Ecuatii Diferentiale_alfabetic

Ecua ii Diferen iale – An 2, Sem1, 2009 A B C D

Nr. Grila actual Nr. Echivalent din grila 2007 / 2008 Enun + Varianta corect R spuns autor: cris_43;

A

B

suport ioio16forumhit: chmro, lokipaki, masidana

C

D

39 83 159 140 141 142

Cu substitutia y=xu(x), o ecuatie cu variabile separabile se poate reduce la o ecuatie omogena. Cu substitutia y=xu(x), o ecuatie diferentiala de ordin întâi omogena se poate reduce la o ecuatie cu variabile separabile. Cu substitutia y=xu(x), o ecuatie diferentiala de ordin întâi omogena se poate reduce la o ecuatie de tip Bernoulli. Cu substitutia y=xu(x), o ecuatie diferentiala de ordin întâi omogena se poate reduce la o ecuatie liniara.

F A F F

y′ ⋅ x 3 sin y = 2 Determinati solutia problemei Cauchy 1

2

x → +∞

37

a.

y = arccos

a

1 x2

Determina i solu ia problemei Cauchy: 90

π

=

y

124

y1 + y cos x = sin x cos x y (0) = 1

c c.

150

(

Ecuatiile diferentiale de forma F y , y ',..., y

( n)

y = sin x − 1 + 2e − sin x

) = 0 se integreaza notând y ' = p

i luând p drept

A

variabil independent Folosind eventual schimbarea de func ie y = 8

44

2 y′ + y 2 +

z ( x) , s se transforme si s se rezolve ecua ia diferen ial : x

1 =0 x2

c

c.

xe

2 1− xy

= C,

C ∈ ...

Folosind solu ia particular indicat , s se integreze urm toarea ecua ie diferen ial :

y′′ + 153

10

2 sin x y′ + y = 0, y1 = x x

a a.

y = −C 21

cos x sin x − C2 x x

Folosind solu ia particular indicat , s se integreze urm toarea ecua ie diferen ial :

xy′′ − ( x + 1) y′ − 2 ( x − 1) y = 0, y1 = e rx 154

a

11

a.

1

1 y = − C1 ( 3x + 1) e − x + C2 e 2 x 9

2

2

Folosind, eventual, schimbarea X = x , Y = y . Sa se rezolve ecuatia diferentiala: 9

45

(x

2

+ y 2 + a 2 ) xdx + ( a 2 − x 2 − y 2 ) ydy = 0 y 2 − x 2 = a 2 ln ( x 2 + y 2 ) + C , C ∈ ...

d.

Folosind, eventual, schimbarea de func ie: z = s se integreze ecua ia: 3 y sin

114

d

3x ∴ z = z ( x) y

3x 3x dx + y − 3x sin dy = 0 y y

a

ln y − cos

a. In cazul ecuatiilor de tip Bernoulli se face substitutia: z = y

144

In cazul ecuatiilor de tip Bernoulli se face substitutia: z = y ,

155

In cazul ecuatiilor de tip Bernoulli se face substitutia: y=xu(x)

\ {0,1}

, α∈

α

F F

y' = p

F

157

In cazul ecuatiilor diferentiale de ordin intai omogene se face substitutia

158

In cazul ecuatiilor diferentiale de ordin intai omogene se face substitutia x = e

147

148

y = x 3ln

C x

t

A

y = x2 y 4 x

74

d.

F

α

In cazul ecuatiilor diferentiale de ordin intai omogene se face substitutia z = y

1

A

α ∈ \ {0,1}

156

Integra i ecua ia lui Bernoulli: y + 37

1−α

137

3x = C, C ∈ y

−

1 3

d

, C∈

O ecuatie de forma y ' = f

ax + by + c cu a, b, c, m, n, p ∈ mx + ny + p

se poate reduce la o ecuatie liniara.

