Ej 7 Tp 6
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- Words: 569
- Pages: 2
Guía de TP No 6
M ATEMÁTICA I A NUAL
Ejercicio 7 Determine las ecuaciones de las rectas tangentes al gráfico de cada una de las siguientes funciones, en los e) f (x) = ex (x + ln x), en x0 = 1 puntos cuyas abcisas se indican: c) f (x) = x−1 x+5 , en x0 = 2 c) En primer lugar calculemos el dominio de f , el cual es R − {−5}. Para calcular la ecuación de la recta tangente, es útil recordar la siguiente expresión: y = f 0 (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) Calculemos f (x0 ): f (x0 ) = f (2) =
2−1 2+5
=
1 7
Calculemos f 0 (x0 ), para ello primero calculemos f 0 (x): Notemos que f es un cociente de dos polinomios, por lo tanto para derivar debemos utilizar la siguiente regla: f (x) =
u(x) v(x)
f 0 (x) =
u 0 (x).v(x)−u(x).v 0 (x) [v(x)]2
En nuestro caso u(x) = x − 1 y v(x) = x + 5, calculemos los datos necesarios: u 0 (x) = (x − 1) 0 = 1
v 0 (x) = (x + 5) 0 = 1
Reemplacemos en la expresión de la derivada de la división: f 0 (x) =
u 0 (x).v(x)−u(x).v 0 (x) [v(x)]2
=
1.(x+5)−(x−1).1 (x+5)2
=
x+5−(x−1) (x+5)2
=
x+5−x+1 (x+5)2
=
6 (x+5)2
Ahora que tenemos la expresión de la derivada de f , calculemos f 0 (2) f 0 (2) =
6 (2+5)2
=
6 49
Hallemos la expresión de la recta tangente: y = f 0 (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 )
→
y = f 0 (2) (x − 2) + f (2) =
6 49
(x − 2) + 17
e) f (x) = ex (x + ln x), en x0 = 1 En primer lugar calculemos el dominio de f , el cual es R>0 . Calculemos f (x0 ): f (x0 ) = f (1) = e1 (1 + ln 1) = e Calculemos f 0 (x0 ), para ello primero calculemos f 0 (x): Notemos que f es un producto de dos funciones, por lo tanto para derivar debemos utilizar la siguiente regla: f (x) = u(x).v(x)
f 0 (x) = u 0 (x).v(x) + u(x).v 0 (x)
En nuestro caso u(x) = ex y v(x) = x + ln x, calculemos los datos necesarios: u 0 (x) = (ex ) 0 = ex
2009
v 0 (x) = (x + ln x) 0 = 1 + 1x
Hoja 1 de 2
M ATEMÁTICA I A NUAL
Guía de TP No 6
Reemplacemos en la expresión de la derivada de la multiplicación: f 0 (x) = u 0 (x).v(x) + u(x).v 0 (x) = ex .(x + ln x) + ex .(1 + 1x ) = ex . x + ln x + 1 + 1x Ahora que tenemos la expresión de la derivada de f , calculemos f 0 (1) f 0 (1) = e1 . 1 + ln 1 + 1 + 11 = 3.e Hallemos la expresión de la recta tangente: y = f 0 (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 )
Hoja 2 de 2
→
y = f 0 (1) (x − 1) + f (1) = 3e (x − 1) + e.
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M ATEMÁTICA I A NUAL
Ejercicio 7 Determine las ecuaciones de las rectas tangentes al gráfico de cada una de las siguientes funciones, en los e) f (x) = ex (x + ln x), en x0 = 1 puntos cuyas abcisas se indican: c) f (x) = x−1 x+5 , en x0 = 2 c) En primer lugar calculemos el dominio de f , el cual es R − {−5}. Para calcular la ecuación de la recta tangente, es útil recordar la siguiente expresión: y = f 0 (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) Calculemos f (x0 ): f (x0 ) = f (2) =
2−1 2+5
=
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Calculemos f 0 (x0 ), para ello primero calculemos f 0 (x): Notemos que f es un cociente de dos polinomios, por lo tanto para derivar debemos utilizar la siguiente regla: f (x) =
u(x) v(x)
f 0 (x) =
u 0 (x).v(x)−u(x).v 0 (x) [v(x)]2
En nuestro caso u(x) = x − 1 y v(x) = x + 5, calculemos los datos necesarios: u 0 (x) = (x − 1) 0 = 1
v 0 (x) = (x + 5) 0 = 1
Reemplacemos en la expresión de la derivada de la división: f 0 (x) =
u 0 (x).v(x)−u(x).v 0 (x) [v(x)]2
=
1.(x+5)−(x−1).1 (x+5)2
=
x+5−(x−1) (x+5)2
=
x+5−x+1 (x+5)2
=
6 (x+5)2
Ahora que tenemos la expresión de la derivada de f , calculemos f 0 (2) f 0 (2) =
6 (2+5)2
=
6 49
Hallemos la expresión de la recta tangente: y = f 0 (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 )
→
y = f 0 (2) (x − 2) + f (2) =
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(x − 2) + 17
e) f (x) = ex (x + ln x), en x0 = 1 En primer lugar calculemos el dominio de f , el cual es R>0 . Calculemos f (x0 ): f (x0 ) = f (1) = e1 (1 + ln 1) = e Calculemos f 0 (x0 ), para ello primero calculemos f 0 (x): Notemos que f es un producto de dos funciones, por lo tanto para derivar debemos utilizar la siguiente regla: f (x) = u(x).v(x)
f 0 (x) = u 0 (x).v(x) + u(x).v 0 (x)
En nuestro caso u(x) = ex y v(x) = x + ln x, calculemos los datos necesarios: u 0 (x) = (ex ) 0 = ex
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v 0 (x) = (x + ln x) 0 = 1 + 1x
Hoja 1 de 2
M ATEMÁTICA I A NUAL
Guía de TP No 6
Reemplacemos en la expresión de la derivada de la multiplicación: f 0 (x) = u 0 (x).v(x) + u(x).v 0 (x) = ex .(x + ln x) + ex .(1 + 1x ) = ex . x + ln x + 1 + 1x Ahora que tenemos la expresión de la derivada de f , calculemos f 0 (1) f 0 (1) = e1 . 1 + ln 1 + 1 + 11 = 3.e Hallemos la expresión de la recta tangente: y = f 0 (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 )
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→
y = f 0 (1) (x − 1) + f (1) = 3e (x − 1) + e.
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