Edo Simulink.docx
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- Words: 640
- Pages: 4
Resolución de una EDO en Simulink
Simulink es una extensión de MATLAB que permite la simulación de sistemas a partir de programación por bloques, la cual permite cambiar parámetros de la simulación sobre la marcha.
Este simulador posee librerías, que, entre los contenidos de estas, se encuentran herramientas que permiten la resolución de una EDO, haciendo similitud a un sistema de control de lazo cerrado.
Se plantea la EDO para sistemas masa resorte amortiguador con una fuerza perturbadora: 𝑚𝑥 ′′ + 𝑐𝑥 ′ + 𝑘𝑥 = 𝐹 Se reescribe la EDO, despejando la derivada de mayor grado de la ecuación: 𝑥 ′′ =
𝐹 𝑐 𝑘 − 𝑥′ − 𝑥 𝑚 𝑚 𝑚
En base a esta EDO reescrita, se procede a realizar un símil con un sistema de control de lazo cerrado:
La entrada es una Fuerza, la cual es dividida por la masa. Esto se lleva a un sumador común.
La primera derivada está multiplicada por el coeficiente de viscosidad y dividida para la masa. Esto se integra y se lleva a un sumador común.
La derivada de grado 0 está multiplicada por la constante del resorte y dividida para la masa. En conjunto a la integral de la derivada de primer orden, se integra y se lleva al sumador común.
La salida del sistema es la gráfica de la solución a la EDO de segundo orden frente a un tipo de fuerza de entrada, ingresada en base a un bloque programable de las librerías de Simulink.
Pasos para realizar la simulación en Simulink 1. Ingresar todos los elementos necesarios para la simulación. En el presente caso se tiene una EDO de segundo orden, por lo que se requieren dos bloques integradores, y 3 bloques de ganancia o multiplicadores, en vista que se tiene 3 términos que están multiplicados por constantes del resorte, de la viscosidad y masa.
Imagen 1: Bloque sumador en Simulink
Imagen 2: Bloque multiplicador o de ganancia en Simulink
Imagen 3: Bloque integrador de Simulink
2. Siguiendo la EDO planteada reescrita, proceder a conectar los elementos entre sí, de forma que simulen un sistema de lazo cerrado con realimentación:
Imagen 4: Sistema realimentado 𝐹
𝑐
𝑘
Teniendo la EDO : 𝑥 ′′ = 𝑚 − 𝑚 𝑥 ′ − 𝑚 𝑥, se puede observar que, en el sistema, hay bloques de ganancia con las constantes que multiplican a la fuerza y las derivadas de orden 1 y 0. Se observa, además, que existen bloques integradores después de cada realimentación, para que al llegar al sumador común, la integración incluya el paso anterior de integración. En otras palabras, se integra la derivada de orden 1, se multiplica por la ganancia respectiva, y se vuelve a integrar y multiplicar por la ganancia sobrante, de manera que, mediante esa doble integración, se elimine el segundo orden de la derivada de mayor grado, que en el presente caso es 2. Los bloques “In” y “Out” son las entradas y salidas del sistema. Se considera como entrada a la fuerza perturbadora del sistema, y como salida, la gráfica de la función 𝑥(𝑡), resultante de la resolución de la EDO a través de la simulación con realimentación. Este sistema puede ser comprimido en un subsistema, el cual permite ingresar los valores de las constantes inmersas en la solución:
Imagen 5: Sistema resumido en un subsistema
Imagen 6: Interfaz para ingreso de valores de las constantes
Para obtener una gráfica, se va a dar valores a estos parámetros:
Masa: 10Kg Constante del Resorte: 100N/m Viscosidad del amortiguador: 50Ns/m Fuerza: Escalón unitario de 1kN.
La respuesta del desplazamiento obtenida en el graficador es:
Imagen 7: Respuesta de la función x(t) frente a la fuerza aplicada con las constantes ingresadas.
Bibliografía MathWorks. (s.f.). Obtenido de https://www.mathworks.com/help/simulink/slref/gain.html MathWorks. (s.f.). Obtenido de https://www.mathworks.com/help/simulink/slref/add.html MathWorks. (s.f.). Obtenido de https://www.mathworks.com/help/simulink/slref/integrator.html
Simulink es una extensión de MATLAB que permite la simulación de sistemas a partir de programación por bloques, la cual permite cambiar parámetros de la simulación sobre la marcha.