O ecuatie de forma y ' = f

ax + by + c cu a, b, c, m, n, p ∈ mx + ny + p

se poate reduce la o ecuatie

F

A

omogena α

136

O ecuatie de tip Bernoulli are forma generala: y '+ P ( x ) y = Q ( x ) y ,

146

O ecuatie de tip Bernoulli are forma generala: y '+ P ( x ) y = Q ( x )

152

O ecuatie de tip Bernoulli are forma generala: y '+ P ( y ) y = Q ( x ) y ,

153

O ecuatie de tip Bernoulli are forma generala: y '+ P ( x ) y = Q ( y ) y ,

135

O ecuatie de tip Bernoulli se poate reduce prin substitutia z = y

151

O ecuatie de tip Euler se reduce la o ecuatie cu coeficienti constanti prin schimbarea de variabila x = e

145

O ecuatie liniara are forma generala y '+ P ( x ) y = Q ( x ) y ,

149

O ecuatie liniara are forma generala y '+ P ( x ) y = Q ( x )

A

154

O ecuatie liniara are forma generala y '+ P ( y ) y = Q ( x )

F

α

2

1−α

α ∈ \ {0,1}

A F

α

α∈

\ {0,1}

F

α

α∈

\ {0,1}

F A

la o ecuatie liniara.

α ∈ \ {0,1}

t

A F

Rezolva i problema Cauchy 38

2

y y y′ = + x x

.

y ( 2) = 1

75

b

b.

27

−x 2 + ln 2 − ln x

(1 + e ) y dy = e dx 2x

Rezolva i problema Cauchy:

y=

2

x

y ( 0) = 0

c

63

c.

1 3 π y + = arctge x 3 4

S se afle solu ia general a ecua iei diferen iale: ( x + y )( 3dx + dy ) = dx − dy 135

a

22

a.

3 x + y + 2 ln x + y − 1 = C , C ∈

S se determine curba integral a ecua iei diferen iale: 19

55

π

y1 sin x = y ln y care trece prin punctul A d.

2

,1 .

d

y =1

S se determine curba integral a ecua iei diferen iale:

x ( y 6 + 1) dx + y 2 ( x 4 + 1) dy = 0 24

60

care satisface condi ia ini ial : y ( 0 ) = 1

c.

3arctgx 2 + 2arctgy 3 =

c

π 2 1

S se determine curba integral a ecua iei diferen iale: y − ytgx = 63

97

de coordonate

a

y=

a.

sin x cos 2 x 1

S se determine curba integral a ecua iei: y = 129

29

x+ y−2 y− x−4

care trece prin punctual M (1,1)

c c.

S se determine parametrul real 139

26

1 care trece prin originea axelor cos3 x

aduce ecua ia diferen ial 2 xy

1

α

x 2 − y 2 + 2 xy − 4 x + 8 y − 6 = 0 α

pentru care schimbarea de func ie y = z ∴ y = y ( x )

(x − y )+ y 2

3

=0

c

la o ecua ie omogen c.

3

z = z ( x)

α =1

S se determine solu ia y ( x ) a ecua iei integrale: x

46

117

x

x y ( t )dt = ( x + 1) ty ( t )dt 0

d

0

d.

−

3

1 x

yx = Ce , C ∈

1

S se determine solu ia particular a ecua iei y sin x + y cos x = 1 care satisface condi ia: y → 0 pentru x → 73

107

π 2

c

y=

c.

y1 + ycox = cos x

S se determine solu ia particular a ecua iei liniare: 67

101

care satisface condi ia ini ial

y

x−0

=1

a a.

S se determine solu ia problemei Cauchy: 23

dx dy + =0 x ( y − 1) y ( x + 2 ) b

x + y + 2 ln x − ln y = 2

S se determine solu ia problemei Cauchy:

y1 cos x − y sin x = 2 x y (0) = 0 b

96

b.

y=

x cos 2 x

(1 + x ) y 2

S se determine solu ia problemei Cauchy:

y 79

y =1

y (1) = 1

59

b.

62

1 π x+ sin x 2

x −0

1

+y

)

(

1 + x2 − x = 0

=1 d

113

d.

y=

1 + x2 x + 1 + x2

S se g seasc familia de curbe integrale care satisface ecua ia diferen ial : 132

19

y1 =

2 ( y + 2)

2

( x + y − 1)

2

b b.

y + 2 = Ce

−2 arctg

y+2 x −3

, C∈

S se g seasc integrala general a ecua iei: ( x + 2 y + 2 ) dx + ( 2 x + 2 y − 1) dy = 0 125

b

35

b.

