Ejemplos De Lineas De Transmision Cap.4

Propagación de Ondas

Tema 4: Ejemplos de Líneas de Transmisión Pablo Luis López Espí y Jesús Alpuente Hermosilla

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Ejemplos de Líneas de Transmisión „ Cable coaxial. „ Ondas de tensión y de corriente. „ Parámetros primarios. „ Impedancia característica. „ Potencia transmitida. Potencia máxima. „ Atenuación. „ Modelos comerciales. „ Modos superiores. „ Líneas de tiras „ Materiales dieléctricos. Propiedades de los sustratos comerciales. „ Línea biplaca.

1

„ „ „ „

Ondas de tensión y corriente. Parámetros primarios y secundarios. Potencia trnasmitida. Atenuación.

Ingeniería de Telecomunicación

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Cable coaxial „ Cable coaxial:

Si la frecuencia es suficientemente baja, en cada sección transversal hay una estructura de campos tipo TEM. E H

ε

2a

2b

Si la frecuencia es alta en el coaxial pueden aparecer modos TE y TM. Planteamos la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas

2

∇ t2V = 0 Ingeniería de Telecomunicación

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Cable coaxial. Ecuación de Laplace. „ Ecuación de Laplace en

coordenadas cilíndricas

1 ∂ ⎛ ∂V ⎜ρ ρ ∂ρ ⎝ ∂ρ

⎞ 1 ∂ 2V =0 ⎟+ 2 2 ⎠ ρ ∂ρ

„ Condiciones de contorno „

En el conductor interior el potencial vale V0, V(ρ = a) = V0.

„

En el conductor exterior el potencial es cero, V(ρ = b) = 0.

„ Además el cable coaxial tiene

simetría con respecto a φ por lo que la variación de V con respecto a esta coordenada es nula.

3

1 ∂ ⎛ ∂V ⎜ρ ρ ∂ρ ⎝ ∂ρ

⎞ ⎟=0 ⎠

Ingeniería de Telecomunicación

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Cable coaxial. Ecuación de Laplace (II) „ Para satisfacer la ecuación

anterior, el término que se encuentra dentro del paréntesis debe ser igual a una constante:

ρ

∂V = C1 ∂ρ

„ Despejando queda:

4

∂V C1 = ∂ρ ρ

Ingeniería de Telecomunicación

„ La ecuación diferencial anterior

tiene por solución:

V ( ρ ) = C1 ln ( ρ ) + C2 „ Sabemos por las condiciones

de contorno que V(a) = V0 y que V(b) = 0

V ( ρ ) = V0

( b)

ln ρ

( b)

ln a

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Cable coaxial. Campos y corriente. „ Una vez conocido el potencial

„ La corriente I0 se calcula a

es posible hallar la distribución de los campos:

través de la circulación del campo magnético a través de una curva que encierre uno de los conductores

r Et = −∇tV Ht =

1

( η

r zˆ × Et

)

„ Operando se llega a:

1

V0 Et = ln b

( a) ρ

5

Ht =

V0

⎛ ⎞ r r V 1 I0 =  ∫C1 H t dl = C∫1 ⎜⎜⎜ η ⋅ ln 0 b a φˆ ⎟⎟⎟ ⋅ a ⋅ dφ ⋅ φˆ = a ⎝ ⎠

( )

ρˆ

( )

=

2π

V0

∫ η ⋅ ln 0

1 ˆ φ

η ⋅ ln b a ρ

Ingeniería de Telecomunicación

I0 =

( a) b

(

)

dφ

V0 ⋅ 2π η ⋅ ln b a

( ) Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Cable coaxial. Parámetros primarios. „ Inductancia

l=

μ ln(b / a ) 2π

„ Resistencia

( H / m)

„ Capacidad

2πε c= ln(b / a)

r=

1 2π

⎛ 1 1 ⎞ ωμ ⎜ + ⎟ ⎝ a b ⎠ 2σ C

(Ω / m )

„ Conductancia

( F / m)

g=

2πσ D ln(b / a )

( S / m)

6

Ingeniería de Telecomunicación

Tema 4

Cable coaxial. Impedancia característica y Ejemplos de Líneas de Transmisión.

potencia transmitida „ La impedancia característica del

cable coaxial es:

V0 η ⎛ b ⎞ ZC = = ln ⎜ ⎟ I 0 2π ⎝ a ⎠ „ Potencia transmitida:

