Ecuatii Cu Derivate Partiale Complet

2007 Name: ________________________ Class: ___________________ Date: __________

probleme propuse ecuatii cu derivate partiale sesiunea iarna 2006-2007 Multiple Choice Identify the letter of the choice that best completes the statement or answers the question. ____

1.

-Care din urmatoarele expresii nu sunt corecte din punct de vedere matematic?

a.

b.

c.

d. ____

2.

-Care din urmatoarele ecuatii nu sunt ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2

a.

b.

c.

d.

1

ID: A

Name: ________________________

____

3.

ID: A

-Care din urmatoarele ecuatii nu sunt ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2

a.

b.

c.

d.

____

4.

-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este a.

b.

c.

d.

2

Name: ________________________

____

5.

ID: A

-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

____

6.

a.

c.

b.

d.

-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

____

7.

a.

c.

b.

d.

-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este a.

c.

b.

d.

3

Name: ________________________

____

8.

ID: A

-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este a. b. c.

d. ____

9.

-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este a.

c.

b.

d.

4

Name: ________________________

____ 10.

ID: A

-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

____ 11.

a.

c.

b.

d.

-Se da ecuatia diferentiala

Sa se identifice intre ecuatiile cu derivatele partiale de mai jos acea ecuatie care admite ecuatia de mai sus ca ecuatie a caracteristicilor: a.

b.

c.

d.

5

Name: ________________________

____ 12.

ID: A

-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un este domeniu

. Atunci daca

____ 13.

pe D ecuatia de mai sus este de tip

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

nu putem decide tipul ecuatiei

-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu este

. Atunci daca

____ 14.

pe D ecuatia de mai sus este de tip

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

nu putem decide tipul ecuatiei

-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu este

. Atunci daca

pe D ecuatia de mai sus este de tip

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

criteriul nu decide tipul ecuatiei

6

Name: ________________________

____ 15.

ID: A

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu

. Ecuatia

caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip

____ 16.

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe acestei ecuatii este

. Ecuatia caracteristicilor asociata

. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip

____ 17.

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe acestei ecuatii

cu ecuatia caracteristicilor asociata

. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

7

Name: ________________________

____ 18.

ID: A

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe acestei ecuatii

cu ecuatia caracteristicilor asociata

Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip

____ 19.

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe acestei ecuatii

cu ecuatia caracteristicilor asociata

Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip

____ 20.

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe acestei ecuatii

cu ecuatia caracteristicilor asociata

Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

8

Name: ________________________

____ 21.

ID: A

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe acestei ecuatii

cu ecuatia caracteristicilor asociata

Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip

?? ____ 22.

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu

cu ecuatie a

caracteristicilor asociata

. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca functii reale si distincte in fiecare punct

,

cu .

Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

9

Name: ________________________

____ 23.

ID: A

-. Ecuatia

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca fiecare punct

cu

functie reala in

.

Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip

____ 24.

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu

. Ecuatia

caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca

,

functii complex conjugate asa ca in fiecare punct reala. Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

10

cu ,

nu este

Name: ________________________

____ 25.

ID: A

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. cu

.

Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale

____ 26.

a.

c.

b.

d.

-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. cu

.

Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale a.

c.

b.

d.

11

Name: ________________________

____ 27.

ID: A

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. cu

.

Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale.

____ 28.

a.

c.

b.

d.

-Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip hiperbolic este a.

b.

c.

d.

12

Name: ________________________

____ 29.

ID: A

-Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip parabolic este

a.

b.

c.

d.

____ 30.

-Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip eliptic este a.

b.

c.

d.

13

Name: ________________________

____ 31.

ID: A

-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile . Identificati in expresiile de mai jos valoarea

a.

c.

2/y

b. ____ 32.

-Care din urmatoarele ecuatii sunt ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti.

____ 33.

a.

c.

b.

d.

-Care din urmatoarele ecuatii sunt ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti. a.

c.

b.

d.

14

Name: ________________________

ID: A

____ 34.

Dupa rezolvarea ecuatiei caracteristicilor asociate unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti trebuie rezolvate ecuatii diferentiale de tipul

a.

k constanta

c.

unde k,a constante b.

____ 35.

unde k constanta

unde k,a constante

d.

-Se doreste a se reduce la forma canonica o ecuatie liniara si omogena in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti. Notam noile variabile cu . Atunci este de forma a.

b.

____ 36.

unde α, β unde α, β

numere constante

numere constante

c.

unde α, β

numere constante

d.

unde α, β

numere constante

-Se doreste a se reduce la forma canonica o ecuatie liniara si omogena in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti. Se stie ca aceasta ecuatie este de tip hiperbolic. Schimbarea de variabile potrivita este de forma unde β 1 , β 2

a.

numere constante

b.

unde β 1 , β 2

numere constante

c.

unde β 1 , β 2

numere constante

d.

unde β 1 , β 2

15

numere constante

Name: ________________________

____ 37.

ID: A

-Se doreste a se reduce la forma canonica o ecuatie liniara si omogena in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti. Se stie ca aceasta ecuatie este de tip eliptic. Schimbarea de variabile potrivita este de forma numere constante

a.

numere constante

b.

numere constante

c. d. ____ 38.

-Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip hiperbolic. este

____ 39.

a.

c.

b.

d.

-Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip parabolic. este a.

c.

b.

d.

16

Name: ________________________

____ 40.

ID: A

-Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip eliptic. este

____ 41.

a.

c.

b.

d.

-Forma canonica a ecuatiei

este

a.

c.

b.

d.

17

Name: ________________________

____ 42.

ID: A

-Forma canonica a ecuatiei

este

____ 43.

a.

c.

b.

d.

-Forma canonica a ecuatiei

este a.

c.

b.

d.

18

Name: ________________________

____ 44.

ID: A

-Forma canonica a ecuatiei

este

____ 45.

a.

c.

b.

d.

-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

Atunci ecuatia este de tip

____ 46.

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

Atunci ecuatia este de tip a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

19

Name: ________________________

____ 47.

ID: A

-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

Atunci ecuatia este de tip a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

20

Name: ________________________

____ 48.

ID: A

-Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti . este

De aici rezulta ca

a.

unde f este functie de clasa

.

b.

unde f,g sunt functii de clasa

.

c.

unde f este functie de clasa

.

d.

unde f,g sunt functii de clasa e.

.

Niciuna din variantele de mai sus

21

Name: ________________________

____ 49.

ID: A

-Ecuatia

unde c>0 este o constanta , reprezinta

____ 50.

a.

ecuatia propagarii caldurii

b.

problema Dirichlet pentru disc

c.

ecuatia coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare

d.

ecuatia neomogena a coardei vibrante

e.

Niciuna din variantele de mai sus

-Ecuatia

reprezinta o forma particulara a a.

ecuatiei propagarii caldurii

b.

problemei Dirichlet pentru disc

c.

ecuatiei coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare

d.

ecuatiei neomemogene a coardei vibrante

e.

Niciuna din variantele de mai sus

22

Name: ________________________

____ 51.

ID: A

-Se considera ecuatia

pentru

si

. pentru orice

O conditie de tipul

____ 52.

a.

