Ecuatii Diferentiale

1

Matematici speciale. Probleme

Capitolul I ECUAŢII DIFERENŢIALE 1. Să de integreze ecuaţia diferenţială de ordinul întâi liniară

y' − y tgx =

1 , y( 0 ) = 0 cos x

Soluţie: Ecuaţia omogenă ataşată este: y'-y tgx = 0 sau soluţia ln y = - ln cos x + ln C sau y = neomogene y' =

considerăm

pe

y

C . cos x

sub

dy = tgx dx cu y

Pentru rezolvarea ecuaţiei forma

y=

C(x) ; cos x

avem

C'(x) cos x + C(x) sin x . cos 2 x

Înlocuind în ecuaţie obţinem: C'(x) cos x + C(x) sin x C(x) 1 tgx − ⋅ = cos 2 x cos x cos x

De unde: C'(x) = 1 şi C(x) = x + C . Soluţia generală a ecuaţiei date va fi: x+C . cos x Soluţia problemei Cauchy y(0)=0 este C=0. Deci soluţia particulară y=

a ecuaţiei diferenţiale y =

x . cos x

2. Să se integreze ecuaţia diferenţială omogenă: x2 + y 2 y' = , y(1 ) = 0 xy Soluţie:

Folosind substituţia y = xt, y' = t + xt' obţinem succesiv: 1 1 dx t 2 xt' + t = t + , xt' = , t dt = , = ln x + C t t x 2

2

Matematici speciale. Probleme de unde

y2 = ln x + C. Punând condiţia iniţială y(1) = 0 obţinem C = 0 şi 2x2

soluţia particulară cerută este y2 = 2x2 ln|x|. 3. Să se integreze ecuaţia diferenţială omogenă generalizată:

( 3x-7 y-3 )y' + 7 x-3 y-7 = 0 . 3 −7 ⎧3 x − 7 y − 3 = 0 = 40 ≠ 0. Sistemul ⎨ are 7 −3 ⎩7 x − 3 y − 7 = 0

Soluţie: Observăm că δ =

soluţia x=1, y=0. Substituţia x = 1+u, y = v implică

dy dv = şi ecuaţia dată dx du

devine (3u – 7v) v′ + 7u – 3v = 0. Facem substituţia v = u z(u), ceea ce conduce la soluţia generală •

(z − 1)2 (z + 1)5 u 7 = C sau ( y − x + 1)2 ( y + x + 1)5 = C . 4. Să se integreze ecuaţia diferenţială a lui Bernoulli: y'-

1 y = -2 xy 2 , y(1 ) = 1. x

Soluţie: α = 2 (y' + P(x)y = Q(x)y α ). Facem substituţia u = y 1-α sau u=y-1. −

Obţinem

u' = −

y' y2

sau

y' = −

u' . Ecuaţia u2

dată

devine:

2x 2 C u' 1 1 u u = + . Soluţia sau cu soluţia generală − = − 2 x u' + = 2 x 3 x u 2 xu u2 x

generală a ecuaţiei este y =

1 2

2x C + 3 x

1 3

. Din condiţia iniţială deducem C = ,

astfel că soluţia particulară căutată este y =

3x . 2x3 + 1

5. Să se integreze ecuaţia diferenţială a lui Riccati: y' + y 2 sin x =

Soluţie: Substituţia y = y P + liniară

u'- 2 tgx ⋅ u = sin x.

2 sin x 1 , yP = 2 cos x cos x 1 1 1 sau y = conduce la ecuaţia + u cos x u

3

Matematici speciale. Probleme Soluţia generală a acestei ecuaţii diferenţiale este u =

cos x C − . 2 cos x 3

1 3 cos 2 x + . Din condiţia Deci soluţia generală a ecuaţiei date este y = cos x 3C − cos3 x

