se evalúa directamente es una indeterminación del tipo ∞/∞, se rompe la indeterminación si se evalúa el límite por parte, aplicando teoremas de límites:

lim x 0

1 2

1 x

3 2

1 x

1 x

lim1  lim 2



x 0

1 x

x 0

lim 3  lim 2 x 0

1 0

lim 2  2  2 x 0

1 x

entonces:

x 0



 0 Por lo tanto se tiene

lim1  lim 2 x 0

1 x

x 0

lim 3  lim 2 x 0

1 x



1 0 1  30 3

x 0

LIMITES POR DEFINICIÓN 1. Solución:

lim (3x + 1) = 4 x →1

Significa que para todo ε > 0

existe δ > 0

tal que si

0 < | x-1| < δ entonces | (3x +1)-4| < ε Puesto que la elección de δ depende de ε, es necesario establecer una relación entre los valores absolutos. | (3x +1)- 4|

y |x-1|

|3x-3| = |3x-3| = 3| x-1|

De tal manera, para cada ε > 0 dado, se puede tomar δ = ε /3. Esto es porque 0< | x-1| < δ entonces 3 |x-1| <ε

=> |x-1| < ε /3

δ = ε/3

Implica que 3|x-2| < 3 (ε/3 ) = 3 2. Solución:

Análisis preliminar. Sea un número positivo cualquiera dado. Se debe hallar un

tal que:

Si , entonces (1) Para ello, considere inicialmente la desigualdad de la derecha de (1). (factorizando) (simplificando, puesto que x - 1 ≠ 0)

(2) Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede escoger

(cualquier valor menor funciona). Prueba formal.

Dado

,

existe

, tal que,

 4 x  1  11 3. Solución: xlim 3 Se debe demostrar que para cualquier ε > 0 existe una δ > 0 tal que:

 4 x  1  11  

siempre que 0  x  3  

Observe que:  4 x  1  11  4 x  1  11  4 x  12  4 x  3 Por tanto, se quiere que 4 x  3   siempre que 0  x  3   o, equivalente, 1  siempre que 0  x  3   . Si se escoge δ = ¼ ε, se tiene: 4 4 x  3  4 siempre que 0  x  3   o x3 

1 4 x  3  4   siempre que 0  x  3   o 4 4 x  3   siempre que 0  x  3   dándonos:

 4 x  1  11  

siempre que 0  x  3  

 4 x  1  11 . Si δ = ¼ ε. Esto demuestra que xlim 3

4. Solución:

5. Solución

Emprendedores: Juan Escalona C.I 19.974.506 Jesús E. Singer M. C.I 19.953.929 José E. Salcedo C. C.I 19.455.331 Manuel A. Ortiz M. C.I 19.953.187

Ing. Civil 06