O conditie la limita

b.

O conditie initiala

c.

reprezinta

Niciuna din variantele de mai sus

-Se considera ecuatia

pentru

si

O conditie de tipul a.

O conditie la limita

b.

O conditie initiala

. , pentru c.

23

reprezinta Niciuna din variantele de mai sus

Name: ________________________

____ 53.

ID: A

-Ecuatia caracteristicilor asociata ecuatiei

unde c este o constanta , este

____ 54.

a.

c.

b.

d.

-Forma canonica a ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare este

____ 55.

a.

c.

b.

d.

-Pentru ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare conditiile

sunt a.

conditii initiale

c.

conditii necesare

b.

conditii la limita

d.

niciuna din variantele de mai sus

24

Name: ________________________

____ 56.

ID: A

-Pentru ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare conditiile

sunt

____ 57.

a.

conditii initiale

c.

conditii necesare

b.

conditii la limita

d.

niciuna din variantele de mai sus

-Consideram ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare cu conditiile initiale

si conditiile la limita

si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma a.

c.

b.

d.

25

Name: ________________________

____ 58.

ID: A

-Consideram doua functii

asa ca X(x),T(t) satisfac ecuatia

unde c>0, este un numar real constant. Atunci exista un numar real constant k asa ca a.

b.

c.

d. ____ 59.

-Pentru k>0 solutia ecuatiei

este de forma a.

b. c.

d.

niciuna din variantele de mai sus

26

Name: ________________________

____ 60.

ID: A

-Consideram urmatoarea ecuatie (2)

Aceasta este

____ 61.

a.

ecuatia omogena a coardei vibrante

b.

ecuatia neomogena a coardei vibrante d.

c.

ecuatia propagarii caldurii ecuatia lui Laplace

-Consideram urmatoarea ecuatie (8)

a>0. Aceasta este

____ 62.

a.

ecuatia omogena a coardei vibrante

b.

ecuatia neomogena a coardei vibrante d.

c.

ecuatia propagarii caldurii ecuatia lui Laplace

-Consideram urmatoarea ecuatie (9)

a>0. Aceasta este o ecuatie de tip a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus.

27

Name: ________________________

____ 63.

ID: A

-Consideram ecuatia propagarii caldurii cu conditia initiala

si conditiile pe frontiera

si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma

____ 64.

a.

c.

b.

d.

-Incercam sa rezolvam o ecuatie cu derivate partiale de ordin 2 cu metoda separarii varibilelor. datorita formei acestei ecuatii cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma

. Presupunem ca T satisface ecuatia

unde k,a sunt numere reale constante. Solutia generala a acestei ecuatii diferentiale este a.

c.

b.

d.

28

Name: ________________________

____ 65.

ID: A

-Temperatura intr-un punct al unei bare de metal este data de

unde reprezinta timpul scurs de la momentul initial 0 iar c este un numar real. In ipoteza ca nu exista schimb de caldura intre suprafata barei si mediul inconjurator care credeti ca este semnul lui c? (indicatie: deoarece nu exista schimb de caldura intre suprafata barei si mediul inconjurator temperatura barei nu poate creste catre infinit).

____ 66.

a.

c este pozitiv

c.

c este 0

b.

c este negativ

d.

depinde de conditiile initiale

-Consideram urmatoarea ecuatie

(11)

Aceasta este

____ 67.

a.

ecuatia omogena a coardei vibrante

b.

ecuatia neomogena a coardei vibrante d.

c.

ecuatia caldurii ecuatia lui Laplace

-Consideram urmatoarea ecuatie

(12)

Aceasta este o ecuatie de tip a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

nicuna din variantele de mai sus

29

Name: ________________________

____ 68.

ID: A

-Pentru rezolvarea problemei Dirichlet pentru disc

____ 69.

a.

se trece la coordonate polare dupa care se aplica metoda separarii variabilelor

b.

se aplica metoda separarii variabilelor dupa care se trece la coordonate polare

c.

se reduce problema Dirichlet la forma canonica utilizandu-se metoda caracteristicilor

d.

niciuna din variantele de mai sus

-Consideram urmatoarea ecuatie

(17)

Dorim sa trecem la coordonate polare r, . Cat este

date de

?

a.

c.

b.

d.

30

. Punem

Name: ________________________

____ 70.

ID: A

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca aceste ecuatii si se gaseste

,

. Se integreaza .

Daca ecuatia cu derivate partiale este de tip eliptic pe D atunci schimbarea de variabile pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei este

a. b.

Avem

c.

Avem ca functiile

si schimbarea de variabile potrivita este

si

sunt complex conjugate si schimbarea

de variabile potrivita este

d.

niciuna din variantele de mai sus

31

Name: ________________________

____ 71.

ID: A

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca aceste ecuatii si se gaseste

,

. Se integreaza .

Daca ecuatia cu derivate partiale este de tip parabolic pe D atunci schimbarea de variabile pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei este

a. b.

Avem

c.

Avem ca functiile

si schimbarea de variabile potrivita este

si

sunt complex conjugate si schimbarea

de variabile potrivita este

d.

niciuna din variantele de mai sus

32

Name: ________________________

____ 72.

ID: A

-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , . Se integreaza . Daca ecuatia cu derivate aceste ecuatii si se gaseste partiale este de tip hiperbolic pe D atunci schimbarea de variabile pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei este

a. b.

Avem

c.

Avem ca functiile

si schimbarea de variabile potrivita este

si

sunt complex conjugate si schimbarea

de variabile potrivita este

d.

niciuna din variantele de mai sus

33

Name: ________________________

____ 73.

ID: A

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. cu

.

Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale

____ 74.

a.

c.

b.

d.

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. cu

.

Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale. a.

c.

b.

d.

34

Name: ________________________

____ 75.

ID: A

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. cu

.

Sa se identifice mai jos tipul ecuatiei cu derivate partiale.

____ 76.

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din aceste variante

-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile . Identificati in expresiile de mai jos derivata partiala a lui η in raport cu x si y,

____ 77.

a.

c.

b.

d.

2/y

-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile . Notam

Atunci este adevarat ca

a.

c.

b.

d.

35

Name: ________________________

____ 78.

ID: A

-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile . Notam Atunci este adevarat ca

____ 79.

a.

c.

b.

d.

-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile . Notam Atunci

contine (cu + sau - in fata) termenul

a.

c.

b.

d.

36

Name: ________________________

____ 80.

ID: A

-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile . Notam Atunci

contine (cu + sau - in fata) termenul

a.

c.

b.

d.

____ 81.

Dupa rezolvarea ecuatiei caracteristicilor asociate unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti trebuie rezolvate ecuatii diferentiale de tipul

a.

k constanta

c.

unde k,a constante b.

unde k constanta

d.

37

unde k,a constante

Name: ________________________

____ 82.

ID: A

-Se doreste a se reduce la forma canonica o ecuatie liniara si omogena in raport cu derivatele de . Atunci este de forma ordinul al doilea cu coeficienti constanti. Notam noile variabile cu a.

b.