Cauchy y(0)=-2 rezultă C = 0 şi deci soluţia particulară căutată este y=−

2 . cos x

6. Să se integreze ecuaţia diferenţială de tip Clairaut: y = xy' + y' 2

Soluţie: Notând y´= p ecuaţia devine y = xp + p2. Derivând în raport cu x şi ţinând seama de notaţia făcută, obţinem p = p + x

dp dp sau + 2p dx dx

dp 2 (x + 2 p) = 0. Soluţia generală este y = Cx + C , iar soluţia singulară este dx

x=-2p, y = -p2 sau y = −

x2 . 4

7. Să se integreze ecuaţiile diferenţiale liniare de ordin superior cu coeficienţi constanţi omogene: a) y' '− y = 0, y( 0 ) = 2, y ' ( 0 ) = 0 b) y ( 4) − 5 y ' '+4 y = 0 c) y (3) -6 y ' '+11y '−6 y = 0 d) y (3) − 3 y ' '+3 y '− y = 0 e) y ( 4 ) − y = 0 f) y ( 5 ) + 4 y ( 3 ) = 0

Soluţie : a) Ecuaţia caracteristică r2 –1=0 are rădăcinile reale şi distincte r1= -1, r2=1. Soluţia generală este y = C1e-x +C2ex. Din condiţiile iniţiale obţinem C1= C2 =1 şi deci soluţia particulară este y = e-x + ex. b) Ecuaţia caracteristică r4 – 5r2 + 4= 0 are rădăcinile reale distincte r1=-2, r2= -1, r3=1, r4=2. Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale este y= C1e-2x + C2e-x + C3ex + C4e2x.

Matematici speciale. Probleme

4

c) Ecuaţia caracteristică r3-6r2 +11r – 6 = 0 are rădăcinile reale distincte r1=1, r2=2, r3=3. Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale este y = C1ex + C2e2x + C3e3x. d) Ecuaţia caracteristică r3- 3r2 +3r – 1 = 0 are rădăcinile reale multiple: r1=r2=r3=1. Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale este y = (C1 + C2x + C3x2)ex. e) Ecuaţia caracteristică r4-1=0 are rădăcinile r1= -1, r2= 1, r3= -i, r4=i. Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale este y = C1e-x + C2ex + C4cosx + C5sinx. f) Ecuaţia caracteristică r5 + 4r3= 0 are rădăcinile r1= r2= r3= 0, r4=-2i, r5= 2i. Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale este y = C1 + C2x + C3x2 +C4cos2x + C5sin2x. 8. Să se integreze ecuaţiile diferenţiale liniare de ordin superior cu coeficienţi constanţi neomogene:

a) y' '−5 y '+6 y = 6 x 2 − 10 x + 2 b) y ( 4) − y (3) − y '+ y = e x Soluţie: a) Ecuaţia caracteristică a ecuaţiei omogene este r2 -5r + 6=0 cu rădăcinile r1= 2, r2= 3. Soluţia generală a ecuaţiei omogene este yh = C1e2x + C2e3x. Deoarece r=0 nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice căutăm soluţia particulară sub forma yp = Ax2 +Bx + C. Înlocuind yp în ecuaţia neomogenă obţinem: 2A - 10Ax - 5B + 6Ax2 + 6Bx + 6C ≡ 6x2 – 10x + 2 de unde rezultă A=1, B=C=0 şi deci yp=x2. Soluţia generală (y = yh+yp) este: y = C1ex + C2e3x + x2. b) Ecuaţia caracteristică r4-r3-r+1=0 are rădăcinile r1 = r2 = 1,r3 ,4 = −

1 3 ±i şi deci 2 2

5

Matematici speciale. Probleme −

x

y h = C1e x + C 2 xe x + e 2 (C3 cos

3 3 x + C 4 sin x) . 2 2

Deoarece r=1 este rădăcină dublă a ecuaţiei caracteristice soluţia particulară va avea forma yp = Ax2ex. Rezultă A =

1 1 şi y p = x 2 e x iar soluţia 6 6

generală a ecuaţiei neomogene (y = yh+yp) este: −

x 2

y = C1e + C 2 xe + e (C3 cos x

x

3 3 1 x + C 4 sin x) + x 2 e x . 2 2 6

9. Să se integreze ecuaţia de tip Euler: x 2 y'' − 2 xy' + 2 y = x

Soluţie: y ' ' = e −2t (

Folosim

substituţia

x=et.

d 2 y dy − ). Ecuaţia dată devine: dt 2 dt

Avem

y ' = e −t

dy dt

şi

d2y dy − 3 + 2 y = e t . Ecuaţia 2 dt dt

omogenă ataşată acestei ecuaţii are soluţia generală yh = C1e t + C2 e 2t , iar t soluţia particulară y p = −te . Deci soluţia generală a ecuaţiei neomogene

este y = C1e t + C 2 e 2t − te t sau y = C1 x + C2 x 2 − x ln x .