4

x + 2 y − ln x + 2 y + 2 = C , C ∈

S se g seasc integrala general a ecua iei: 2 x + y = ( 4 x − y ) y 130

1

d

17

( y − 2x)

d. 2

2

2

= C ( y − x) , C ∈

1

S se g seasc solu ia general a ecua iei diferen iale: x − y + 2 xyy = 0 folosind schimbarea de func ie si de variabil independent :

x=u 136

23

y=v

a

1 2

y = x 2 ( C − ln x ) , C ∈

a. y x

1

S se g seasc solu ia particular a ecua iei diferen iale xy = xe + y care verific condi iile ini iale:

y (1) = 0

110

a a.

y = − x ln 1 − ln x , C ∈

(

x

S se g seasc solu ia particular a ecua iei diferen iale: 1 + e care satisface condi ia ini ial 17

) yy

1

= ex

y ( 0) = 1 . c

53

c.

2e

y2 2

= e (1 + e x )

S se g seasc solu ia particular a ecua iei diferen iale: ( x + y )( 2dy + 3dx ) = dx 126

36

care satisface condi ia ini ial y ( 0 ) = 2

d d. 1

3 x + 2 y − 4 + 2 ln x + y − 1 = 0

2

S se g seasc solu ia particular a ecua iei: y cos x + y = tgx 91

125

care satisface condi ia ini ial y

x −0

=0

a a.

y = tgx − 1 + e − tgx

S se g seasc solu ia problemei Cauchy:

( xy 18

54

2

+ x ) dx + ( x 2 y − y ) dy = 0

y (0) = 1

c c.

1 + y2 =

2 1 − x2

S se integreze ecua ia diferen ial liniar cu coeficien i constan i: 155

y′′ − y = 0 a

1

a.

−x

0

y = C1e + C2 e

x

S se integreze ecua ia diferen ial liniar cu coeficien i constan i: 156

2

y′′ − y = 0, y ( 0 ) = 2, y′ ( 0 ) = 0

a a.

0

−x

y =e +e

x

S se integreze ecua ia diferen ial liniar cu coeficien i constan i:

y′′ + 2 y′ + y = 0 157

b

3

b.

5

y 0 = C1e− x + 2C2 xe x

S se integreze ecua ia diferen ial liniar cu coeficien i constan i: 158

4

y′′ + 2 y′ + y = 0, y ( 0 ) = 0, y′ ( 0 ) = 1

a a.

y 0 = xe− x

S se integreze ecua ia diferen ial liniar cu coeficien i constan i: 159

5

y ( 4) − 5 y′′ + y = 0

a a.

S se integreze ecua ia diferen ial omogen :

y 0 = C1e−2 x + C2 e− x + C3e x + C4 e2 x

xy1 = y 2 − x 2

105

b b. S se integreze ecua ia diferen ial omogen :

113

(

xy1 = 2 y − xy

2

Cx + 2Cy + 1 = 0, C ∈

)

S se integreze ecua ia diferen ial reductibil la o ecua ie omogen :

( 3x + 3 y − 1) dx + ( x + y + 1) dy = 0 80

a

114

a.

2

3x + y + ln ( x + y − 1) = C , C ∈

S se integreze ecua ia diferen ial : 160

6

y′ +

y = − xy 2 x

a a.

y ( x 2 + Cx ) = 1, C ∈

S se integreze ecua ia diferen ial : xy = y ( ln y − ln x ) 1

47

a

134

a.

1+ Cx

y = xe

, C∈

S se integreze ecua ia diferen ial : xy = y ( ln y − ln x ) 1

100

a a. S se integreze ecua ia diferen ial :

1+ Cx

y = xe

, C∈

x 2 dy = ( y 2 − xy + x 2 ) dx

101

c c. S se integreze ecua ia diferen ial :

137

24

(y

4

( x + y ) = x ln ( Cx ) ,

− 3 x 2 ) y1 + xy = 0

folosind schimbarea de func ie si de variabil independent :

d d.

S se integreze ecua ia diferen ial :

C∈

y1 =

Cy 6 = x 2 − y 4 , C ∈

y+2 y − 2x + tg , y = y ( x) x +1 x +1

folosind, eventual, schimbarea de func ie: 109

z=

y − 2x , z = z ( x) x +1

b

b.

