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Eder Alexander Camana Narazas

1)P es una parábola cuyo vértice es B=(3,2) y uno de los extremos del lado recto es el punto (7,5). La recta T: 4x+3y+2=0 es tangente a P es el punto Q donde OQ.(0.1) < O, O es el origen de coordenadas del sistema XY .Hallar la ecuación vectorial de la parábola.

P

θ

2p

p 2p

Solucion Por el grafico se tiene ||AB|| =√5p AB=B-A=(3,2)-(7,5)=(-4,-3) ||AB||2 =42+32=25=5p2

mAB=3/4 p= √5

Hallamos la pendiente del eje X’ 𝑻𝑨𝑵𝜽 =

𝒎𝑨𝑩 − 𝒎𝑿′ 𝟏 + 𝒎𝑨𝑩 . 𝒎𝑿′

POR EL GRAFICO : 𝑇𝐴𝑁𝜃=2

2=

3/4 − 𝑚𝑋 ′ 1 + 3/4. 𝑚𝑋′

mX’=-1/2 ECUACION DE LA RECTA X’ L2: y-2=-1/2(x-3) Punto común de L1 y L2 L1: 4x+3y+2=0

(-)

L2: y-2=-1/2(x-3) ….X3

x=-5 … y=6

P(-5,6)

PB=B-P=(3,2)-(-5,6)=(8,-4) ------ > 4(2,-1)

𝑢 ⃗ = (−2,1)/ √5 𝑢 ⃗ ⟂ = (1,2)/ √5

Ecuación vectorial de la parábola

2

𝑃 = 𝑉 + 𝑥 ′0. 𝑢 ⃗ + 𝑦 ′ 0. 𝑢 ⃗ ⟂ /𝑦 ′ = 4𝑝𝑥′ 2

𝑃 = (3,2) + 𝑥 ′ 0 . (−2,1)/ √5 + 𝑦 ′ 0. (1,2)/ √5 /𝑦 ′ = 4 √5𝑥′

2)Sea P una parábola cuyo eje focal es la recta L1:3x+4y+1=0 y cuyo vértice es V=(h,k)/h+k=0. Si VA.(8,-6)=125 y VA.(3,4)=25,siendo A un punto de la parábola P , hallar la ecuación vectorial de la parábola .

V pertenece a L1 3h+4k+1=0

3h-4h+1=0

h=1 y k =-1

A=(a,b) VA=A-V=(a,b)-(1,-1)=(a-1,b+1) VA.(8,-6)=125

VA.(3,4)=25

(a-1,b+1).(8,-6)=125

(a-1,b+1).(3,4)=25

8a-8-6b-6=125

3a-3+4b+4=25

*8a-6b=139

*3a+4b=24 a=14 y b=-9/2

Escogemos un punto Q en la recta L1. para x=-1/3 *3(-1/3)+4y+1=0 Q=(-1/3,0)

y=0

𝑢 ⃗ = (−4/5,3/5)

VQ=Q-V=(-1/3,0) -(1,-1)=(-4/3,1) =1/3(-4,3)

𝑢 ⃗ ⟂ = (−3/5,-4/5) SABEMOS QUE :

𝑥 ′ 0 = (𝑃 − 𝑉). 𝑢 ⃗ 9

𝑥 ′ 0 = [(14, − ) − (1, −1)] . 𝑢 ⃗ 2

7

7

2

2

𝑥 ′ 0 = (13, − ) . 𝑢 ⃗ = (13, − ) . (−4/5, 3/5)=-25/2 𝑦 ′ 0 = (𝑃 − 𝑉). 𝑢 ⃗⟂ 𝑦 ′ 0 =(13,-7/2).(-3/5,-4/5)=-5

2

𝑦 ′ 0 = 4𝑝𝑥 ′ 0 (-5)2=4p.-25/2 4p=-2

Ecuación vectorial de la parábola 2

𝑃 = 𝑉 + 𝑥′0. 𝑢 ⃗ + 𝑦 ′ 0. 𝑢 ⃗ ⟂ /𝑦 ′ = 4𝑝𝑥′ 2

𝑃 = (1, −1) + 𝑥 ′ 0 . (−4/5,3/5) + 𝑦 ′ 0. (−3/5, −4/5) / 𝑦 ′ = −2𝑥′