Ejerc. De Max. Y Min.

Analice el Crecimiento o Decrecimiento de las siguientes funciones 1.- Dada la función: y = 0.1x 3 − 2 x + 6 . 1.1 Investigue cuales son los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. 1.2 ¿Existen máximos o mínimos?

2.- Represente gráficamente la función paramétrica que describe la trayectoria de una pelota lanzada con un ángulo de 60° a una velocidad inicial de 15 metros por segundo. (Ignore la resistencia del aire). Se recuerda que para una velocidad inicial v 0 y un ángulo θ , la componente horizontal de la trayectoria

X (t ) = tv 0 cos θ . La componente vertical es

de la pelota como función del tiempo es

Y (t ) = tv 0 sen θ − ( g / 2)t . La constante de gravedad es g=9.8 m / seg 2 . Luego las funciones 2

paramétricas: X 1T = 15 t cos 60 ° , Y1T = 15t sen 60 ° − (9.8 / 2)t 2 representan la trayectoria de la pelota. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? ¿ Cuándo caerá al suelo la pelota? Construya una tabla en la que se combinen a lo menos 6 diferentes datos, especificando los valores de la velocidad inicial y el ángulo con que es lanzada la pelota. Terminada la exploración sugiera un lanzamiento ideal. Estudie la posibilidad de calcular la distancia recorrida por la pelota en cada caso y la rapidez que lleva en cada instante.

Resolución de los siguientes problemas de Máximo y Mínimo 1.- “ De una pieza de hojalata de lado a, se desea construir una caja, abierta por arriba, del mayor volumen posible, cortando de las esquinas cuadrados iguales y doblando hacia arriba la hojalata para formar las caras laterales. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados?” Se recuerda lo siguiente: Si x es el lado del cuadrado pequeño, igual a la profundidad de la caja; entonces al lado del cuadrado que forma el fondo de la caja . x

Luego, caja.

V = (a − 2 x) 2 x

(a − 2 x)

es igual

representa el volumen de la

a Se sugiere realizar el estudio considerando un valor específico para a. Ejemplo a=60cm. La función cortado.

Y1 =(60 −2 x ) 2 x

representa la relación entre el Volumen y el lado del cuadrado

¿Existe una respuesta óptima como solución al problema? Justifique su respuesta indicando ordenadamente el procedimiento en el que se apoya.

2.- “Suponiendo que la resistencia de una viga de sección transversal rectangular es directamente proporcional a la anchura y al cuadrado de la profundidad. ¿Cuáles son las dimensiones de la viga de mayor resistencia que puede aserrarse de un tronco redondo de diámetro d?” 2.1 Si consideramos como x el valor de la anchura , y el valor de la profundidad, entonces la viga tendrá resistencia máxima, cuando la función R =xy es Máxima. 2

2.2 Como x 2 + y 2 = d 2 entonces y = ( d 2 − x 2 ) . Luego

R = x(d

2

− x2 )

2.3 Si consideramos d = 30 cm. Entonces la función a analizar es

.

Y = x (9 0 0

− x) 2

2.3 ¿Existe una respuesta óptima, como solución al problema? Justifique su respuesta indicando ordenadamente el procedimiento en el que se apoya. 3.- “ Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino, y ha de tener un área de 10800 metros cuadrados. Si el vecino paga la mitad de la cerca medianera, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la huerta para que el costo de cercarla sea para el dueño de la huerta el mínimo?” El perímetro a cubrir es P = 2 x + y y el área A = xy = 10800 x y La función a analizar es P = 2 x +

10800 x

¿Existe una respuesta óptima, como

solución al problema? Justifique su respuesta indicando ordenadamente el procedimiento en el que se apoya.

4.- Un prado rectangular de un jardín ha de tener 60 metros cuadrados de área. Debe rodearse de un paseo de un metro de ancho en los lados y de dos metros de ancho en las extremidades . Si el área total del prado y del paseo es mínima ¿ cuáles deben ser las dimensiones del prado?

Y = ( x + 2)( y + 4) , donde xy = 60 60 120 + 4) o sea la función Y = 4 x + + 68 La función a analizar es Y = ( x + 2)( x x 5.- Se requiere construir un canal abierto de capacidad máxima. La base y los lados del canal deben ser de 10 cm. de ancho, además los costados deben estar igualmente inclinados respecto a la base.¿Cuál debe ser la anchura del canal por arriba?

6.- Si con 1 metro cuadrado de tela se confecciona una esfera y un cubo, encuentre tres formas diferentes de realizar la construcción utilizando la totalidad de este material. De todas las formas de construir la esfera y el cubo debe haber una forma tal que la suma de los volúmenes de ambos cuerpos sea la máxima posible. Obtener la relación que debe existir entre el diámetro de la esfera y la arista del cubo para que la suma de los volúmenes sea efectivamente máxima. La idea es que esto último sea demostrado, mediante la aplicación de derivadas a una función que interprete la suma de estos dos volúmenes.