7

1 PT = ℜe ⎡⎣ ∫ ( Et × H t∗ ) dS ⎤⎦ 2

⎡ ⎛ ⎤ ⎞ 2 π b ⎢ ⎜ V ⎥ ρˆ V0∗ φˆ ⎟ 1 0 ⎢ ⎜ ⎟ ρ ⋅ d ρ ⋅ dφ ⋅ zˆ ⎥ PT = ℜe ∫ ∫ × 2 ⎢ 0 a ⎜ ln ⎛ b ⎞ ρ η ⋅ ln ⎛ b ⎞ ρ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎝a⎠ ⎥ ⎝a⎠ ⎠ ⎣ ⎦ ⎡ ⎛ ⎤ ⎞ ⎢ 2π b ⎜ V ⎥ ⎟1 ⋅ V02 V0∗ π 1 0 ⎟ ⋅ d ρ ⋅ dφ ⎥ = PT = ℜe ⎢ ∫ ∫ ⎜ 2 ⎢ 0 a ⎜ ln ⎛ b ⎞ η ⋅ ln ⎛ b ⎞ ⎟ ρ ⎥ η ⋅ ln ⎛ b ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎝a⎠ ⎥ ⎝a⎠⎠ ⎝a⎠ ⎣ ⎦

r dS = ρ ⋅ d ρ ⋅ dφ ⋅ zˆ Ingeniería de Telecomunicación

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Cable coaxial. Potencia máxima. „ La potencia máxima que se puede transmitir por un cable

coaxial está limitada por el campo eléctrico máximo o campo eléctrico de ruptura: V0 1 ≤ ERUP Et (máx) = ln b a a

( )

„ Sustituyendo este valor en la expresión de la potencia

transmisible se obtiene:

8

PT (máx) =

Ingeniería de Telecomunicación

E

2 RUP

⋅π ⋅ b

η

ln

b a

( a) b

2

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Cable coaxial. Atenuación del conductor. „ Atenuación en un cable coaxial debida a los conductores

⎤ 1 ⎡ 2 2 Plc = RS ⎢  H t dl +  H t dl ⎥ ∫ ∫ 2 ⎣ C1 C2 ⎦

1 2 Plc = RS  H dl S 2 ∫c

„ Sustituyendo el valor del campo H

Plc =

9

2π

2 0

V 1 1 RS ∫ 2 η ln 2 b 2 0

( a)

Ingeniería de Telecomunicación

⎡1 1⎤ ⎢⎣ a + b ⎥⎦ dφ

RS π ⋅ V02 ⎛ a + b ⎞ Plc = 2 η ln 2 b ⎜⎝ ab ⎟⎠ a

( )

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Cable coaxial. Atenuación del dieléctrico.

10

„ Atenuación debida al dieléctrico b 2π

1 1 2 Pld = σ D ∫ E dS = σ D ∫ 2 S 2 a

∫

2

Et ρ ⋅ d ρ ⋅ dφ

0

„ Sustituyendo los valores de la conductividad y del campo

eléctrico transversal:

Pld =

b 2π

1 2 ∫a

∫ ln 0

2 0

V 2

( a) b

ωε 0ε ''⋅

Ingeniería de Telecomunicación

dr ⋅ dφ r

Pld =

ωε 0ε '' π V02

( a)

ln b

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Cable coaxial. Atenuaciones. „ Constantes de atenuación:

„ La atenuación total se minimiza

eligiendo el valor de b/a. „

αC =

RS

( a)

2η ln b

a+b ab

k ε '' αD = 2ε'

„

„ Para transmitir la máxima

capacidad de potencia: „ „

11

El mínimo está en b/a = 3,6. la impedancia característica del medio es ZC = 77 Ω

Valor óptimo en b/a = 1,65. La impedancia característica que se obtiene es de ZC = 30 Ω

„ Solución de compromiso es tomar

50 Ω a la que corresponde un valor de b/a = 2,3

Ingeniería de Telecomunicación

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Cable coaxial. Atenuaciones (II).

12

Ingeniería de Telecomunicación

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Cable coaxial. Modelos comerciales.

13

Ingeniería de Telecomunicación

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Cable coaxial. Modelos comerciales (II).

14

Ingeniería de Telecomunicación

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Cable coaxial. Modos superiores. „ El cable coaxial, además del modo TEM fundamental estudiado,

puede propagar también modos TE y TM, conocidos como modos superiores. „ Estos modos pueden propagarse a partir de una frecuencia mínima o frecuencia de corte. „ El primero de los modos superiores confinados es el TE01 „ Su longitud de onda de corte está dada por:

λC = π ( a + b )

15

Ingeniería de Telecomunicación

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Líneas de tiras. Materiales dieléctricos.