6

cos

y − 2x = C ( x + y), C ∈ x +1

S se integreze ecua ia diferen ial :

(x

2

y 2 − 1) dy + 2 xy 3dx = 0

utilizând schimbarea de func ie 138

25

1 y = ∴ y = y ( x) z

c

z = z ( x)

1

S se integreze ecua ia liniar : y − 2 xy = 2 xe 60

y = (C + x ) e , C ∈ c

x

c.

y = (C + x ) e

b.

y = (C + x ) e , C ∈

, C∈

ex

b

1

x

2

ex

(1− x )e x

a

105

a. S se integreze ecua ia liniar :

y1 +

y = (C + x) e

(1− x )e x

, C∈

xy = arcsin x + x 1 − x2 b

126

b. S se integreze ecua ia lui Bernoulli: 71

d.

y=

72

a.

y=

Ce − sin x − 1

1 arcsin 2 x − 1 − x 2 + C , C ∈ 2

y1 − y cos x = y 2 cos x

, C∈

y1 + 2 xy = 2 xy 2 a

1 1 + Ce x

y = 1 − x2

d

1

S se integreze ecua ia lui Bernoulli: 36

− x2

104

S se integreze ecua ia liniar : y + xe y = e

35

x2

95

1

92

2

− x2

S se integreze ecua ia liniar : y − ye = 2 xe

71

b.

− x2

b

1

70

1 + x 2 y 2 = Cy, C ∈

94

S se integreze ecua ia liniar : y + 2 xy = e 61

c.

2

, C∈

S se integreze ecua ia neliniar :

y1 − tgy = e x

1 cos y

reducând-o la o ecua ie de tip Bernoulli sau una liniar cu ajutorul schimb rii de func ie: 40

76

c.

sin y = ( x + C ) e x , C ∈

S se integreze ecua ia omogen : 2 x 98

c

z = sin y ∴ z ( x ) = sin y ( x )

2

y1 = x 2 + y 2 c

132

c.

7

2 x = ( x − y ) ln ( Cx ) , C ∈

S se integreze ecua ia: ( x − y ) ydx − x dy = 0 2

59

a. S se integreze ecua ia: 82

x y

x = Ce , C ∈

xy′ − y + x = 0

116

a. S se integreze sistemul de ecua ii: 143

y = ( C − ln x ) , C ∈

15

x = ± C1 − t ( ln t − 1) y = C2 + t

S se integreze sistemul de ecua ii:

a

xyy1 = 1 − x 2 2

2

2

x + y = ln Cx , y1 =

C∈

a2 − y2 , x
58

a. S se integreze:

y = a sin arcsin

x +C , a

C∈

xy1 − 2 y = x3 cos x b

98

b. S se integreze:

y1 +

110

y = Cx 2 + x 2 sin x, C ∈

y =0 x−2 a.

S se integreze: 77

111

y1 +

S se integreze:

a

b

y = C ( x − 2) , C ∈

xy1 − y + x = 0 b

119

b. S se integreze: 96

C y= , x ≠ 2, C ∈ x−2

y =0 2− x b.

85

t 2 + x 2 + y 2 = C2 c

S se integreze:

76

3t + 4 x + 5 y = C1

51

c.

64

C1 − t ( ln t − 1)

16

S se integreze:

22

c

dt dx dy = = 4 y − 5 x 5t − 3 y 3x − 4t a.

15

a

dt dx dy = = 2 x − ln t ln t − 2 x

c.

144

a

93

y = Cx − x ln x , C ∈

xy1 = y + y 2 − x 2 a

130

a.

8

y = y 2 − x 2 = Cx 2 , C ∈

S se integreze: 97

( y − x ) dx + ( x + y ) dy = 0 b

131 2

y + 2 xy − x = C , C ∈

b. 102

S se integreze: y′ =

y y x +e x

103

S se integreze: y ′ =

y 2 + x2 xy

S se integreze:

y1 =

2

x+ y x− y

104

d d. S se integreze:

ln x 2 + y 2 − arctg

y = C, C ∈ x

2 xyy1 = x 2 + 3 y 2 c

106 2

xy1 − y =

x arctg

111

3

x + y = Cx , C ∈

c. S se integreze:

2

y x

b b.