10. Să se integreze ecuaţia diferenţială prin metoda variaţiei constantelor y ' '+ y = tgx

Soluţie: Ecuaţia caracteristică a ecuaţiei omogene este r2+1=0 cu rădăcinile r1= -i şi r2 = i. Soluţia yh= C1cosx + C2sinx. Considerăm soluţia sub forma y=C1(x)cosx + C2(x)sinx (variaţia constantelor sau a lui Lagrange). Constantele C1(x) şi C2(x) verifică sistemul: ⎧ C'1(x) cos x + C' 2(x) sin x = 0 ⎨ ⎩-C'1(x) sin x + C' 2(x) cos x = tgx

6

Matematici speciale. Probleme

x π Soluţia sistemului este: C1(x) = sin x − ln tg ⎛⎜ + ⎞⎟ şi C2(x) = -cosx. ⎝2

4⎠

Soluţia generală a ecuaţiei neomogene dată va fi: ⎛x π⎞ y = C1 cos x + C2 sin x − cos x ln tg ⎜ + ⎟ . ⎝2 4⎠

11. Să se rezolve sistemul de ecuaţii diferenţiale: ⎧ x' = −3 x − y , x = x(t) ş(t) y = y(t) ⎨ ⎩ y' = x − y

Soluţie: Sin ecuaţia a doua x = y' + y, x' = y''+ y'. Înlocuind în prima ecuaţie obţinem y'' + 4y' + 4y = 0. Ecuaţia caracteristică r2 + 4r +4= 0 are rădăcinile r1= r2= -2. Soluţia generală este x(t) = (C1+C2-C2t)e-2t şi y(t) = (C1 + C2t) e-2t. 12. Să se integreze sistemul simetric de ecuaţii diferenţiale: dx3 dx1 dx2 = = x3 − x2 x1 − x3 x2 − x1

Soluţie: Sistemul dat poate fi scris sub forma: dx3 dx + dx2 + dx3 x1dx1 + x2 dx2 + x3 dx3 dx1 dx2 = = = 1 = . x3 − x2 x1 − x3 x2 − x1 0 0

De aici rezultă că d(x1+x2+x3) = 0 şi x1dx1+ x2dx2 + x3dx3= 0. Soluţia generală va fi formată din două integrale prime: x1+x2+x3 = C1 şi x12 + x22 + x32 = C2 .

13. Să se integreze ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale de ordinul întâi liniare: x1

∂u ∂u ∂u = 0, + x3 + x2 ∂x3 ∂x2 ∂x1

Soluţie: Sistemul caracteristic distincte:

x1 − x3 = C1 şi

u

x3 = 1

= x1 − x2 .

dx dx1 dx = 2 = 3 are integralele prime x1 x2 x3

x2 − x3 = C2 .

7

Matematici speciale. Probleme

Soluţia generală a ecuaţiei este: u = Φ( x1 − x3 ,

Pentru x3=1 obţinem

x 2 − x3 ). 2

x1 − 1 = C1,

x2 − 1 = C2 , de unde x1 = (1+C1) ,

x2= (1+C2)2. Cu ajutorul condiţiei Cauchy obţinem u = (1+C1)2 – (1-C2)2. Înlocuind pe C1 şi C2 găsim soluţia ecuaţiei date: u = (1 +

x1 −

x3 ) 2 − ( 1 +

x2 −

x3 ) 2 .

14. Să se integreze ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale cvasiliniară: 2 x1u

∂u ∂u = u 2 -x12 -x22 , + 2 x2 u ∂x2 ∂x1

u

x2 = 1

= x1.

