Ej 7 Tp 6

Guía de TP No 6

M ATEMÁTICA I A NUAL

Ejercicio 7 Determine las ecuaciones de las rectas tangentes al gráfico de cada una de las siguientes funciones, en los e) f (x) = ex (x + ln x), en x0 = 1 puntos cuyas abcisas se indican: c) f (x) = x−1 x+5 , en x0 = 2 c) En primer lugar calculemos el dominio de f , el cual es R − {−5}. Para calcular la ecuación de la recta tangente, es útil recordar la siguiente expresión: y = f 0 (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) Calculemos f (x0 ): f (x0 ) = f (2) =

2−1 2+5

=

1 7

Calculemos f 0 (x0 ), para ello primero calculemos f 0 (x): Notemos que f es un cociente de dos polinomios, por lo tanto para derivar debemos utilizar la siguiente regla: f (x) =

u(x) v(x)

f 0 (x) =

u 0 (x).v(x)−u(x).v 0 (x) [v(x)]2

En nuestro caso u(x) = x − 1 y v(x) = x + 5, calculemos los datos necesarios: u 0 (x) = (x − 1) 0 = 1

v 0 (x) = (x + 5) 0 = 1

Reemplacemos en la expresión de la derivada de la división: f 0 (x) =

u 0 (x).v(x)−u(x).v 0 (x) [v(x)]2

=

1.(x+5)−(x−1).1 (x+5)2

=

x+5−(x−1) (x+5)2

=

x+5−x+1 (x+5)2

=

6 (x+5)2

Ahora que tenemos la expresión de la derivada de f , calculemos f 0 (2) f 0 (2) =

6 (2+5)2

=

6 49

Hallemos la expresión de la recta tangente: y = f 0 (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 )

→

y = f 0 (2) (x − 2) + f (2) =

6 49

(x − 2) + 17

e) f (x) = ex (x + ln x), en x0 = 1 En primer lugar calculemos el dominio de f , el cual es R>0 . Calculemos f (x0 ): f (x0 ) = f (1) = e1 (1 + ln 1) = e Calculemos f 0 (x0 ), para ello primero calculemos f 0 (x): Notemos que f es un producto de dos funciones, por lo tanto para derivar debemos utilizar la siguiente regla: f (x) = u(x).v(x)

f 0 (x) = u 0 (x).v(x) + u(x).v 0 (x)

En nuestro caso u(x) = ex y v(x) = x + ln x, calculemos los datos necesarios: u 0 (x) = (ex ) 0 = ex

2009

v 0 (x) = (x + ln x) 0 = 1 + 1x

Hoja 1 de 2

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Guía de TP No 6

Reemplacemos en la expresión de la derivada de la multiplicación:   f 0 (x) = u 0 (x).v(x) + u(x).v 0 (x) = ex .(x + ln x) + ex .(1 + 1x ) = ex . x + ln x + 1 + 1x Ahora que tenemos la expresión de la derivada de f , calculemos f 0 (1)   f 0 (1) = e1 . 1 + ln 1 + 1 + 11 = 3.e Hallemos la expresión de la recta tangente: y = f 0 (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 )

Hoja 2 de 2

→

y = f 0 (1) (x − 1) + f (1) = 3e (x − 1) + e.

2009