Edp 2009 Cu Raspunsuri
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Edp 2009 Cu Raspunsuri as PDF for free.
More details
- Words: 2,641
- Pages: 6
Ecuatii cu derivate partiale MULTIPLE CHOICE 1. Să se rezolve problema Cauchy pentru ecuaŃia:
∂ 2u ∂ 2u − =0 ∂t 2 ∂x 2 cu condiŃiile iniŃiale: ∂u u t =0 = x 2 , t =0 = 0 ∂t u ( x, t ) = t 2 + x 2 2. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
∂ 2u ∂ 2u 2 −4 2 =0 ∂x ∂t u = 0, ∂u = x t =0 t = 0 ∂t
u ( x, t ) = xt 3. DeterminaŃi forma unei coarde la momentul t = 2 ∂ 2u 2 ∂ u − a şi de condiŃiile iniŃiale u ∂t 2 ∂x 2
u ( x, t ) =
t =0
π 2a
= sin x,
π
2a
4. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
∂ 2u ∂ 2u 2 − 2 =0 ∂x ∂t u = x, ∂u = − x t =0 t =0 ∂t
u ( x, t ) = x (1 − t ) 5. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei: 2 ∂ 2u 2 ∂ u − a =0 2 ∂x 2 ∂t u = 0, ∂u = cos x t =0 t =0 ∂t 1 u ( x, t ) = cos x sin at a
1
dacă mişcarea ei este definită de ecuaŃia: ∂u ∂t
t =0
= 1.
6. Să se găsească forma unei coarde la momentul t = π dacă mişcarea sa este definită de ecuaŃia:
∂ 2u ∂ 2u 2 − 2 =0 ∂x ∂t u = sin x, ∂u t =0 ∂t u = − sin x
t =0
= cos x
7. Să se aducă la forma canonică indicând transformările de variabile:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u +2 − 3 2 + 2 + 6 = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 ∂ u 1 ∂u + = 0 , ξ = x + y , η = 3x − y ∂ξ∂η 2 ∂ξ 8. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u +4 +5 2 + +2 = 0 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y ∂ 2u ∂ 2u ∂u + + =0 , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η
ξ = 2x − y ,
η=x
9. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u − + 2 +α +β + cu = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y ∂ 2u ∂u ∂u + (α + β ) +β + cu = 0 , 2 ∂η ∂ξ ∂η
ξ = x+ y ,
η=y
10. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 − 2 cos x − 3 + sin x −y =0 ( ) 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ∂ u η − ξ ∂u ∂u + − =0 , ∂ξ∂η 32 ∂ξ ∂η
ξ = 2 x + sin x + y ,
η = 2 x - sin x - y
11. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u y + 2 xy + 2x +y = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ∂ 2 u ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + 2+ ⋅ + ⋅ =0, 2 ∂ξ ∂η ξ − η ∂ξ 2η ∂η 2
ξ = x2 − y 2 ,
η = x2
12. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u tg x 2 − 2 y tgx +y + tg 3 x = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x 2
∂ 2u 2ξ ∂u − ⋅ =0 , ∂η 2 η 2 ∂ξ
ξ = y sin x , 2
η=y
13. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 1 ∂u 2 + 2sin x − cos x + cos x + sin 2 x = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x 2 ∂y ∂ 2u 1 ξ + η ∂u + cos =0 , ∂ξ∂η 2 2 ∂η
ξ = x + y + cos x ,
η = x − y − cos x
14. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
x2
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u + 2 xy − 3 y − 2 x + 4 y + 16 x 4u = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y
∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + ⋅ − +u = 0 , ∂ξ∂η 4η ∂ξ ξ ∂η
ξ = xy ,
η=
x3 y
15. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
(1 + x ) ∂∂xu + (1 + y ) ∂∂yu + x ∂∂ux + y ∂∂uy = 0. 2
2
2
2
2
∂ 2u ∂ 2u + =0, ∂ξ 2 ∂η 2
2
(
)
(
ξ = ln x + 1 + x 2 ,
η = ln y + 1 + y 2
)
16. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
sin 2 x
2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u − 2 y sin x + y = 0. ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2
∂ 2u 2ξ ∂u − 2 ⋅ =0 , 2 2 ∂η ξ + η ∂ξ
ξ = ytg
x , 2
η=y
17. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u cth x 2 − 2 y cthx +y + 2y = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂x ∂y 2
1 ∂u ∂ 2u ∂u ξ + +η =0 , 2 2 ∂η 1 + η ∂ξ ∂η
ξ = y chx ,
η = shx
18. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând
transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2 u y 2 + 2 = 0. ∂x ∂y ecuaŃia este de tip eliptic dacă y > 0 ,iar, forma canonică este:
∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u + + =0, ∂ξ 2 ∂η 2 3η ∂η
ξ=x,
2 32 η= y 3
( y > 0)
19. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând
transformarea făcută:
∂ 2u ∂ 2u ∂u + y 2 +α =0 , 2 ∂x ∂y ∂y
unde α = constant
ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă y < 0 , iar forma canonică este: 1 − α 2 ∂u 2 ∂u − ∂u = 0 , ξ = x − 2 − y ( y < 0 ) − ∂ξ∂η ξ − η ∂ξ ∂η η = x + 2 − y 3
20. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
precizând transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2u y 2 +x 2 =0 ∂x ∂y ecuaŃia este de tip eliptic dacă x > 0 , y > 0, iar, forma canonică este: 3 2 x ξ = − ( ) 3 η = ( − y ) 2
∂ u ∂ u 1 ∂u 1 ∂u + + + =0 , ∂ξ 2 ∂η 2 3ξ ∂ξ 3η ∂η 2
2
21. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
precizând transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2u x 2 + y 2 =0 ∂x ∂y ecuaŃia este de tip eliptic pe exteriorul cercului x 2 + y 2 = 1, iar forma canonică este:
1 − x2 − y 2 ∂ 2 u ∂ 2u y + = = = 0 , , ξ η ∂ξ 2 ∂η 2 x −1 x −1 22. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
precizând transformarea făcută: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u 1 − x2 − 2 xy − 1 + y − 2x − 2 y =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y pentru 1 − x 2 + y 2 > 0 ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:
(
)
(
)
∂ 2 u ∂ 2u − =0, ∂ξ 2 ∂η 2
ξ=
y , 1+ x
η=
1 − x2 + y 2 1+ x
23. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 − 2sin x − cos x − cos x =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y
u ( x, y ) = ϕ ( x + y − cos x ) +ψ ( x − y + cos x ) 24. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
u ( x, y ) = ϕ
(
) (
x − y +ψ
x+ y
)
x, y > 0
25. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: 2 ∂ 2u ∂u 2 ∂ u x −y − 2y =0 2 2 ∂x ∂y ∂y 2
x y ϕ ( x, y ) + ψ y x 26. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: 2 2 ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u 2 ∂ u x − 2 xy +y +x +y =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y u ( x, y ) = ϕ ( x ⋅ y ) ln y +ψ ( x ⋅ y ) u ( x, y ) =
4
27. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: 2 ∂ 2 ∂u 2 ∂ u x x = ∂x ∂x ∂y 2
u ( x, y ) =
ϕ ( x − y ) +ψ ( x + y ) x
28. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
( x − y)
∂ 2u ∂u ∂u − + =0 ∂x∂y ∂x ∂y
u ( x, y ) =
X ( x) − Y ( y) , unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare x− y
29. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u ∂u ∂u + y + x + xyu = 0 ∂x∂y ∂x ∂y u ( x, y ) = e
−
x2 + y 2 2
ϕ ( x ) +ψ ( y )
30. Utizând schimbarea de variabile independente :
y z , η = , ζ = z− y x x să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u x 2 2 + 2 xy + y 2 2 + 2 yz + z 2 2 + 2 zx =0 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y∂z ∂z ∂z∂x y z y z u ( x, y, z ) = ( z − y ) ϕ , + ψ , , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅) x x x x 31. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = a11 2 + 2a12 + a22 2 a11a22 = a122 ) ( 2 ∂t ∂x ∂x∂y ∂y
ξ=
(
) (
u ( x, y , t ) = ϕ x + a11t , y + a22t + ψ x − a11t , y − a22t unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.