118

S se integreze: ( 3 y − 7 x + 7 ) dx − ( 3 x − 7 y − 3) dy = 0

119

S se integreze: ( x + y ) dx + ( x − y − 2 ) dy = 0

y y arctg = ln C x 2 + y 2 , C ∈ x x

(

)

S se integreze: 2 x + 3 y − 5 + ( 3 x + 2 y − 5 ) y = 0 1

( 2 x − 3 y − 5 − ( 3x + 2 y − 5) y

1

120

30

= 0) ?

d d.

y 2 − 3xy − x 2 − 5 x − 5 y = C , C ∈

S se integreze: 8 x + 4 y + 1 + ( 4 x + 2 y + 1) y = 0 1

121

c

31

c.

( 4 x + 2 y + 1)

2

= 4x + C, C ∈

S se integreze: ( x − 2 y − 1) dx + ( 3 x − 6 y + 2 ) dy = 0 122

d

32

d.

x − 3 y − ln x − 2 y = C , C ∈

S se integreze: ( x + y ) dx + ( x + y − 1) dy = 0 123

a

33

a.

( x + y − 1)

2

+ 2 x = C, C ∈

S se integreze: ( 2 x + y + 1) dx + ( x + 2 y − 1) dy = 0 124

b

34

b.

9

2

2

x + y + xy + x − y = C , C ∈

S se integreze: ( x − 2 y + 3 ) dy + ( 2 x + y − 1) dx = 0 127

( ( x − 2 y − 3) dy + ( 2 x + y − 1) dx = 0 ) ?

27

a.

a

x 2 + xy − y 2 − x + 3 y = C , C ∈

S se integreze: ( x − y + 4 ) dy + ( x + y − 2 ) dx = 0 128

b

28

b.

2

2

x + 2 xy − y − 4 x − 8 y = C , C ∈

S se integreze: ( 3 x − 7 y − 3) dy + ( 7 x − 3 y − 7 ) dx = 0 133

b

20

b.

2

( y − x − 1) ( y + x + 1)

5

= C, C ∈

S se integreze: ( 4 x − 5 y + 11) dx + ( −3 x + 4 y − 7 ) dy = 0 folosind eventual schimbarea de func ie si variabil independent 134

21

u = 4 x − 5 y + 11 v = −3v + 4 y − 7

b b.

S se precizeze valoarea parametrului real α

y = z ∴ y = y ( x)

α

2 ln x − y + 4 +

−3x + 4 y − 7 = C, C ∈ x− y+4

astfel încât schimbarea de func ie

z = z ( x)

aduce ecua ia diferen ial : 141

13

4 y 6 + x3 = 6 xy 5 y1

d

la o ecua ie omogen . d.

α=

1 2

x

S se reduc ecua ia integral :

y ( x ) = y ( t ) dt + e x 0

45

81

a

la o ecua ie Bernoulli i apoi s se rezolve. a. S se reduc ecua ia neliniar :

y = ( x + 1) e x

y1 = y ( e x + ln y )

la o ecua ie de tip Bernoulli sau una liniar cu ajutorul schimb rii de func ie: 41

77

z = ln y ∴ z ( x ) = ln y ( x ) d.

d

ln y = ( x + C ) e x , C ∈ 1

S se reduc ecua ia neliniar : y cos y + sin y = x + 1 la o ecua ie de tip Bernoulli sau una liniar cu ajutorul schimb rii de func ie: 42

78

z = sin y ∴ z ( x ) = sin y ( x ) b.

sin y = ( x + C ) e − x , C ∈

S se rezolve ecua ia cu variabile separabile: 1 + 5

b

y 2 + xyy′ = 0, y

=0 x −1

41

b.

x 2 (1 + y 2 ) = C , C rel="nofollow"> 0 10

b

S se rezolve ecua ia cu variabile separabile: 14

50

b.

x=

b

Cy 1+ y2

C∈

,

S se rezolve ecua ia cu variabile separabile: 16

3

tg y = C (1 − e x ) ,

S se rezolve ecua ia diferen ial :

y′ = 1 +

43

c.

(x

2

+ a 2 )( y 2 + b 2 ) + ( x 2 − a 2 )( y 2 − b 2 ) y′ = 0 C ∈ ... − x2

a

89

a.

y = (x + C)e 2

− x2

, C∈

S se rezolve ecua ia diferen ial liniar :

y1 x ln x − y = 3x3 ln 2 x c

99

c.

y = ( C + x ) ln x, C ∈ 3

S se rezolve ecua ia diferen ial omogen :

xy1 = x 2 − y 2 + y a

127

S se rezolve ecua ia diferen ial omogen : 94

c

x+ y x+a b y + ln = arctg + C , a x − a 2a b 2

93

c

C ∈ ...