____ 83.

unde α, β unde α, β

numere constante

numere constante

c.

unde α, β

numere constante

d.

unde α, β

numere constante

-Se doreste a se reduce la forma canonica o ecuatie liniara si omogena in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti. Se stie ca aceasta ecuatie este de tip parabolic. Schimbarea de variabile potrivita este de forma a.

unde β 1 , β 2

b.

unde β 1

c.

unde β 1

d.

38

numere constante numar constant

numar constant

Name: ________________________

____ 84.

ID: A

-Forma canonica a ecuatiei

este a.

c.

b.

d.

39

Name: ________________________

____ 85.

ID: A

-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

De aici rezulta ca a.

unde f este o functie ce admite primitive cel putin local. b.

unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.

c.

unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local. d.

unde f este functie ce admite primitive cel putin local.

40

Name: ________________________

____ 86.

ID: A

-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

De aici rezulta ca a.

unde f este functie de clasa

.

unde f este functie de clasa

.

unde f este functie de clasa

.

b.

c.

d.

unde f,g sunt functii de clasa

.

41

Name: ________________________

____ 87.

ID: A

-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

De aici rezulta ca a.

unde f este o functie ce admite primitive cel putin local. b.

unde f este functie ce admite primitive cel putin local.

c.

unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local. d.

unde f este functie ce admite primitive cel putin local.

42

Name: ________________________

____ 88.

ID: A

-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

De aici rezulta ca a.

unde f este functie de clasa

.

b.

unde f,g sunt functii de clasa

.

c.

unde f este functie de clasa

.

d.

unde f,g sunt functii de clasa

.

43

Name: ________________________

____ 89.

ID: A

-Solutiile generale ale ecuatiei caracteristicilor asociate ecuatiei

unde c este o constanta , sunt a.

unde

numere reale

b.

unde

numere reale

unde

c.

d. ____ 90.

unde

numere reale

numere reale

-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare omogene cu derivate partiale de ordin 2 este

unde c este o constanta . Care este schimbarea de variabile potrivita pentru aducerea ecuatiei cu derivate partiale la forma canonica? a.

c.

b.

d.

44

Name: ________________________

____ 91.

ID: A

-Pentru rezolvarea ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare se aduce ecuatia la forma canonica

si apoi se rezolva aceasta ecuatie. Se obtine a.

U(ψ , η) = f(η) unde f este functie de clasa

b.

.

U(ψ , η) = f(ψ ) + g(η) unde f,g sunt functii de clasa

.

c.

unde f este functie de clasa d.

.

Niciuna din variantele de mai sus

45

Name: ________________________

____ 92.

ID: A

-Pentru rezolvarea ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare, cu constanta c=1 se aduce ecuatia la forma canonica si apoi se rezolva ecuatia care rezulta. Se obtine a.

unde f este functie de clasa

.

b.

unde f,g sunt functii de clasa

.

unde f,g sunt functii de clasa

.

unde f,g sunt functii de clasa

.

c.

d.

e.

Niciuna din variantele de mai sus

46

Name: ________________________

____ 93.

ID: A

-Pentru rezolvarea ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare cu conditii initiale

se cauta o solutie de tipul

unde

sunt functii de clasa

iar c este un numar real pozitiv. Dupa aplicarea conditiilor

initiale se obtine a. b. c.

d.

47

Name: ________________________

____ 94.

ID: A

-Se aplica metoda separarii variabilelor ecuatiei cu derivate partiale

(1)

Se cauta o solutie de forma

. Rezulta atunci ca X,T satisfac ecuatia

____ 95.

a.

c.

b.

d.

-Pentru k<0 solutia ecuatiei

este de forma , c 1, c 2 constante

a.

, c 1, c 2 constante

b.

c.

d.

,

c 1, c 2 constante

niciuna din variantele de mai sus 48

Name: ________________________

____ 96.

ID: A

-exista solutie nenula a ecuatiei

Pentru

cu conditiile

numai daca k este de forma

a.

n numar natural. b.

,n numar natural.

c.

,n numar natural.

d.

,n numar natural.

49

Name: ________________________

____ 97.

ID: A

-Pentru rezolvarea ecuatiei neomogene a coardei vibrante (3)

cu conditiile initiale

si conditiile la limita

se cauta o solutie de forma corespunzatoare si

unde u 0 este solutia ecuatiei omogene a coardei vibrante

este solutia ecuatiei de mai jos cu conditiile initiale

si conditiile la limita

Selectati ecuatia satisfacuta de U.

50

Name: ________________________

ID: A

a.

b.

c.

d.

51

Name: ________________________

____ 98.

ID: A

-Consideram urmatoarea ecuatie

(10)

cu conditia initiala

si conditiile pe frontiera

si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma

. Rezulta atunci ca exista un numar constant k asa ca X,T satisfac ecuatia a.

c.

b.

d.

52

Name: ________________________

____ 99.

ID: A

-Consideram o functie X(x) ce satisface o ecuatie diferentiala de forma

Stim deasemenea ca X satisface conditiile la limita

Cat credeti ca trebuie sa fie nula .

____ 100.

pentru ca solutia X a ecuatiei diferentiale de mai sus sa nu fie solutia

a.

, k numar intreg

c.

, k numar intreg

b.

,k numar intreg

d.

, k numar intreg

-Consideram urmatoarea ecuatie

(13)

Dorim sa trecem la coordonate polare r, . Cat este

date de

?

a.

c.

b.

d.

53

. Punem

Name: ________________________

____ 101.

ID: A

-Consideram urmatoarea ecuatie

(14)

Dorim sa trecem la coordonate polare r, . Cat este

____ 102.

date de

. Punem

?

a.

c.

b.

d.

-Consideram urmatoarea ecuatie

(15)

Dorim sa trecem la coordonate polare r, . Cat este

date de

?

a.

c.

b.

d.

54

. Punem

Name: ________________________

____ 103.

ID: A

-Consideram urmatoarea ecuatie

(16)

Dorim sa trecem la coordonate polare r, . Cat este

date de

. Punem

?

a.

c.

b.

d.

True/False Indicate whether the sentence or statement is true or false.

T

____ 104.

-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti are forma

unde a,b,c sunt niste numere reale constante.

F

____ 105.

-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti are forma

unde a,b,c sunt niste numere reale constante.

55

Name: ________________________

T

____ 106.

ID: A

-Pentru

cu conditiile

solutia ecuatiei

, este in mod necesar solutia nula.

Matching

-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca

,

. Se integreaza

. Identificati mai jos schimbarea aceste ecuatii si se gaseste de variabile potrivita fiecarui tip de ecuatie pentru aducerea la forma canonica

a?

a.

hiperbolic

b.

parabolic

c.

eliptic

____ c 107.

eliptic

____ b 108.

parabolic

____ a 109.

hiperbolic

56

2008 ecuatii MULTIPLE CHOICE 1.

-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

2.

a.

c.

b.

d.

-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este a.

c.

b.

d.

1

3.

-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

4.

a.

c.

b.

d.

-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

5.

a.

c.

b.

d.

-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este a.

c.

b.

d.

2

6.