)
32. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 4u ∂ 4u ∂ 4u −2 2 2 + 4 = 0 ∂x 4 ∂x ∂y ∂y
u ( x, y ) = ( x − y ) f1 ( x + y ) + ( x + y ) f 2 ( x − y ) + f3 ( x − y ) + f 4 ( x + y ) unde f k ( ⋅)
( k = 1, 4) sunt funcŃii arbitrare
33. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + 2 − 3 =0 , ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2
u y =0 = 3x 2 ,
u ( x, y ) = 3x 2 + y 2 5
∂u ∂y
=0 y =0
34. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
(1 + x ) 2
∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 − + y +x −y =0 , 1 ( ) 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y
u ( x, y ) =
u y = 0 = ϕ0 ( x ) ,
∂u ∂y
= ϕ1 ( x ) y =0
1 α 2 − 1 β 2 − 1 1 β 1 z 2 − 1 ϕ1 ϕ0 ϕ0 − dz 2 2α 2 β 2 ∫α z 2 z
(
unde, α = x + 1 + x 2
)(
)
y + 1+ y2 ,
β=
x + 1 + x2 y + 1+ y2
35. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 + 2 cos x − sin x − sin x =0, 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y u ( x, y ) =
u y =sin x = ϕ0 ( x ) ,
∂u ∂y
= ϕ1 ( x ) y = sin x
x −sin x + y
1 1 ϕ 0 ( x − sin x + y ) + ϕ 0 ( x + sin x − y ) + ϕ1 ( z ) dz 2 2 x +sin∫x − y
36. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + 4 − 5 + − = 0, ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y
u y =0 = f ( x ) ,
∂u ∂y
= F ( x) y =0
y x− x− y 5 z 5 − x +6 y 5 6z 6 u ( x, y ) = f ( x + y ) + e e f ′ ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz ∫ 6 x+ y x + y
37. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic: 2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u x − 2 xy − 3y =0, ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 2
(
)
3 1 u ( x, y ) = ϕ 0 x 3 y + yϕ 0 4 4
u
y =1
= ϕ0 ( x ) , x y
∂u ∂y
= ϕ1 ( x ) y =1 x y
7 − x 3 4 3 34 3 4 + − ϕ ϕ x y x x dx x y x x dx 0( ) 1( ) ∫ ∫ y 16 4 3 3 x y x y
6
7 − 4
∂ 2u ∂ 2u − =0 ∂t 2 ∂x 2 cu condiŃiile iniŃiale: ∂u u t =0 = x 2 , t =0 = 0 ∂t u ( x, t ) = t 2 + x 2 2. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
∂ 2u ∂ 2u 2 −4 2 =0 ∂x ∂t u = 0, ∂u = x t =0 t = 0 ∂t
u ( x, t ) = xt 3. DeterminaŃi forma unei coarde la momentul t = 2 ∂ 2u 2 ∂ u − a şi de condiŃiile iniŃiale u ∂t 2 ∂x 2
u ( x, t ) =
t =0
π 2a
= sin x,
π
2a
4. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:
∂ 2u ∂ 2u 2 − 2 =0 ∂x ∂t u = x, ∂u = − x t =0 t =0 ∂t
u ( x, t ) = x (1 − t ) 5. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei: 2 ∂ 2u 2 ∂ u − a =0 2 ∂x 2 ∂t u = 0, ∂u = cos x t =0 t =0 ∂t 1 u ( x, t ) = cos x sin at a
1
dacă mişcarea ei este definită de ecuaŃia: ∂u ∂t
t =0
= 1.