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„ Propiedades: „ Bajas pérdidas: Valores bajos de tangente de pérdidas. „ Alta constante dieléctrica: reduce las dimensiones del circuito. „ Buena resistencia mecánica. „ Buena conducción térmica. Temperatura de transición alta. „ Alta uniformidad en las propiedades. „ Alto valor del campo eléctrico de ruptura. Ingeniería de Telecomunicación

Tema 4

Líneas de tiras. Propiedades de los sustratos Ejemplos de Líneas de Transmisión.

comerciales. „ Se venden en planchas de

distintos tamaños y espesores de dieléctrico (d) y metal (t)

d

17

Peso (oz./ft2)

Grosor (in)

Grosor (μm)

1/4

.00036

9,14

1/2

.0007

17,78

1

.0014

35,56

2

.0028

71,12

3

.0042

106,68

4

.0056

142,24

5

.0070

177,8

ε, μ, σD

t

Ingeniería de Telecomunicación

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Líneas de tiras. Propiedades de los sustratos

18

comerciales. „ Existe una amplia variedad en cuanto a las tangentes de pérdidas y

constantes dieléctricas: Fabricante

Nombre

ε

Tangente de pérdidas a 10 GHz

Rogers

Ultralam 217

2.17 +/- 0.02

0.0009

Taconic

TLC-30

3.00 +/- 0.05

0.0028

Arlon

AD 300

3.00 +/- 0.05

0.003

FR4

3.9-4.4

0.014 (*)

Arlon

AR 450

4.5 +/- 0.15

0.0026

Rogers

TMM-4

4.50 +/- 0.045

0.0020

Rogers

RT/Duroid 6006

6.15 +/- 0.15

0.0012

Arlon

AR 1000

10.0

0.003

Rogers

RT/Duroid 6010

10.2 +/- 0.25

0.0023

Ingeniería de Telecomunicación

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Línea biplaca. „ Está formada por dos conductores planos paralelos .

L

Entre ambos conductores es posible definir un potencial eléctrico. ε, μ, σD

d

19 W

Ingeniería de Telecomunicación

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Línea biplaca. Ecuación de Laplace.

20

„ Ecuación de Laplace en

coordenadas cartesianas

d 2V =0 2 dy

„ La ecuación diferencial anterior

tiene por solución:

V ( y ) = C1 y + C2 „ Sabemos por las condiciones

„ Condiciones de contorno „

En el conductor superior el potencial vale V0, V(y = d) = V0.

„

En el conductor inferior el potencial es cero, V(y=0) = 0.

Ingeniería de Telecomunicación

de contorno que V(a) = V0 y que V(b) = 0

V0 V ( y) = y d Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Línea biplaca. Campos y corriente. „ Una vez conocido el potencial

es posible hallar la distribución de los campos:

r Et = −∇tV Ht =

1

( η

r zˆ × Et

)

„ Operando se llega a:

V0 Et = − yˆ d

21 H t = xˆ

V0 η ⋅d

Ingeniería de Telecomunicación

„ La corriente I0 se calcula a

través de la circulación del campo magnético a través de una curva que encierre uno de los conductores r r ⎛ V0 I0 =  H dl = ∫C1 t C∫1 ⎜⎝ η ⋅ d

⎞ xˆ ⎟ ⋅ ( dx ⋅ xˆ ) = ⎠

W

V0 dx η ⋅d 0

=∫ I0 =

V0 ⋅ W η ⋅d

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Línea biplaca. Parámetros primarios. „ Inductancia

l=μ

d W

„ Resistencia

( H / m)

„ Capacidad

W c =ε d

r=

2 W

ωμ 2σ C

(Ω / m)

„ Conductancia

( F / m)

g =σD

W d

( S / m)

22

Ingeniería de Telecomunicación

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Línea biplaca. Impedancia característica y

23

potencia transmitida „ La impedancia característica del

cable coaxial es:

ZC =

V0 η d = I0 W

„ Potencia transmitida:

1 PT = ℜe ⎡⎣ ∫ ( Et × H t∗ ) dS ⎤⎦ 2

⎡ d W ⎛ V0 ⎤ 1 V0∗ ⎞ ˆ ⋅ . PT = ℜe ⎢ ∫ ∫ ⎜ − yˆ × xˆ dx dy z ⎥ ⎟ η ⋅d ⎠ 2 d ⎣0 0 ⎝ ⎦

2 0

V W PT = 2η d

r dS = ρ ⋅ d ρ ⋅ dφ ⋅ zˆ Ingeniería de Telecomunicación

Tema 4

Ejemplos de Líneas de Transmisión.

Línea biplaca. Atenuación. „ Atenuación debida a los conductores

1 ωμC α C ( Np m ) = dη σ C „ Atenuación debida al dieléctrico

α D ( Np m ) =

24

ωε tan δ ⎛d ⎞ 2η ⎜ ⎟ ⎝W ⎠

2

“Interesan materiales dieléctricos con baja tangente de pérdidas y conductores con alta conductividad” Ingeniería de Telecomunicación

Tema 4