Soluţie: Sistemul caracteristic este: dx1 dx 2 du = = 2 2 x1u 2 x2 u u − x12 − x22

Din primele două ecuaţii găsim următoarea integrală primă: Scriem sistemul caracteristic sub forma:

x1 = C1. x2

dx1 dx2 2u du = = 2 x1 x2 u − x12 − x22

Alegând combinaţia integrabilă 2x1, 2x2, 1 sistemul de mai sus poate fi scris astfel: 2 x1dx1 2 x2 dx2 2u du 2 x dx + 2 x dx + 2u du = = 2 = 1 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2 x1 2 x2 u − x1 − x2 x1 + x2 + u

sau (prima şi ultima): dx1 d(x12 + x22 + u 2 ) , = 2 x1 x1 + x22 + u 2

şi integrala primă:

x12 + x22 + u 2 = C2 . x1

Soluţia generală a ecuaţiei date este: ⎛ x x 2 + x22 + u 2 ⎞ ⎟⎟. u = Φ ⎜⎜ 1 , 1 x1 ⎠ ⎝ x2

8

Matematici speciale. Probleme Pentru x2=1, u

x2 = 1

= x 1 obţinem: x1 = C1 şi

2 x12 + 1 = C2 x1

Înlocuind x1 cu C1 obţinem între C1 şi C2 relaţia: 2C12 + 1 = C2 C1

Revenind la valorile lui C1 şi C2 din cele două integrale prime obţinem: 2 x12 + 1 x12 + x22 + u 2 = x1 x1

de unde soluţia generală a ecuaţiei cvasiliniare date: u 2 = x12 − x22 + 1.

Probleme propuse. Să se integreze ecuaţiile diferenţiale: 2 y = 2 x + 2 , y( 0 ) = −3 x −1 2 2. y '+ y = x 3 x 3. ydx + ( 2 xy − x) dy

1. y '+

2

4. 2 x 2 y ' = 4 xy − y 2 , y( 1 ) = 1 3x − 4 y + 7 4 x − 5 y + 11 6. ( 3 x + 3 y-1 )dx + (x + y + 1 )dy = 0

5. y ' =

7. xy '+ y = − x 2 y 2 , y( 1 ) = 1 8. y '+ y 2 +

9.

a 4 2 y + 2 = 0, y p = x x x

y = xy'+

1 y'

10. y = ( 1 + y ' )x + y '2 11. a) y ' '+2 y '+ y = 0, y( 0 ) = 0, y ' ( 0 ) = 1 b) y ( 3) − y ' '+ y '− y = 0 c) y ( 4 ) + 2 y ( 3) + 3 y ' '+2 y '+ y = 0 d) y ( 5 ) + y ' ' = 0

9

Matematici speciale. Probleme

12. a) y'' − y' − 2 y = 2 x + 3 b) y ( 3 ) − y'' = x, y( 1 ) = 1,y'( 1 ) = 0 ,y'( 1 ) = −1 c) y'' − 7 y' + 6 y = sin x + 3 cos x d) y'' − 2 y' + 2 y = 2e x cos x e) y ( 4 ) − 16 y = 6e 2 x + e -x + 3 cos 2 x + 2 sin 3 x 13. a) x 2 y'' − xy' + y = 2 x, y( 1 ) = 0 , y'( 1 ) = 1 b) x 3 y ( 3 ) + 3 x 2 y'' + xy' − y = x, y( 1 ) = y'( 1 ) = y''( 1 ) = 0 1 cos x 1 b) y' '−2 y '+ y = e x x

14. a) y' '− y =

⎧ x' = −2 x − y + sin t , x = x(t) , y = y(t). 15. a) ⎨ ⎩ y' = 4 x + 2 y + cos t ⎧ x' = y + z x = x(t), y = y(t), z = z(t) ⎪ b)⎨ y' = z + x , . ⎪⎩ z' = x + y x( 0 ) = 1, y( 0 ) = 1, z( 0 ) = 0 16. a)

dx 3 dx 1 dx 2 = = x 1 ( x2 − x3 ) x 2 ( x3 − x1 ) x 3 ( x1 − x2 )

b)

dx 3 dx 1 dx 2 = = 2 2 x − x2 − x3 2 x1 x2 2 x1 x3

c)

dx 1 dx 2 dx 2 = = x1 x2 x2 − x12 + x22 + x32

2 1

17. x1(x2 − x3 ) 18. a) x1

∂u ∂u ∂u + x2(x3 − x1 ) + x3(x1 − x2 ) =0 ∂x1 ∂x2 ∂x3

∂u ∂u − x2 = u, u = x13 x x = ∂x1 ∂x2 1 2

b) x1u

∂u ∂u + x2 u = − x1 x2 , u x2 ∂x1 ∂x2

= 2

= x1