6. Să se găsească forma unei coarde la momentul t = π dacă mişcarea sa este definită de ecuaŃia:
∂ 2u ∂ 2u 2 − 2 =0 ∂x ∂t u = sin x, ∂u t =0 ∂t u = − sin x
t =0
= cos x
7. Să se aducă la forma canonică indicând transformările de variabile:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u +2 − 3 2 + 2 + 6 = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 ∂ u 1 ∂u + = 0 , ξ = x + y , η = 3x − y ∂ξ∂η 2 ∂ξ 8. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u +4 +5 2 + +2 = 0 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y ∂ 2u ∂ 2u ∂u + + =0 , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η
ξ = 2x − y ,
η=x
9. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u − + 2 +α +β + cu = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y ∂ 2u ∂u ∂u + (α + β ) +β + cu = 0 , 2 ∂η ∂ξ ∂η
ξ = x+ y ,
η=y
10. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 − 2 cos x − 3 + sin x −y =0 ( ) 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ∂ u η − ξ ∂u ∂u + − =0 , ∂ξ∂η 32 ∂ξ ∂η
ξ = 2 x + sin x + y ,
η = 2 x - sin x - y
11. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u y + 2 xy + 2x +y = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ∂ 2 u ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + 2+ ⋅ + ⋅ =0, 2 ∂ξ ∂η ξ − η ∂ξ 2η ∂η 2
ξ = x2 − y 2 ,
η = x2
12. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u tg x 2 − 2 y tgx +y + tg 3 x = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x 2
∂ 2u 2ξ ∂u − ⋅ =0 , ∂η 2 η 2 ∂ξ
ξ = y sin x , 2
η=y
13. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 1 ∂u 2 + 2sin x − cos x + cos x + sin 2 x = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x 2 ∂y ∂ 2u 1 ξ + η ∂u + cos =0 , ∂ξ∂η 2 2 ∂η
ξ = x + y + cos x ,
η = x − y − cos x
14. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
x2
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u + 2 xy − 3 y − 2 x + 4 y + 16 x 4u = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y
∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + ⋅ − +u = 0 , ∂ξ∂η 4η ∂ξ ξ ∂η
ξ = xy ,
η=
x3 y
15. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
(1 + x ) ∂∂xu + (1 + y ) ∂∂yu + x ∂∂ux + y ∂∂uy = 0. 2
2
2
2
2
∂ 2u ∂ 2u + =0, ∂ξ 2 ∂η 2
2
(
)
(
ξ = ln x + 1 + x 2 ,
η = ln y + 1 + y 2
)
16. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:
sin 2 x
2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u − 2 y sin x + y = 0. ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2
∂ 2u 2ξ ∂u − 2 ⋅ =0 , 2 2 ∂η ξ + η ∂ξ
ξ = ytg
x , 2
η=y
17. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u cth x 2 − 2 y cthx +y + 2y = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂x ∂y 2
1 ∂u ∂ 2u ∂u ξ + +η =0 , 2 2 ∂η 1 + η ∂ξ ∂η
ξ = y chx ,
η = shx
18. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând
transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2 u y 2 + 2 = 0. ∂x ∂y ecuaŃia este de tip eliptic dacă y > 0 ,iar, forma canonică este:
∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u + + =0, ∂ξ 2 ∂η 2 3η ∂η
ξ=x,
2 32 η= y 3
( y > 0)
19. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând
transformarea făcută:
∂ 2u ∂ 2u ∂u + y 2 +α =0 , 2 ∂x ∂y ∂y
unde α = constant
ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă y < 0 , iar forma canonică este: 1 − α 2 ∂u 2 ∂u − ∂u = 0 , ξ = x − 2 − y ( y < 0 ) − ∂ξ∂η ξ − η ∂ξ ∂η η = x + 2 − y 3
20. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
precizând transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2u y 2 +x 2 =0 ∂x ∂y ecuaŃia este de tip eliptic dacă x > 0 , y > 0, iar, forma canonică este: 3 2 x ξ = − ( ) 3 η = ( − y ) 2
∂ u ∂ u 1 ∂u 1 ∂u + + + =0 , ∂ξ 2 ∂η 2 3ξ ∂ξ 3η ∂η 2
2
21. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
precizând transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2u x 2 + y 2 =0 ∂x ∂y ecuaŃia este de tip eliptic pe exteriorul cercului x 2 + y 2 = 1, iar forma canonică este:
1 − x2 − y 2 ∂ 2 u ∂ 2u y + = = = 0 , , ξ η ∂ξ 2 ∂η 2 x −1 x −1 22. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,