S se rezolve ecua ia diferen ial liniar : y + 2 xy = 2 xe

65

a

1 1 1 − 2 − 2 x y + 2 x ( y + 2)

y + arctg y = ln x + x + C ,

S se rezolve ecua ia diferen ial :

55

1 dy = 0 cos 2 y

C∈

42

c.

7

3e x tgydx + (1 − e x )

52

a.

6

xy1 − y = y 3

xy′ = y + x cos 2

a.

y = x sin ( ln Cx ) , C ∈

b.

y tg = ln ( Cx ) , C ∈ x

y x b

128

S se rezolve ecua ia diferen ial omogen : ( 4 x − 3 y ) dx + ( 2 y − 3 x ) dy = 0 99

d

133

d.

2

2

y − 3xy + 2 x = C , C ∈

S se rezolve ecua ia diferen ial omogen : 107

xy′ + y = 0, y (1) = 0 S se rezolve ecua ia diferen ial :

2

38

c.

e x sin 3 y + (1 + e2 x ) cos yy′ = 0

1 arctg e = + C , C ∈ ... 2sin 2 y e

11

c

S se rezolve ecua ia diferen ial : 4

40

a.

11

a

b ax + by + c = C ⋅ ebx , C ∈ ... a

S se rezolve ecua ia diferen ial : 10

y′ = ax + by + c, a, b, c − constante

xy′ = x 2 − y 2 + y a

46

y arcsin = ln Cx, a. x 2 y S se rezolve ecua ia diferen ial : xy′ = y + x cos x

C ∈ ...

a

47

a.

y ctg = C + x, C ∈ ... x

S se rezolve ecua ia diferen ial : xy ′ = y ( ln y − ln x ) 12

d

48

d.

1+ Cx

y = xe

C∈

,

S se rezolve ecua ia diferen ial : 13

b

49

b.

2

2

tg x = ctg y + C

S se rezolve ecua ia diferen ial : 25

x + y − 2 x + 2 y + 2 ln

)

xy + y dy = 0

(

)

x + 1 + 2 ln

5e x tgydx + (1 − e x )

tgy = C (1 − e

x 5

)

S se rezolve ecua ia diferen ial : 80

d.

Cx =

y

y −1 = C, C ∈

dy =0 cos 2 y

a

yz +1

C∈

,

xy′ − y = y 3 d

, C∈

S se rezolve ecua ia diferen ial :

y′ =

y −1 x a

90

a.

c y = x ln , C ∈ x

S se rezolve ecua ia diferen ial : 66

(

62

a.

56

)

xy − x dx +

d

S se rezolve ecua ia diferen ial :

44

(

61

d.

26

tgx sin 2 ydx + cos 2 xctgydy = 0

100

y′ = −

x+ y x a.

12

y=

c x − , C∈ x 2

a

S se rezolve ecua ia diferen ial : 68

4 y+x y x a

102

S se rezolve ecua ia diferen ial : 69

y′ =

(1 + e ) yy′ = e x

1 ln x + C 2

2

a.

y = x4

a.

y2 = ln (1 + e x ) + C , C ∈ 2

, C∈

x

103

a

S se rezolve ecua ia diferen ial : ( x − y ) dx + xdy = 0 95

c

129

c.

y = x ( C − ln x ) , C ∈

dy y − =x dx x dy 2 y + = x3 S se rezolve ecua ia diferen ial : dx x

108

S se rezolve ecua ia diferen ial :

112

S se rezolve ecua ia diferen ial :

115

xdy =

(

)

x 2 + y 2 + y dx

S se rezolve ecua ia diferen ial : ( x + y + 1) dx + ( 2 x + 2 y − 1) dy = 0 a

116 a.

x + 2 y − 3ln x + y − 2 = C

S se rezolve ecua ia diferen ial : x + y − 2 + (1 − x ) y = 0 1

117

S se rezolve ecua ia diferen ial : ( 8 y + 10 x ) dx + ( 5 y + 7 x ) dy = 0 131

a

18

a. S se rezolve ecua ia liniar : 78

2

( y + x) ( y + 2x)

c

112

S se rezolve ecua ia liniar :

c

y = Ce

−2 x

x

+e , C∈

y1 − y = − x 2 c

120

c. S se rezolve ecua ia liniar :

2

y = ( x + 1) + 1 + Ce , C ∈ x

y1 + ay = bem , r ≠ −a

122

S se rezolve ecua ia liniar : 89

2

92

S se rezolve ecua ia liniar :

88

y = C ( x − 1) , C ∈ 3

y1 + 2 y = e − x c.

