Efecto Compton

El Efecto Compton El efecto compton es tan importante como el efecto fotoel´ectrico pues este efecto muestra las propiedades corpusculares de las ondas electromagn´eticas. Experimentalmente se observ´o que cuando un rayo (la cual llamaremos primario) incid´ıa en un material, dicho rayo se dispersaba en forma de radiaci´on a la cual llamaremos radiaci´ on secundaria, se encontr´o r´apidamente que esta radiaci´ on secundaria era menos penetrante que la radiaci´on primaria, y por tanto pose´ıa una longitud de onda menor que el incidente. La interacci´on de una OEM y una part´ıcula cargada libre se explica mediante la fluorescencia y absorci´on y emisi´ on de OEM de part´ıculas cargadas. Sin embargo, esta explicaci´on no era v´ alido en todos los casos, por ejemplo, para materiales cuyo numero at´omico fuese peque˜ no, tal como el carbono, emit´ıa radiaci´on fluorescente que posee una longitud de onda tal que esta radiaci´on puede ser absorbida por cualquier capa fina de aire, sin embargo, experimentalmente se observ´o que para dispersi´on de la radiaci´ on mediante carbono con aire como medio dispersor tambi´en aparec´ıa un rayo secundario, la cual posee una longitud de onda menor que el rayo primario. Cl´ asicamente se sabe que el fen´omeno de absorci´on y emisi´on predice que cuando una part´ıcula cargada absorbe energ´ıa de una OEM, esta part´ıcula se mueve en direcci´ on perpendicular a la direcci´on de la OEM incidente con un movimiento oscilatorio forzado y adem´as esta part´ıcula cargada emite radiaci´on en la misma direcci´ on que la OEM incidente (figura 1). Sin embargo, como ya se menciono, se observa una dispersi´on en todos los ´angulos y con longitudes de onda menor que la OEM incidente.

Figura 1: Interacci´ on de una Onda Electromagn´etica con un electr´on

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Debido a esta contradicci´ on, el efecto no pod´ıa ser explicado mediante el concepto de fluorescencia, la explicaci´on a este fen´omeno fue dado por A. H. Compton, debido a que la fluorescencia se basa en la interacci´on de part´ıculas cargadas con ondas electromagn´eticas y no se pod´ıa explicar este fen´omeno mediante el concepto de fluorescencia, Compton sugiri´o (al igual que Einstein) que los electrones libres, en su interacci´on con las ondas electromagn´eticas, se comportan en la forma propuesta por Planck para los osciladores at´omicos en la radiaci´ on de cuerpo negro. Para explicar el fen´ omeno expuesto, se hicieron las siguientes consideraciones: 1. La radiaci´ on electromagn´etica hace las veces de una part´ıcula de masa en reposo nula, que para abreviar llamaremos fot´on. 2. La dispersi´ on de la radiaci´on electromagn´etica por un electr´on libre se puede considerar como un choque entre el electr´on y una part´ıcula de masa en reposo nula. 3. La energ´ıa y el momentum de la part´ıcula de masa en reposo nula (o fot´on) est´ an relacionados con la frecuencia y la longitud de onda de la radiaci´on electromagn´etica por E = hν p = h/λ Compton mostr´ o que cuando una radiaci´on primaria monocrom´atica incide sobre un material, el rayo dispersado est´a compuesto por dos l´ıneas, una correspondiente a la longitud de onda del rayo incidente y otra l´ınea la cual corresponde a otra longitud de onda m´as grande que la del rayo incidente. La figura 2 muestra el espectro de radiaci´on dispersada de longitud de onda λ0 y cuyo objetivo fue el carbono y le dispersi´on se observ´o a 90o .

Figura 2: Espectro de rayos X dispersados

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Figura 3: Relaciones de energ´ıa y momentum en la dispersi´on de Compton

Compton observ´ o que la diferencia entre las longitudes de onda primaria y secundaria solo depende del ´angulo a la que es observada la dispersi´on y no 0 depende del material objetivo. La longitud de onda λ de la radiaci´on dispersada queda determinada por la relaci´on 0

λ − λ0 =

h (1 − cos θ) me c2

Es posible deducir esta relaci´on mediante las consideraciones hechas por Compton y el gr´ afico que ilustra la colisi´on entre un fot´on y un electr´on (figura 3). En la direcci´ on del movimiento, la conservaci´on del momentum estar´a dado por Momentum inicial = Momentum final 0

hν hν +0= cos φ + p cos θ (1) c c En la direcci´ on perpendicular al movimiento, la conservaci´on del momentum estar´ a dado por Momentum inicial = Momentum final 0

hν sin φ − p sin θ c El primer paso es multiplicar (1) y (2) por c y los reescribimos como 0=

pc cos θ = hν − hν 0 cos φ pc sin θ = hν 0 sin φ

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(2)

Elevando al cuadrado cada una de las ecuaciones anteriores y sum´andolas obtenemos 0 0 p2 c2 = (hν)2 − 2(hν)(hν ) cos φ + (hν )2 (4) De la expresion relativista de la energia p E = m2e c4 + p2 c2

(5)

0

Adem´ as de E = Ek +Ereposo y Ek = hν−hν reemplazando en (5) obtenemos 0

0

0

p2 c2 = (hν)2 − 2(hν)(hν ) + (hν )2 + 2me c2 (hν − hν )

(6)

Reemplazando en (4) obtenemos 0

0

2me c2 (hν − hν ) = 2(hν)(hν )(1 − cos φ)

(7)

puesto que ν = c/λ obtenemos finalmente h (1 − cosθ) (8) me c Esta es la conocida f´ ormula de desplazamiento de Compton. La figura 4 muestra los espectros de radiacion de la radiacion dispersada para diversos angulos de dispersion 0

λ −λ=

Figura 4: Espectros de radiaci´on para distintos ´angulos de dispersi´on Para finalizar observemos en la figura 4 que existe un pico la cual no se modifica y que corresponde a la longitud de onda de la radiaci´on incidente. Este pico en el espectro se debe a los rayos que interact´ uan con electrones que est´ an fuertemente ligados al n´ ucleo, en este caso se debe reemplazar me con me + mnucleo en la formula de dispersi´on de Compton, debido a que mnucleo es mucho mayor que me los efectos de dispersi´on no se apreciaran. David Frank

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