precizând transformarea făcută: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u 1 − x2 − 2 xy − 1 + y − 2x − 2 y =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y pentru 1 − x 2 + y 2 > 0 ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:
(
)
(
)
∂ 2 u ∂ 2u − =0, ∂ξ 2 ∂η 2
ξ=
y , 1+ x
η=
1 − x2 + y 2 1+ x
23. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 − 2sin x − cos x − cos x =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y
u ( x, y ) = ϕ ( x + y − cos x ) +ψ ( x − y + cos x ) 24. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
u ( x, y ) = ϕ
(
) (
x − y +ψ
x+ y
)
x, y > 0
25. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: 2 ∂ 2u ∂u 2 ∂ u x −y − 2y =0 2 2 ∂x ∂y ∂y 2
x y ϕ ( x, y ) + ψ y x 26. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: 2 2 ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u 2 ∂ u x − 2 xy +y +x +y =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y u ( x, y ) = ϕ ( x ⋅ y ) ln y +ψ ( x ⋅ y ) u ( x, y ) =
4
27. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: 2 ∂ 2 ∂u 2 ∂ u x x = ∂x ∂x ∂y 2
u ( x, y ) =
ϕ ( x − y ) +ψ ( x + y ) x
28. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
( x − y)
∂ 2u ∂u ∂u − + =0 ∂x∂y ∂x ∂y
u ( x, y ) =
X ( x) − Y ( y) , unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare x− y
29. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 2u ∂u ∂u + y + x + xyu = 0 ∂x∂y ∂x ∂y u ( x, y ) = e
−
x2 + y 2 2
ϕ ( x ) +ψ ( y )
30. Utizând schimbarea de variabile independente :
y z , η = , ζ = z− y x x să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u x 2 2 + 2 xy + y 2 2 + 2 yz + z 2 2 + 2 zx =0 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y∂z ∂z ∂z∂x y z y z u ( x, y, z ) = ( z − y ) ϕ , + ψ , , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅) x x x x 31. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = a11 2 + 2a12 + a22 2 a11a22 = a122 ) ( 2 ∂t ∂x ∂x∂y ∂y
ξ=
(
) (
u ( x, y , t ) = ϕ x + a11t , y + a22t + ψ x − a11t , y − a22t unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.
)
32. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:
∂ 4u ∂ 4u ∂ 4u −2 2 2 + 4 = 0 ∂x 4 ∂x ∂y ∂y
u ( x, y ) = ( x − y ) f1 ( x + y ) + ( x + y ) f 2 ( x − y ) + f3 ( x − y ) + f 4 ( x + y ) unde f k ( ⋅)
( k = 1, 4) sunt funcŃii arbitrare
33. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + 2 − 3 =0 , ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2
u y =0 = 3x 2 ,
u ( x, y ) = 3x 2 + y 2 5
∂u ∂y
=0 y =0
34. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
(1 + x ) 2
∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 − + y +x −y =0 , 1 ( ) 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y
u ( x, y ) =
u y = 0 = ϕ0 ( x ) ,
∂u ∂y
= ϕ1 ( x ) y =0
1 α 2 − 1 β 2 − 1 1 β 1 z 2 − 1 ϕ1 ϕ0 ϕ0 − dz 2 2α 2 β 2 ∫α z 2 z
(
unde, α = x + 1 + x 2
)(
)
y + 1+ y2 ,
β=
x + 1 + x2 y + 1+ y2
35. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 + 2 cos x − sin x − sin x =0, 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y u ( x, y ) =
u y =sin x = ϕ0 ( x ) ,
∂u ∂y
= ϕ1 ( x ) y = sin x
x −sin x + y
1 1 ϕ 0 ( x − sin x + y ) + ϕ 0 ( x + sin x − y ) + ϕ1 ( z ) dz 2 2 x +sin∫x − y
36. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + 4 − 5 + − = 0, ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y
u y =0 = f ( x ) ,
∂u ∂y
= F ( x) y =0
y x− x− y 5 z 5 − x +6 y 5 6z 6 u ( x, y ) = f ( x + y ) + e e f ′ ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz ∫ 6 x+ y x + y
37. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic: 2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u x − 2 xy − 3y =0, ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 2
(
)
3 1 u ( x, y ) = ϕ 0 x 3 y + yϕ 0 4 4
u
y =1
= ϕ0 ( x ) , x y
∂u ∂y
= ϕ1 ( x ) y =1 x y
7 − x 3 4 3 34 3 4 + − ϕ ϕ x y x x dx x y x x dx 0( ) 1( ) ∫ ∫ y 16 4 3 3 x y x y
6
7 − 4
Related Documents
Edp 2009 Cu Raspunsuri
May 2020 13
Analiza Cu Raspunsuri
December 2019 14
Grile Dr Mediului Cu Raspunsuri
October 2019 14
Raspunsuri
November 2019 12