-Se da ecuatia diferentiala

Sa se identifice intre ecuatiile cu derivatele partiale de mai jos acea ecuatie care admite ecuatia de mai sus ca ecuatie a caracteristicilor: a.

b.

c.

d.

7.

-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un este domeniu

. Atunci daca

pe D ecuatia de mai sus este de tip

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

nu putem decide tipul ecuatiei

3

8.

-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu este

. Atunci daca

9.

pe D ecuatia de mai sus este de tip

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

nu putem decide tipul ecuatiei

-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu este

. Atunci daca

10.

pe D ecuatia de mai sus este de tip

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

criteriul nu decide tipul ecuatiei

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu caracteristicilor asociata acestei ecuatii este sinx⋅ y' 2 − 2 cosx⋅ y'− sinx = 0

. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

4

. Ecuatia

11.

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe asociata acestei ecuatii este

. Ecuatia caracteristicilor

. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip

12.

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe asociata acestei ecuatii

cu ecuatia caracteristicilor

y' 2 − cos x ⋅ y'+ 3 = 0

Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip

13.

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe asociata acestei ecuatii

cu ecuatia caracteristicilor

y' 2 − 2cos x ⋅ y'+ 4 = 0

Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

5

14.

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu

cu ecuatie

a caracteristicilor asociata

. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca

,

functii reale si distincte in fiecare punct

cu .

Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip

15.

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu

. Ecuatia

caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca fiecare punct

cu

functie reala in

.

Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

6

16.

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu

. Ecuatia

caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca

,

functii complex conjugate asa ca in fiecare punct

cu ,

nu

este reala. Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip

17.

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. cu

.

Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale a.

c.

b.

d.

7

18.

-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. cu

.

Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale

19.

a.

c.

b.

d.

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. cu

.

Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale. a.

c.

b.

d.

8

20.

-Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip hiperbolic este a.

b.

c.

d.

21.

-Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip parabolic este

a.

b.

c.

d.

9

22.

-Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip eliptic este a.

b.

c.

d.

23.

-Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip hiperbolic. este

24.

a.

c.

b.

d.

-Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip parabolic. este a.

c.

b.

d.

10

25.

-Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip eliptic. este

26.

a.

c.

b.

d.

-Forma canonica a ecuatiei

este

a.

c.

b.

d.

11

27.

-Forma canonica a ecuatiei

este

28.

a.

c.

b.

d.

-Forma canonica a ecuatiei

este a.

c.

b.

d.

12

29.

-Forma canonica a ecuatiei

este

30.

a.

c.

b.

d.

-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

Atunci ecuatia este de tip

31.

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

Atunci ecuatia este de tip a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

13

32.

-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

Atunci ecuatia este de tip a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

14

33.

-Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti . este

De aici rezulta ca

a.

unde f este functie de clasa

.

b.

unde f,g sunt functii de clasa

.

c.

unde f este functie de clasa

.

d.

unde f,g sunt functii de clasa e.

.

Niciuna din variantele de mai sus

15

34.

-Ecuatia

unde c>0 este o constanta , reprezinta

35.

a.

ecuatia propagarii caldurii

b.

problema Dirichlet pentru disc

c.

ecuatia coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare

d.

ecuatia neomogena a coardei vibrante

e.

Niciuna din variantele de mai sus

-Ecuatia

reprezinta o forma particulara a a.

ecuatiei propagarii caldurii

b.

problemei Dirichlet pentru disc

c.

ecuatiei coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare

d.

ecuatiei neomemogene a coardei vibrante

e.

Niciuna din variantele de mai sus

16

36.

-Se considera ecuatia

pentru

si

. pentru orice

O conditie de tipul

37.

a.

O conditie la limita

b.

O conditie initiala

c.

reprezinta

Niciuna din variantele de mai sus

-Se considera ecuatia

pentru

si

O conditie de tipul

38.

a.

O conditie la limita

b.

O conditie initiala

. , pentru c.

reprezinta Niciuna din variantele de mai sus

-Forma canonica a ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare este a.

c.

b.

d.

17

39.

-Pentru ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare conditiile

sunt

40.

a.

conditii initiale

c.

conditii necesare

b.

conditii la limita

d.

niciuna din variantele de mai sus

-Consideram ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare cu conditiile initiale

si conditiile la limita

si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma a.

c.

b.

d.

18

41.

-Consideram urmatoarea ecuatie (8)

a>0. Aceasta este

42.

a.

ecuatia omogena a coardei vibrante

b.

ecuatia neomogena a coardei vibrante d.

c.

ecuatia propagarii caldurii ecuatia lui Laplace

-Consideram urmatoarea ecuatie (9)

a>0. Aceasta este o ecuatie de tip a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus.

19

43.

-Consideram ecuatia propagarii caldurii cu conditia initiala

si conditiile pe frontiera

si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma

44.

a.

c.

b.

d.

-Consideram urmatoarea ecuatie

(11)

Aceasta este a.

ecuatia omogena a coardei vibrante

b.

ecuatia neomogena a coardei vibrante d.

c.

20

ecuatia caldurii ecuatia lui Laplace

45.

-Consideram urmatoarea ecuatie

(12)

Aceasta este o ecuatie de tip

46.

a.

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

nicuna din variantele de mai sus

-Pentru rezolvarea problemei Dirichlet pentru disc a.

se trece la coordonate polare dupa care se aplica metoda separarii variabilelor

b.

se aplica metoda separarii variabilelor dupa care se trece la coordonate polare

c.

se reduce problema Dirichlet la forma canonica utilizandu-se metoda caracteristicilor

d.

niciuna din variantele de mai sus

47.

1. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabila :

a.

ξ=y+x; η =2x

c.

ξ=y+x; η =x

b.

ξ=y-x; η =2x

d.

ξ=y+x; η =2xy

21

TRUE/FALSE

A

1.

-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti are forma

unde a,b,c sunt niste numere reale constante.

F

2. Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

22

Ecuatii cu derivate partiale MULTIPLE CHOICE 1. Să se rezolve problema Cauchy pentru ecuaŃia:

∂ 2u ∂ 2u − =0 ∂t 2 ∂x 2 cu condiŃiile iniŃiale: ∂u u t =0 = x 2 , t =0 = 0 ∂t a. u ( x, t ) = t 2 + x 2 b. c. d.

u ( x, t ) = t 2 − x 2 1 u ( x, t ) = ϕ ( x − t ) + ϕ ( x + t )  , ϕ ( ⋅) - funcŃie arbitrară. 2 1 u ( x, t ) = ϕ ( x − t ) − ϕ ( x + t )  , ϕ ( ⋅) - funcŃie arbitrară. 2

2. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:

∂ 2u ∂ 2u  2 −4 2 =0 ∂x  ∂t  u = 0, ∂u = x t =0  t = 0 ∂t 1 a. u ( x, t ) = ϕ ( x − 2t ) + ϕ ( x + 2t )  , ϕ ( ⋅) - funcŃie arbitrară. 4 b. u ( x, t ) = xt c. d.

u ( x, t ) = ϕ ( x 2 + t 2 ) , ϕ ( ⋅) - funcŃie arbitrară.

u ( x, t ) = t 2 + x 2

3. DeterminaŃi forma unei coarde la momentul t = 2 ∂ 2u 2 ∂ u − a şi de condiŃiile iniŃiale u ∂t 2 ∂x 2

a. b. c. d.

t =0

π 2a

= sin x,

u ( x, t ) = sin ax cos t + t

u ( x, t ) = sin x cos t + t π u ( x, t ) = 2a 1 u ( x, t ) = sin x cos at 2a

1

dacă mişcarea ei este definită de ecuaŃia: ∂u ∂t

t =0

= 1.

4. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:

∂ 2u ∂ 2u  2 − 2 =0 ∂x  ∂t  u = x, ∂u = − x t =0 t =0 ∂t  a. b. c. d.

u ( x, t ) = t (1 − x ) u ( x, t ) = x ( t − 1) u ( x, t ) = tx

u ( x, t ) = x (1 − t )

5. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:

a. b. c. d.

2 ∂ 2u 2 ∂ u =0  2 −a ∂x 2  ∂t  u = 0, ∂u = cos x t =0  t =0 ∂t 1 u ( x, t ) = cos x sin at a 1 u ( x, t ) = sin x cos at a 1 u ( x, t ) = sin x cos x a 1 u ( x, t ) = cos at sin x a

6. Să se găsească forma unei coarde la momentul t = π dacă mişcarea sa este definită de ecuaŃia:

a. b. c. d.

∂ 2u ∂ 2u  2 − 2 =0 ∂x  ∂t  u = sin x, ∂u  t =0 ∂t u = cos x u = − sin x u = − cos x u = sin x

t =0

= cos x

2

7. Să se aducă la forma canonică indicând transformările de variabile:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + 2 − 3 + 2 + 6 = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 ∂ u 1 ∂u a. + =0 , ξ = x+ y , ∂ξ∂η 2 ∂ξ ∂ 2u 1 ∂u b. − =0 , ξ = x+ y , ∂ξ∂η 2 ∂ξ ∂ 2u 1 ∂u c. + =0 , ξ = x− y , ∂ξ∂η 2 ∂ξ ∂ 2u 1 ∂u d. − =0 , ξ = x+ y , ∂ξ∂η 2 ∂ξ

η = 3x − y η = 3x − y η = 3x + y η = 3x + y

8. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u +4 +5 2 + +2 = 0 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 2 ∂ u ∂ u ∂u a. + + = 0 , ξ = 2x + y , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η ∂ 2u ∂ 2u ∂u b. + + = 0 , ξ = 2x − y , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η ∂ 2u ∂ 2u ∂u c. − + = 0 , ξ = 2x − y , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η ∂ 2u ∂ 2u ∂u d. + − = 0 , ξ = 2x − y , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η

η = −x η=x η=x η=x

9. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u − + 2 +α +β + cu = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y ∂ 2u ∂u ∂u a. − (α + β ) +β + cu = 0 , ξ 2 ∂η ∂ξ ∂η ∂ 2u ∂u ∂u b. + (α − β ) −β + cu = 0 , ξ 2 ∂η ∂ξ ∂η ∂ 2u ∂u ∂u c. + (α + β ) +β + cu = 0 , ξ 2 ∂η ∂ξ ∂η ∂ 2u ∂u ∂u d. + (α + β ) +β + cu = 0 , ξ 2 ∂η ∂ξ ∂η

3

= x− y ,

η=y

= x+ y ,

η=y

= x+ y ,

η=y

= x+ y ,

η=y

10. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 − 2 cos x − 3 + sin x −y =0 ( ) 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ∂ 2u η − ξ  ∂u ∂u  a. + −   = 0 , ξ = 2 x + sin x + y , ∂ξ∂η 16  ∂ξ ∂η  ∂ 2u η − ξ  ∂u ∂u  + +  =0, ∂ξ∂η 16  ∂ξ ∂η  ∂ 2u η − ξ  ∂u ∂u  + −  =0, ∂ξ∂η 16  ∂ξ ∂η 

b. c.

∂ 2u η − ξ  ∂u ∂u  + −  =0, ∂ξ∂η 32  ∂ξ ∂η 

d.

η = 2 x - sin x - y

ξ = 2 x + sin x + y ,

η = 2 x - sin x - y

ξ = 2 x − sin x + y ,

η = 2 x - sin x - y

ξ = 2 x + sin x + y ,

η = 2 x - sin x - y

11. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate

y a. b. c. d.

2

2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u + 2 xy + 2x +y = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ∂ 2 u ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + 2+ ⋅ + ⋅ = 0 , ξ = x2 − y 2 , η = x2 2 ∂ξ ∂η ξ − η ∂ξ 2η ∂η 2 ∂ u ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u − 2+ ⋅ + ⋅ = 0 , ξ = x2 − y2 , η = x2 2 ∂ξ ∂η ξ − η ∂ξ 2η ∂η 2 ∂ u ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + 2− ⋅ + ⋅ = 0 , ξ = x2 + y 2 , η = x2 2 ∂ξ ∂η ξ − η ∂ξ 2η ∂η ∂ 2u ∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂u + 2+ ⋅ + ⋅ = 0 , ξ = x2 + y2 , η = x2 2 ∂ξ ∂η ξ + η ∂ξ η ∂η

12. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

tg 2 x a. b. c. d.

2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u − 2 y tgx + y + tg 3 x = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂ 2u ξ ∂u − ⋅ = 0 , ξ = y sin x , η = y ∂η 2 η ∂ξ ∂ 2u 2ξ ∂u − ⋅ = 0 , ξ = y sin x , η = y ∂η 2 η 2 ∂ξ ∂ 2u ξ ∂u + ⋅ = 0 , ξ = y sin x , η = − y ∂η 2 η ∂ξ ∂ 2u ξ ∂u + ⋅ = 0 , ξ = y sin x , η = − y ∂η 2 η ∂ξ

4

13. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 1 ∂u 2 + 2sin x − cos x + cos x + sin 2 x 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂u 1 ξ + η ∂u a. − cos = 0 , ξ = x − y + cos x , ∂ξ∂η 2 2 ∂η ∂ 2u 1 ξ + η ∂u b. − cos = 0 , ξ = x − y + cos x , ∂ξ∂η 2 2 ∂η ∂ 2u 1 ξ + η ∂u c. + cos = 0 , ξ = x + y + cos x , ∂ξ∂η 2 2 ∂η ∂ 2u 1 ξ − η ∂u d. + cos = 0 , ξ = x + y + cos x , ∂ξ∂η 2 2 ∂η

= 0.

η = x − y − cos x η = x − y − cos x η = x − y − cos x η = x − y − cos x

14. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

x a. b. c. d.

