Ecuatiile Pell

ECUATIILE PELL

CONDUCATOR STIINTIFIC LECTOR DR. SAVIN DIANA

ABSOLVENT MARIN VERONICA OANA

CINE A FOST JOHN PELL •

•

•

Născut la 1 martie 1611, în Southwick, Sussex, John Pell a fost fiul lui John Pell şi al lui Mary Holland. John a fost cel de- al doilea copil al soţilor Pell, dar la vârsta de 6 ani a rămas orfan, în urma decesului tatălui său în 1616 şi al mamei sale, un an mai târziu. După absolvirea cursurilor şcolii Steyning din Sussex, care era o şcoală de stat, John a intrat la Colegiul Trinity al Universităţii Cambridge în 1624. A absolvit în 1628 şi a luat M.A. (Master degree) în 1630. Era expert în Latină şi Greacă, şi cu toate că nu se ştie nimic despre pregătirea lui matematică, ştim totuşi că a corespondat cu Briggs despre studiul logaritmilor în anul în care şi-a dobandit B.A. După ce a părăsit Cambridge- ul, Pell a devenit profesor. A lucrat mai

CINE A FOST JOHN PELL •

•

Pell a petrecut, începând cu 1638, 5 ani, predând matematica în Londra. Apoi a plecat în străinătate şi a devenit profesor de matematică la Gimnaziul Illustre, în Amsterdam, din 1643 până în 1646, când a ocupat un post asemănător la Universitatea din Breda. Între 1654 şi 1658, Pell a ocupat postul de guvernator în Zurich. A fost trimis acolo de Cromwell într- o misiune diplomatică.

•

Pacea de la Westphalia, din 1648, care a pus capăt războiului de 30 de ani, a reprezentat pentru Catolicismul Roman, recâştigarea teritoriului ocupat de protestanţii Lutherani. Cromwell a vrut să supună canoanele protestante din Elveţia unei Ligi Protestante, condusă de Anglia. Negocierile lui Pell au fost îndelungate şi Pell a revenit în Anglia cu puţin timp înainte de moartea lui Cromwell. După întoarcerea în Anglia, Pell a fost numit diacon, apoi preot în 1661. A devenit vicar la Fobbing în Essex şi în 1663 a devenit vicar şi al ţinuturilor Laidon şi Basildon. Şi- a păstrat aceste două poziţii în biserică în toţi anii ce au urmat până la moartea sa

CINE A FOST JOHN PELL •

•

• • • •

„Matematicianul John Pell este o figură importantă a intelectualităţii secolului al XVIIlea din Anglia, importantă mai mult datorită activităţiilor sale, a contractelor şi corespondenţelor, decât datorită publicaţiilor sale. Puţinele articole publicate sunt totuşi incontestabile surse de informaţie despre biografia erudiţiei sale”... spunea Noel Malcom. Multe dintre manuscrisele lui John Pell au ajuns în colecția lui Richard Busby, decanul Școlii Westminster și în cele din urmă au fost preluate de către Societatea Regală, fiind păstrate la British Library, unde se găsesc momentan atât memoriile lui John Pell cât și o mare parte a corespondenței lui cu ceilalți matematicieni ai vremii. Principalele opere ale lui John Pell sunt: Astronomical History of Observations of Heavenly Motions and Appearances (1634) Ecliptica prognostica (1634) An Idea of Mathematicks (1638)

STUDIUL ISTORIC AL ECUATIILOR PELL

Pell a fost atras mai mult de studiul Algebrei şi al Teoriei Numerelor. El a publicat în 1668 un tabel cu factorii tuturor întregilor până la 100.000. „Ecuaţia lui Pell”, y2 =ax2 +1 , unde a este un număr întreg ce nu e pătrat perfect, fusese studiată de Brahmagupta (628 d.Hr.) şi Bhaskara II (1150 d.Hr.). Se consideră că Brahmagupta a fost primul care a studiat aceste ecuaţii, cu toate că există şi matematicieni care l-au precedat în studiul anumitor probleme legate de studiul ecuaţiilor Pell. Printre aceştia îi menţionăm pe Diophantus, care a studiat probleme înrudite cu ecuaţiile Pell, şi pe Arhimede cu „Problema vitelor”. Brahmagupta a dedus lema conform căreia: „Dacă (a, b) şi (c, d) sunt soluţii întregi ale ecuaţiilor de tip Pell, de forma : na2 +k=b2 nc2 +k1=d2 Atunci (bc +ad, bd +nac) şi (bc – ad, bd - nac) sunt soluţii întregi ale ecuaţiei de tip Pell: nx2 +kk1 =y2.” Următorul pas a fost făcut de Bhaskara II în 1150 d.Hr . El a descoperit „metoda ciclică”, care era un algoritm de găsire a soluţiilor unei ecuaţii Pell ( nx2 +1 =y2 ) pornind de la orice pereche închisă (a, b), unde na2 +k = b2.