Este simulador posee librerías, que, entre los contenidos de estas, se encuentran herramientas que permiten la resolución de una EDO, haciendo similitud a un sistema de control de lazo cerrado.
Se plantea la EDO para sistemas masa resorte amortiguador con una fuerza perturbadora: 𝑚𝑥 ′′ + 𝑐𝑥 ′ + 𝑘𝑥 = 𝐹 Se reescribe la EDO, despejando la derivada de mayor grado de la ecuación: 𝑥 ′′ =
𝐹 𝑐 𝑘 − 𝑥′ − 𝑥 𝑚 𝑚 𝑚
En base a esta EDO reescrita, se procede a realizar un símil con un sistema de control de lazo cerrado:
La entrada es una Fuerza, la cual es dividida por la masa. Esto se lleva a un sumador común.
La primera derivada está multiplicada por el coeficiente de viscosidad y dividida para la masa. Esto se integra y se lleva a un sumador común.
La derivada de grado 0 está multiplicada por la constante del resorte y dividida para la masa. En conjunto a la integral de la derivada de primer orden, se integra y se lleva al sumador común.
La salida del sistema es la gráfica de la solución a la EDO de segundo orden frente a un tipo de fuerza de entrada, ingresada en base a un bloque programable de las librerías de Simulink.
Pasos para realizar la simulación en Simulink 1. Ingresar todos los elementos necesarios para la simulación. En el presente caso se tiene una EDO de segundo orden, por lo que se requieren dos bloques integradores, y 3 bloques de ganancia o multiplicadores, en vista que se tiene 3 términos que están multiplicados por constantes del resorte, de la viscosidad y masa.
Imagen 1: Bloque sumador en Simulink
Imagen 2: Bloque multiplicador o de ganancia en Simulink
Imagen 3: Bloque integrador de Simulink
2. Siguiendo la EDO planteada reescrita, proceder a conectar los elementos entre sí, de forma que simulen un sistema de lazo cerrado con realimentación:
Imagen 4: Sistema realimentado 𝐹
𝑐
𝑘
Teniendo la EDO : 𝑥 ′′ = 𝑚 − 𝑚 𝑥 ′ − 𝑚 𝑥, se puede observar que, en el sistema, hay bloques de ganancia con las constantes que multiplican a la fuerza y las derivadas de orden 1 y 0. Se observa, además, que existen bloques integradores después de cada realimentación, para que al llegar al sumador común, la integración incluya el paso anterior de integración. En otras palabras, se integra la derivada de orden 1, se multiplica por la ganancia respectiva, y se vuelve a integrar y multiplicar por la ganancia sobrante, de manera que, mediante esa doble integración, se elimine el segundo orden de la derivada de mayor grado, que en el presente caso es 2. Los bloques “In” y “Out” son las entradas y salidas del sistema. Se considera como entrada a la fuerza perturbadora del sistema, y como salida, la gráfica de la función 𝑥(𝑡), resultante de la resolución de la EDO a través de la simulación con realimentación. Este sistema puede ser comprimido en un subsistema, el cual permite ingresar los valores de las constantes inmersas en la solución:
Imagen 5: Sistema resumido en un subsistema
Imagen 6: Interfaz para ingreso de valores de las constantes
Para obtener una gráfica, se va a dar valores a estos parámetros:
Masa: 10Kg Constante del Resorte: 100N/m Viscosidad del amortiguador: 50Ns/m Fuerza: Escalón unitario de 1kN.
La respuesta del desplazamiento obtenida en el graficador es:
Imagen 7: Respuesta de la función x(t) frente a la fuerza aplicada con las constantes ingresadas.
Bibliografía MathWorks. (s.f.). Obtenido de https://www.mathworks.com/help/simulink/slref/gain.html MathWorks. (s.f.). Obtenido de https://www.mathworks.com/help/simulink/slref/add.html MathWorks. (s.f.). Obtenido de https://www.mathworks.com/help/simulink/slref/integrator.html