2

2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u + 2 xy − 3y − 2 x + 4 y + 16 x 4u = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 ∂u 1 ∂u 1 ∂u + ⋅ − +u = 0 , ξ = x− y , η = ∂ξ∂η 4η ∂ξ 2ξ ∂η ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + ⋅ − +u = 0 , ξ = x+ y , η = ∂ξ∂η 4η ∂ξ 2ξ ∂η ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u x − ⋅ + + u = 0 , ξ = xy , η = ∂ξ∂η 4η ∂ξ ξ ∂η y 2 ∂u 1 ∂u 1 ∂u x3 + ⋅ − + u = 0 , ξ = xy , η = ∂ξ∂η 4η ∂ξ ξ ∂η y

x y x y

15. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u + 1 + y +x +y = 0. ( ) 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂ 2u ∂ 2u + = 0 , ξ = ln x + 1 + x 2 , η = ln y + 1 + y 2 ∂ξ 2 ∂η 2 ∂ 2u ∂ 2u − = 0 , ξ = ln x + 1 + x 2 , η = ln y + 1 + y 2 ∂ξ 2 ∂η 2 ∂ 2u ∂ 2u + 2 = 0 , ξ = ln x + 1 + x 2 , η = ln 3 y + 1 + 9 y 2 2 ∂ξ ∂η 2 ∂ u ∂ 2u − 2 = 0 , ξ = ln 2 x + 1 + 4 x 2 , η = ln y + 1 + y 2 2 ∂ξ ∂η

(1 + x2 ) a. b. c. d.

( ( ( (

) ) )

( ( (

)

5

) )

(

) )

16. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u − 2 y sin x + y = 0. ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂ 2u 2ξ ∂u x − 2 ⋅ = 0 , ξ = y ln , η = y 2 2 ∂η ξ + η ∂ξ 2 2 ∂u 2ξ ∂u x − 2 ⋅ = 0 , ξ = ytg , η = y 2 2 ∂η ξ + η ∂ξ 2 2 ∂u 2ξ ∂u x + 2 ⋅ = 0 , ξ = tg , η = y 2 2 ∂η ξ + η ∂ξ y 2 ∂u 2ξ ∂u y − 2 ⋅ = 0 , ξ = xtg , η = − y 2 2 ∂η ξ + η ∂ξ 2

sin 2 x a. b. c. d.

17. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u cth x 2 − 2 y cthx +y + 2y = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂x ∂y ∂ 2u 1  ∂u ∂u  a. + ξ −η  = 0 , ξ = y chx , 2 2  ∂η 1 − η  ∂ξ ∂η  2

b. c. d.

∂ 2u ∂u  1  ∂u + ξ −η =0 , 2 2  ∂η 1 + η  ∂ξ ∂η  ∂ 2u ∂u  1  ∂u + ξ +η =0 , 2 2  ∂η 1 + η  ∂ξ ∂η  1  ∂u ∂ 2u ∂u  η − +ξ =0, 2 2  ∂η 1 + η  ∂ξ ∂η 

η = shx

ξ = y shx ,

η = chx

ξ = y chx ,

η = shx

ξ = y chx ,

η = yshx

6

18. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând

transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2 u y 2 + 2 = 0. ∂x ∂y a. ecuaŃia este de tip eliptic dacă y > 0 ,iar, forma canonică este:

∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u 2 32 + + = 0 , ξ = x , η = y ( y > 0) ∂ξ 2 ∂η 2 3η ∂η 3 b. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă y > 0 , iar forma canonică este: ∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u 2 32 − + = 0 , = x , = y ( y > 0) ξ η ∂ξ 2 ∂η 2 3η ∂η 3 c. ecuaŃia este de tip hiperbolic pentru y < 0 , iar forma canonică este: 3 2  2 ξ = − − x y ( )   ∂u ∂u  ∂ 2u 1 3 + + y<0  =0 ,  3 ∂ξ∂η 6 (η − ξ )  ∂ξ ∂η  η = x + 2 ( − y ) 2  3 d. ecuaŃia este de tip eliptic pentru y < 0 , iar forma canonică este: 3 2  2 ξ = x − − y ( ) 2 2   ∂u ∂u  ∂u ∂u 1 3 + + y<0  =0 ,  3 2 ∂ξ 2 ∂η 2 6 (η − ξ )  ∂ξ ∂η  η = x + ( − y ) 2  3 19. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând

transformarea făcută:

∂ 2u ∂ 2u ∂u + y +α = 0 , unde α = constant 2 2 ∂x ∂y ∂y a. ecuaŃia este de tip eliptic dacă y < 0 , iar forma canonică este: ∂ 2u ∂ 2u 2α − 1 ∂u + + = 0 , ξ = x , η = 2 − y , ( y < 0) ∂ξ 2 ∂η 2 η ∂η b. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă y < 0 , iar forma canonică este: 1 α −  2  ∂u 2 ∂u − ∂u  = 0 , ξ = x − 2 − y ( y < 0 ) −    ∂ξ∂η ξ − η  ∂ξ ∂η  η = x + 2 − y c. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă y < 0 , iar forma canonică este: ∂ 2u ∂ 2u 2α − 1 ∂u − + = 0 , ξ = x , η = 2 − y , ( y < 0) ∂ξ 2 ∂η 2 η ∂η d. ecuaŃia este de tip eliptic dacă y > 0 , iar forma canonică este: 1 α −  2 2  ∂u ∂u 2 ∂u − ∂u  = 0 , ξ = x − 2 − y ( y < 0 ) + −    ∂ξ 2 ∂η 2 ξ − η  ∂ξ ∂η  η = x + 2 − y

7

20. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,

precizând transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2u y 2 +x 2 =0 ∂x ∂y a. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă x < 0 , y < 0, iar, forma canonică este:

b.

3 3  2 2 ∂ u 1 1  ∂u ∂u  ξ = ( − x ) − y η ξ + − = 0 ,    3 3 ∂ξ∂η 3 η 2 − ξ 2  ∂ξ ∂η  η = ( − x ) 2 + y 2  ecuaŃia este de tip eliptic dacă x < 0 , y < 0, iar forma canonică este:

c.

3  2 ξ = − x ( )   3 η = ( − y ) 2  ecuaŃia este de tip eliptic dacă x > 0 , y > 0, iar, forma canonică este:

2

∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + + + =0 , ∂ξ 2 ∂η 2 3ξ ∂ξ 3η ∂η

3  ξ = − x ( )2 ∂ u ∂ u 1 ∂u 1 ∂u  + + + = 0 ,  3 ∂ξ 2 ∂η 2 3ξ ∂ξ 3η ∂η η = ( − y ) 2  d. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă x > 0 , y > 0, iar, forma canonică este: 2

2

∂ u 1 1  ∂u ∂u  η + −ξ =0 , 2 2  ∂ξ∂η 3 η − ξ  ∂ξ ∂η  2

8

3 3  2 2 = − − ξ x y ( )   3 3 η = ( − x ) 2 + y 2 

21. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,

precizând transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2u x 2 + y 2 =0 ∂x ∂y a. ecuaŃia este de tip eliptic pe interiorul cercului x 2 + y 2 = 1 , iar, forma canonică este:

x2 + y 2 − 1 ∂ 2 u ∂ 2u y + = 0 , = , = ξ η ∂ξ 2 ∂η 2 x −1 x −1 b. ecuaŃia este de tip hiperbolic pe exteriorul cercului x 2 + y 2 = 1 , iar forma canonică este:

c.