STUDIUL ISTORIC AL ECUATIILOR PELL • Următorul pas a fost făcut de Bhaskara II în 1150 d.Hr . El a descoperit „metoda ciclică”, care era un algoritm de găsire a soluţiilor unei ecuaţii Pell ( nx2 + 1 = y2 ) pornind de la orice pereche închisă (a, b), unde na2 + k = b2. Presupunând că a şi b sunt prime între ele, le putem împărţi la c.m.m.d.c. al lor, pentru a obţine o soluţie mai apropiată cu un k mai mic. Metoda se bazează pe o observaţie simplă, şi anume, că pentru orice m, unde (1, m) e o soluţie a ecuaţiei de tip Pell, avem: • n12 + (m2 - n) = m2 • Următoarea contribuţie la studiul ecuaţiilor Pell, a avut- o Narayana, care în secolul al XIV- lea a scris un comentariu la „Bijaganita”, opera lui Bhaskara II. Narayana a dat câteva exemple noi

STUDIUL ISTORIC AL ECUATIILOR PELL • Întreaga teorie a acestei ecuaţii a fost elaborată de Lagrange, nu de Pell. Se consideră că Euler i- a atribuit greşit lui Pell, munca lui Brouncker. În orice caz ecuaţia apare în cartea lui Rahn, care a fost scrisă în mod cert cu ajutorul lui Pell, unii afirmă că a fost scrisă în întregime de Pell. • Se considera că dintr- o greşeală a lui Euler, ecuaţiile Diophantine y2+ ax2 = 1 au fost denumite „ecuaţii Pell ”, cu toate că matematicianul englez John Pell nu a făcut altceva decât să copieze în lucrarea sa scrisorile lui Fermat din 1657 şi 1658.

ALGORITMUL PQ Acest algoritm stă la baza principalelor metode de rezolvare a ecuaţiei Pell, inclusiv a algoritmului LMM. El calculează expansiunea fracţiilor continue a pătratului iraţional , unde se poate da pătratic şi

numere întregi astfel încât

D nu e număr

.

Este util să determinăm când se atinge sfârşitul primei perioade. Una din metode e următoarea: • după ce se calculează

şi , determinăm dacă

e redus şi alegem cel mai

mic pentru care are loc aceasta, • apoi găsim cel mai mic j > pentru care

şi

.

• acest j va marca începutul celei de- a doua perioade, astfel

e sfârşitul primei

perioade. Pentru anumiţi

şi

se poate determina momentul în care se atinge mijlocul primei

perioade fără a calcula întreaga perioadă.

REZOLVAREA ECUATIEI Pentru a rezolva ecuaţia PQ cu

şi

, aplicăm algoritmul

. Va exista un cel mai mic cu

va fi de asemenea cel mai mic

astfel încât

lungimea perioadei extinderii fracţiei continue a lui

, care Aici e .

Considerăm două cazuri: când e impar şi când e par.

REZOLVAREA ECUATIEI În unele cazuri soluţiile ecuaţiei soluţiile ecuaţiei Când

2

2

−

≡ 1(

−

2

= ±4 sunt mai fundamentale decât

= ±1. Cel mai interesant caz este când

4), aplicăm algoritmul PQ cu

un cel mai mic > 0 astfel încât care

2

=2

= ,

0

= 1 şi

≡ 1( 0

0 − 1. Acesta va fi cel mai mic

4).

= 2 . Va exista > 0, pentru

= 2.

Apoi luăm ca fiind perioada expansiunii fracţiei continue a lui (1 + ξ )/ 2. Soluţia minimă pozitivă a lui

2

−

2

= ±4 este =

−1,

=

−1. Dacă

e impar, va exista

soluţie pentru ecuaţia egală cu +4 şi ecuaţia egală cu -4 nu va avea soluţii.

ALGORITMUL LMM PENTRU Acest algoritm găseşte exact un membru din fiecare familie de soluţii a ecuaţiei din titlu, pentru

≠ 0,

> 0, unde

Se face o listă cu toţi fixează

=

nu e pătrat perfect.

> 0 astfel încât

2. Se găsesc toţi z astfel încât −

2

divide . Pentru fiecare

ȁ ȁ 2

< ≤

ȁ ȁ 2

şi

2

≡ (

din listă, se ȁ ȁ).

Pentru fiecare de acest tip, se aplică algoritmul PQ cu 0 = , 0 = ȁ ȁ, = . Se continuă până când fie se găseşte un ≥ 1 cu = ±1, sau dacă nu se găseşte nici un cu = ±1, până când se atinge sfârşitul primei perioade pentru secvenţa .