86

= C, C ∈

3 y1 ( x 2 − 1) − 2 xy = 0 c.

58

3

b.

berx y= + Ce − rx , C ∈ a+r

d.

y = 1 + ln x + Cx, C ∈

b

xy1 − y + ln x = 0 d

123

13

S se rezolve ecua ia lui Bernoulli: 29

65

a.

(1 + Ce ) y − x2

a 2

= 1,

S se rezolve ecua ia lui Bernoulli: 30

66

b.

C∈

xy1 + y = y 2 ln x

1 y= , 1 + Cx + ln x

S se rezolve ecua ia lui Bernoulli: 31

y1 − xy = − xy 3

b

C∈

3xy 2 y1 − 2 y 3 = x3 d

67

d.

y 3 = x3 + Cx 2 , C ∈ 2 x2

1

S se rezolve ecua ia lui Bernoulli: y + 2 xy = y e 32

68

a.

S se rezolve ecua ia lui Bernoulli: 33

2 y1 ln x +

y 2 ln x = C + sin x,

S se rezolve ecua ia lui Bernoulli:

y = y −1 cos x x

a

C∈

2 y1 sin x + y cos x = y 3 sin 2 x a

70

a.

y 2 ( C + x ) sin x = 1,

S se rezolve ecua ia lui Bernoulli: 49

C∈

69

a.

34

a

2

e− x y= , C−x

y′ =

C∈

y y2 + x −1 x −1 b

83

b.

S se rezolve ecua ia lui Bernoulli: 50

y′ +

b

84

S se rezolve ecua ia lui Bernoulli:

ln cos x + C y + tgx = , C∈ x

4 xy′ + 3 y = −e x x 4 y 5 a

86

a. x

S se rezolve ecua ia lui Bernoulli: y ′ − 2 ye = 2 ye 152

y −4 = x 3 ( x + C ) , C ∈

x

d

9

d. S se rezolve ecua ia lui Bernoulli: 54

x −1 , C∈ C−x

2 2 y= y x cos 2 x b.

52

y=

88

c.

y=

ex

y + 1 = Ce , C ∈

y′ − 2 ytgx + y 2 sin 2 x = 0 considerând x ca func ie necunoscut .

1 , C∈ ( tgx − x + C ) cos 2 x

14

c

S se rezolve ecua ia neliniar :

yy + 1 = ( x − 1) e 1

−

y2 2

reducând-o la o ecua ie de tip Bernoulli sau una liniar cu ajutorul schimb rii de func ie: 43

79

y2 2

z = e ∴ z ( x) = e

d.

d

y2 2

x

x + 2 + Ce = e , C ∈

S se rezolve ecua ia: 51

2Λ y ( ) 2

y′tgx = y a

85

a. S se rezolve ecu ia omogen

y = C sin x, C ∈

y′′ + 16 y = 0

145 R: 146

S se rezolve ecu ia omogen

y′′′ − y = 0

147

S se rezolve ecu ia omogen

y′′′ − 3 y′′ + 3 y′ − y = 0

148

S se rezolve ecu ia omogen

y′′′ − y′′ − y′ + y = 0

149

S se rezolve ecu ia omogen

y ( 4) − 4 y′′′ + 6 y′′ − 4 y′ − y = 0

S se rezolve ecu ia omogen

y′′ − 5 y′ + 6 y = 0

151

?

y = c1 cos 4 x + c2 sin 4 x

?

3x 2 y = ( x3 + 1) sin xy 2 S se rezolve problema Cauchy ecua ia lui Bernoulli: x3 + 1 y (0) = 1 y′ +

53

87

b.

y=

b

1 ( x + 1) cos x 3

S se rezolve problema Cauchy:

(1 + e ) yy′ = e , y ( 0 ) = 1 x

72

x

106

y2 −1 = ln (1 + e x ) 2

a.