x2 + y 2 − 1 ∂ 2u ∂ 2u y − =0 , ξ = , η= ∂ξ 2 ∂η 2 x −1 x −1 ecuaŃia este de tip hiperbolic pe interiorul cercului x 2 + y 2 = 1 , iar forma canonică este:

1 − x2 − y 2 ∂ 2u ∂ 2u y ξ η − = 0 , = , = ∂ξ 2 ∂η 2 x −1 x −1 d. ecuaŃia este de tip eliptic pe exteriorul cercului x 2 + y 2 = 1, iar forma canonică este: 1 − x2 − y 2 ∂ 2 u ∂ 2u y + = 0 , ξ = , η = ∂ξ 2 ∂η 2 x −1 x −1 22. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,

precizând transformarea făcută: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u 1 − x2 − 2 xy − 1 + y − 2x − 2 y =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y a. pentru 1 − x 2 + y 2 > 0 ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:

(

)

(

)

1 − x2 + y 2 ∂ 2 u ∂ 2u y ξ η − = 0 , = , = ∂ξ 2 ∂η 2 1+ x 1+ x 2 2 b. pentru 1 − x + y < 0 ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:

c.

x2 − y 2 − 1 ∂ 2 u ∂ 2u y − = 0 , ξ = , η = ∂ξ 2 ∂η 2 1+ x 1+ x pentru 1 − x 2 + y 2 > 0 ecuaŃia este de tip eliptic, iar, forma canonică este:

1 − x2 + y2 ∂ 2u ∂ 2u y + = 0 , ξ = , η = ∂ξ 2 ∂η 2 1+ x 1+ x 2 2 d. pentru 1 − x + y < 0 ecuaŃia este de tip eliptic, iar, forma canonică este: ∂ 2u ∂ 2u + =0 , ∂ξ 2 ∂η 2

ξ=

y , 1+ x

η=

9

x2 − y2 −1 1+ x

23. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 − 2sin x − cos x − cos x =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y a. u ( x, y ) = ϕ ( x + y + cos x ) +ψ ( x − y − cos x ) b. c. d.

u ( x, y ) = ϕ ( x + y − cos x ) +ψ ( x − y + cos x )

u ( x, y ) = ϕ ( x + y − sin x ) +ψ ( x − y + sin x )

u ( x, y ) = ϕ ( x − y − sin x ) +ψ ( x − y + sin x )

24. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: a.

∂ 2u ∂ 2u 1  ∂u ∂u  x 2 −y 2 +  − =0 , ∂x ∂y 2  ∂x ∂y 

b.

u ( x, y ) = ϕ

c. d.

( u ( x, y ) = ϕ ( u ( x, y ) = ϕ (

( x > 0, y > 0 ) .

) ( − x + − y ) x < 0, y < 0 x − y ) +ψ ( x + y ) x, y > 0 − x − y ) +ψ ( − x + y ) x < 0, y > 0

− x − − y +ψ

25. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:

x2

2 ∂ 2u ∂u 2 ∂ u − y − 2y =0 2 2 ∂x ∂y ∂y

a.

u ( x , y ) = ϕ ( x, y ) +

b.

u ( x, y ) =

c.

u ( x , y ) = ϕ ( x, y ) +

d.

u ( x, y ) =

x  x2  ψ  y  y2 

x  y ϕ ( x ⋅ y ) + xyψ   y x x  y ψ  y x

x  y ϕ ( x, y ) + ψ   y x

26. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u − 2 xy + y +x +y =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y a. u ( x, y ) = ϕ ( x ⋅ y ) ln y +ψ ( x ⋅ y )

x2

b. c. d.

u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) ln y +ψ ( x ⋅ y )

 x u ( x, y ) = ϕ ( x ⋅ y ) ln y +ψ    y y u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) ln +ψ ( x ⋅ y ) x

10

27. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: 2 ∂  2 ∂u  2 ∂ u x = x   ∂x  ∂x  ∂y 2

x

a.

u ( x, y ) =

b.

u ( x, y ) =

c.

u ( x, y ) =

ϕ ( x ⋅ y ) +ψ   y  

x

ϕ ( x − y ) +ψ ( x + y ) x ϕ ( x − y ) +ψ ( x + y )

y x

d.

u ( x, y ) =

ϕ ( x ⋅ y ) +ψ   y  

y

28. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:

∂ 2u ∂u ∂u − + =0 ∂x∂y ∂x ∂y X ( x)Y ( y) u ( x, y ) = , unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare x2 + y2 X ( x) ⋅Y ( y ) u ( x, y ) = , unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare x⋅ y X ( x) − Y ( y) u ( x, y ) = , unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare x− y X ( x) + Y ( y) u ( x, y ) = , unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare x+ y

( x − y) a. b. c. d.

29. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:

∂ 2u ∂u ∂u + y + x + xyu = 0 ∂x∂y ∂x ∂y a.

b. c. d.

u ( x, y ) = e

u ( x, y ) = e u ( x, y ) = e u ( x, y ) = e

−

x2 + y 2 2

x2 + y2 2

ϕ ( x + y ) + ψ ( x − y ) 

−

x +y 2

2

−

x +y 2

2

2

2

 x  ϕ   +ψ ( y )    y 

ϕ ( x + y ) + ψ ( x − y )  ϕ ( x ) + ψ ( y ) 

11

30. Utizând schimbarea de variabile independente :

y z , η = , ζ = z− y x x să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u x 2 2 + 2 xy + y 2 2 + 2 yz + z 2 2 + 2 zx =0 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y∂z ∂z ∂z∂x  y z y z a. u ( x, y , z ) = ( z − y ) ϕ  ,  + ψ  ,  , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅)  x x  x x y z y z b. u ( x, y , z ) = ( z + y ) ϕ  ,  + ψ  ,  , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅)  x x  x x y z y z c. u ( x, y , z ) = ( z − y ) ϕ  ,  + ( x − y )ψ  ,  , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅ )  x x  x x y z y z d. u ( x, y, z ) = xyϕ  ,  + ψ  ,  , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅)  x x  x x

ξ=

31. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = a11 2 + 2a12 + a22 2 ∂t 2 ∂x ∂x∂y ∂y a.

(a

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

u ( x, y, t ) = ϕ x + a12t , y + a22t + ψ x − a12t , y − a22t unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.

b.

u ( x, y, t ) = ϕ x + a11t , y + a22t + ψ x − a11t , y − a22t unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.

c.

u ( x, y, t ) = ϕ x + a22t , y + a12t + ψ x − a22t , y − a12t unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.

d.

a = a122 )

11 22

u ( x, y, t ) = ϕ x + a11t , y − a22t +ψ x − a11t , y − a22t unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.

12

)

32. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:

∂ 4u ∂ 4u ∂ 4u − 2 + =0 ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4 a. u ( x, y ) = yf1 ( x ) + xf 2 ( y ) + f3 ( x − y ) + f 4 ( x + y ) , unde f k ( ⋅) b.

u ( x, y ) = xf1 ( x ) + yf 2 ( y ) + f3 ( x − y ) + f 4 ( x + y ) , unde f k ( ⋅)

c.

