Edc

Sobre la ecuaci´ on de continuidad BAMAZ 2009

1.

Ecuaci´ on de continuidad Partiendo de la definici´on de densidad: Z

m(~x, t) =

ρ(~x, t)dV

(1)

w

donde m es la masa, ρ es la densidad y V es el volumen. ⇒

d d Z m(~x, t) = ρ(~x, t)dV dt dt w

(2)

Luego Z Z d Z ρ(~x, t)dV = − ρ(~x, t)~vn ˆ da = − ∇(ρ(~x, t)~v)dV dt w w

(3)

∂w

En (3) se utiliz´o teorema de Gauss. Z

⇒

[ w

d d ρ(~x, t) + ∇(ρ(~x, t)~v)]dV = 0 ⇒ ρ(~x, t) + ∇(ρ(~x, t)~v) = 0 dt dt

∂ ρ(~x, t) + ∇(ρ(~x, t)~v) = 0 ∂t Donde (4) es la la ecuaci´on de continuidad. ⇒

1

(4)

2.

Fluidos incompresibles

En un fluido cuya densidad se mantiene constante con el tiempo no puede haber compresi´on. Pero todos los fluidos son compresibles, en el mundo real, es decir, la densidad no se mantiene constante con el tiempo. El volumen cambia cuando se realiza una presi´on externa: ⇒ ∇(ρ(~x, t)~v) = 0 ⇒ ∇~v = 0

3.

(5)

An´ alisis

Una vez demostrado que existe continuidad debido a la existencia de ρ . Se procede a hallar la ecuaci´on que expresa c´omo es la continuidad del fluido; sus caracter´ısticas. La particularidad de (4) es que hablamos de una suma de caracter´ısticas. La variaci´on de la densidad depende del tiempo debido a que su volumen cambia con el tiempo (para fluidos no incompresibles) por las ´ presiones externas. Esto en conjunto con la divergencia de la velocidad que implica que hay un manantial. El flujo se desplaza hacia el exterior alej´andose de un punto cualquiera que tengan en com´ un todas estas l´ıneas discretas. Al multiplicarse estas l´ıneas por la densidad ρ , estamos diciendo que existen ρ veces ∇~v : hay ρ manantiales distribuidos en todo el espacio tratado. ∂ La suma implica que ∂t ρ(~x, t) = −∇(ρ(~x, t)~v) que quiere decir que en el punto donde existe compresi´on en el fluido hay un sumidero. El fluido se va hacia ese punto ejerciendo una presi´on igual y opuesta sobre el mismo para compensar el manantial creado desde el exterior, concedido por la ecuaci´on ∂ ρ(~x, t) + ∇(ρ(~x, t)~v) = 0. ∂t

2