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PROBLEMAS DE CONTORNO Oscar Zurita, Pedro Rosario Facultad de ciencias basicas Universidad de cordoba febrero 2019

´ 4.1 SECCION Ejercisio 2 Considere una varilla de metal (0 < x < l), aislada a lo largo de sus lados pero no en su extremos, que inicialmente es a temperatura = 1. De repente ambos extremos se hunden en un ba˜ no de temperatura = 0. Escriba la ecuaci´on diferencial, condiciones l´ımite, y condici´on inicial. Escribe la f´ormula para la temperatura. u(x, t) en tiempos posteriores. En este problema, asume la expansi´on de la serie infinita. ( ) πx 1 3πx 1 5πx 4 sin( ) + sin( ) + sin( )+··· 1= π l 3 l 5 l

´ SOLUCION El enunciado anterior corresponde al siguiente problema:

Figure 1: varilla de longitud l ut = k uxx 0 < x < l, t ≥ 0 u(0, t) = u(l, t) = 0 u(x, 0) = 1

(1) (2) (3)

Proponemos una soluci´on para (1) de la forma u(x, t) = X(x)T (t) ut (x, t) = X(x)T ′ (t),

uxx (x, t) = X ′′ (x)T (t)

Llevando esta soluci´on a la ecuaci´on (1) X(x)T ′ (t) = kX ′′ (x)T (t) ⇒

T ′ (t) X ′′ (x) = = −λ kT (t) X(x)

A partir de la ecuaci´on anterior se tiene: X ′′ (x) + λX(x) = 0

P ara λ > 0

Cuya soluci´on es de la forma: √ √ X(x) = B cos( λx) + C sin( λx) Donde B y C son costantes determinadas a partir de las condiciones dadas en (2), entonces: √ X(0) = B = 0 X(l) = C sin( λ l) = 0 1

C´ omo C ̸= 0 para no considerar una soluci´on trivial,entonces: √ nπ 2 λ l = n π ⇒ λn = ( ) l Entonces nuestra soluci´on espacial ser´a:

(1)

nπ x) l La soluci´on temporal la obtenemos resolviendo la siguiente ecuaci´on diferencial: Xn (x) = sin(

T ′ (t) + k λ T (t) = 0

P ara λ > 0

Cuya soluci´on es: ∫

T (t) = Ae−k λdt ⇒ T (t) = Ae−k λt = Ae−(

nπ 2 l ) k

t

Donde A es una costante. Entonces la soluci´on general ser´a la combinaci´ on lineal de estas dos soluci´ones. u(x, t) =

∞ ∑

An e−(

nπ 2 l ) k

t

sin(

n=1

nπ x) l

Ahora vemos si se cumplen las conciones de contorno, entonces: u(0, t) =

∞ ∑

An e−(

nπ 2 l ) kt

An e−(

nπ 2 l ) kt

sin(0) = 0

n=1

u(l, t) =

∞ ∑

sin(n π) = 0

n=1

Por lo tanto se cumplen las condiciones dadas en el problema. Hallamos An a partir de las condiciones iniciales del problema (3), entonces tenemos que: u(x, 0) =

∞ ∑

An e−(

nπ 2 l ) k

(0)

sin(

n=1

∞ ∑ nπ nπ An sin( x) = x) = 1 l l n=1

(4)

Multiplicando ambos lados de la ecuaci´on (4) por sin( mπ l x) e integramos sobre el intervalo [0, l], obtenemos: ∫

l

sin( 0

∫ l ∞ nπ mπ ∑ mπ An sin( x) x)dx = x)dx sin( l l l 0 n=1

Suponiendo que la serie:

∞ ∑

An sin(

n=1

nπ x) l

Converge, la integral puede entrar en la suma. ∞ ∑

∫ An 0

n=1

l

mπ nπ sin( x) sin( x)dx = l l

∫

l

sin( 0

mπ x)dx l

Para m = n, desarrollamos la siguiente integral: ∫ 0

l

mπ nπ sin( x) sin( x)dx = l l

∫

l

sin2 ( 0

∫

nπ x)dx l

l

1 1 2nπ ( − cos( x))dx 2 2 l 0 ( ) l l 1 1 2nπ = x− sin( x) = 2 4nπ l 2 0 =

Para m ̸= n, tenemos: ∫

l

sin( 0

mπ nπ x) sin( x)dx = l l

∫ 0

l

cos((m − n)πx) − cos((m + n)πx) dx 2 2

=

1 2

(

) l sin((m − n)πx) sin((m + n)πx) − =0 (m − n)π (m + n)π 0

Entonces: 2 l

∫

l

sin( 0

mπ nπ x) sin( x)dx = δmn l l

por lo tanto l ( ) ∫ l l mπx l mπx sin( An = )dx = − cos( ) 2 l mπ l 0 0 n=1 ( ) l l An = (1 − (−1)m ) 2 mπ ∞ ∑

2 (1 − (−1)m ) mπ Entonces la soluci´on al problema planteado ser´a: An =

u(x, t) =

∞ ∑ nπ 2 2 nπ (1 − (−1)n )e−( l ) k t sin( x) nπ l n=1

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