S se rezolve problema Cauchy: 3

x 1 − y 2 dx + y 1 − x 2 dy = 0, y

a.

S se rezolve problema Cauchy:

y ln y

y ( 2) = 1

64

d.

a

1 − x2 − 1 − y 2 = 1 y1 =

28

=1 x−0

39

a

d

2 ( x − 2 ) = ln 2 y

15

y′ = ( 2 x + 1) ctgx S se rezolve problema Cauchy: 81

115

y

x=

π 2

=

1 2

d

d. S se rezolve problema Cauchy: 84

y′ + 2 xy = x3 , y ( 0 ) =

e −1 2

118

a.

87

121

7

y=

(

a

)

z

e1− x + x z − 1 2

y1 + 2 xy = x 3 S se rezolve problema Cauchy: e −1 y x −o = 2

a a.

150

y = 2 cos 2 x + 1

y=

1 1− x2 e − x2 + 1 2

(

)

dx = 8y dt dy S se rezolve problema Cauchy: = −2 z x ( 0 ) = −4, y ( 0 ) = 0, z ( 0 ) = 1 dt dz = 2x + 8 y − 2z dt

d

x = −4e −2t − 2sin 4t y = e −2t − cos 4t

d.

z = e −2t − 2sin 4t S se rezolve problema Cauchy:

(1 + y ) + xyy′ = 0, y (1) = 0 2

74

a

108

a.

x 1+ y2 = 1

2 S se rezolve problema la limit : x y → −1 pentru x → +∞ 2 xy1 − y = 1 −

75

109

a a.

dy = g ( y)

y=

1 −1 x

f ( x )dx + C

139

Solutia generala a ecuatiei y ' = f ( x ) g ( y ) este: ?

163

Solutia generala a ecuatiei y ' =

161

Solutia generala a unei ecuatii diferentiale de ordin intai este formata dintr-o familie de curbe.

f ( x) este: g ( y )dy = g ( y)

16

f ( x )dx = C

A

A A

162

Solutia generala a unei ecuatii diferentiale de ordin intai este formata dintr-o familie de suprafete.

138

Solutia generala a unei ecuatii liniare este de forma: y = e

143

Solutia generala a unei ecuatii liniare este de forma: y = e

160

Solutia singulara a unei ecuatii diferentiale se regaseste in solutia generala.

− P ( x )dx

P ( x )dx

C + Q ( x )e C + Q ( x )e

P ( x ) dx

− P ( x ) dx

F

dx

A

dx

F A

1

Utilizând schimbarea de func ie y = z 2 , y = y ( x ) 142

14

z = z ( x ) s se rezolve ecua ia diferen ial

4 y 6 + x 3 = 6 xy 5 y1

a a.

Utilizând schimbarea de func ie necunoscut y = y ( x )

(x 48

2

Cx 4 = y 6 + x 3 , C ∈

x = x ( y ) s se rezolve ecua ia diferen ial :

ln y − x ) y1 = y c

82

c. Utilizând schimbarea de func ie z = x + y, y = y ( x )

y=

1 , C∈ ln y − 1 − Cx

z = z ( x ) s se rezolve ecua ia diferen ial :

2

20

56

y1 = ( x + y ) . a.

a

arctg ( x + y ) = x + C , C ∈ 1

Utilizând schimbarea de func ie y = z 2 , z = z ( x ) , y = y ( x ) s se rezolve ecua ia diferen ial : 140

12

2 x ( x − y 2 ) y1 + y 3 = 0

c c.

y 2 = x ln ( Cy 2 ) , C ∈

Utilizând, eventual, schimbarea de func ie y = uv ∴ u = u ( x ) , v = v ( x ) , s se determine solu ia particular a problemei: 57

91

x ( x − 1) y1 + y = x 2 ( 2 x − 1)

c

y ( 2) = 4 c. Utilizând, eventual, schimbarea de func ie z = 2 x − y ∴ y = y ( x )

21

57

diferen ial : ( 2 x − y ) dx + ( 4 x − 2 y + 3) dy = 0 . d.

5 x + 10 y + C = 3ln 10 x − 5 y + 6 ,

17

y = x2 z = z ( x ) , s se rezolve ecua ia d

C∈