( k = 1, 4 ) sunt funcŃii arbitrare

u ( x, y ) = ( x − y ) f1 ( x + y ) + ( x + y ) f 2 ( x − y ) + f3 ( x − y ) + f 4 ( x + y ) unde f k ( ⋅)

d.

( k = 1, 4 ) sunt funcŃii arbitrare

( k = 1, 4 ) sunt funcŃii arbitrare

u ( x, y ) = xf1 ( x ) + yf 2 ( y ) + ( x + y ) f3 ( x − y ) + ( x − y ) f 4 ( x + y ) unde f k ( ⋅)

( k = 1, 4 ) sunt funcŃii arbitrare

33. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + 2 − 3 =0, ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 a. b. c. d.

u y =0 = 3x 2 ,

u ( x, y ) = x 2 − 3 y 2 u ( x, y ) = 3x 2 − y 2

u ( x, y ) = x 2 + 3 y 2 u ( x, y ) = 3x 2 + y 2

13

∂u ∂y

=0 y =0

34. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:

(1 + x ) 2

a.

∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 − + y +x −y =0 , 1 ( ) 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y

u ( x, y ) =

(

u ( x, y ) =

(

u ( x, y ) =

(

u ( x, y ) =

)(

)

y + 1+ y2 ,

β=

x + 1 + x2 y + 1 + y2

)(

)

y + 1+ y2 ,

β=

x + 1 + x2 y + 1 + y2

1   α 2 − 1   β 2 − 1  1 β 1  z 2 − 1  ϕ1  ϕ0   ϕ0   −  dz 2   2α   2 β   2 ∫α z  2 z 

unde, α = x − 1 + x 2

d.

= ϕ1 ( x ) y =0

1   α 2 + 1   β 2 + 1  1 β 1  z 2 − 1  ϕ1  ϕ0   ϕ0   −  dz 2   2α   2 β   2 ∫α z  2 z 

unde, α = x + 1 + x 2

c.

∂u ∂y

1   α 2 − 1   β 2 − 1  1 β 1  z 2 − 1  ϕ1  ϕ0   ϕ0   −  dz 2   2α   2 β   2 ∫α z  2 z 

unde, α = x + 1 + x 2

b.

u y = 0 = ϕ0 ( x ) ,

)(

)

y + 1+ y2 ,

β=

x − 1 + x2 y + 1+ y2

1   α 2 + 1   β 2 + 1  1 β 1  z 2 − 1  ϕ1  ϕ0   ϕ0   −  dz 2   2α   2 β   2 ∫α z  2 z 

(

unde, α = x − 1 + x 2

)(

)

y + 1+ y2 ,

β=

x − 1 + x2 y + 1+ y2

35. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 + 2 cos x − sin x − sin x =0, 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y

u y =sin x = ϕ0 ( x ) ,

∂u ∂y

= ϕ1 ( x ) y =sin x

x + sin x + y

a.

1 1 u ( x, y ) = ϕ0 ( x + sin x + y ) + ϕ0 ( x − sin x − y )  + ϕ1 ( z ) dz 2 2 x −sin∫x − y

b.

1 1 u ( x, y ) = ϕ0 ( x − sin x + y ) + ϕ0 ( x + sin x − y )  + ϕ1 ( z ) dz 2 2 x +sin∫x − y

c.

u ( x, y ) =

1 1 ϕ0 ( x − cos x + y ) + ϕ0 ( x + cos x − y )  + ϕ1 ( z ) dz 2 2 x + cos∫ x − y

d.

u ( x, y ) =

1 1 ϕ0 ( x + cos x + y ) + ϕ0 ( x + cos x − y )  + ϕ1 ( z ) dz 2 2 x + cos∫ x − y

x −sin x + y

x − cos x + y

x + cos x + y

14

36. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + − + − = 0, 4 5 ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y a.

b.

c.

d.

∂u ∂y

u y =0 = f ( x ) ,

= F ( x) y =0

y x−  x − 5y z  5 z 5   6 ′ 6 u ( x, y ) = f ( x − y ) + e  ∫ e f ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz  6 x− y  x − y  y x+  x+ y  5 z 5 − x +6 y  5 6z  6 u ( x, y ) = f ( x + y ) + e  ∫ e f ′ ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz  6 x− y  x − y  x− y 6

y x−  x− y  5 z 5 − x +6 y  5 6z  6 u ( x, y ) = f ( x + y ) + e e f ′ ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz  ∫  6 x+ y  x + y  y x−  x− y  z 5 − 5 x +6 y  5 − 6z  6 u ( x, y ) = f ( x + y ) + e  ∫ e f ′ ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz  6 x+ y  x + y 

37. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:

x2

a.

b.

c.

d.

2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u 2 3 − xy − y =0, ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2

(

)

 3 1 u ( x, y ) = ϕ 0 x y + yϕ 0  4 4 

 3 1 u ( x, y ) = ϕ0 ( xy ) + yϕ 0  4 4 

(

) )

x y

(

= ϕ1 ( x ) y =1

)

x y

7 − x 3 3 4  + y x ∫ ϕ 0 x y x dx − x y ∫ ϕ1 ( x ) x dx y  16 4 x4 y x4 y

x y

−

7 4

x y

7 − x 3 2 3 2 4 xy x x dx x y x x dx + ϕ − ϕ 0( ) 1( )  ∫ ∫ y  16 4 4 4 x y x y

 3 1 u ( x, y ) = ϕ 0 x 4 y + yϕ 0  4 4 

(

∂u ∂y

u y =1 = ϕ0 ( x ) ,

 3 1 u ( x, y ) = ϕ 0 x 3 y + yϕ 0  4 4 

7 − 4

x y

x y

7 − x 3 4 3 34 3 4 + ϕ − ϕ x y x x dx x y x x dx ( ) ( )  ∫4 0 ∫4 1 y  16 4 x y x y

x y

7 − 4

x y

7 − x 3 4 3 34 3 x y ∫ ϕ 0 ( x ) x dx − x y ∫ ϕ1 ( x ) x 4 dx + y  16 4 x3 y x3 y

15

−

7 4

grele_ecuatii MULTIPLE CHOICE 1.

-Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , . Se integreaza aceste ecuatii si se gaseste . Daca ecuatia cu derivate partiale este de tip hiperbolic pe D atunci schimbarea de variabile pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei este

a. b.

Avem

c.

Avem ca functiile

si schimbarea de variabile potrivita este

si

sunt complex conjugate si schimbarea

de variabile potrivita este

d.

niciuna din variantele de mai sus

1

2.

-Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. cu

.

Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale

3.

a.

c.

b.

d.

-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile

. Notam

Atunci este adevarat ca

a.

c.

b.

d.

2

4.

-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile . Notam Atunci este adevarat ca

5.

a.

c.

b.

d.

-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile . Notam Atunci

contine (cu + sau - in fata) termenul

a.

c.

b.

d.

3

6.

-Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile . Notam Atunci

contine (cu + sau - in fata) termenul

7.

a.

c.

b.

d.

-Forma canonica a ecuatiei

este a.

c.

b.

d.

4

8.

-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

De aici rezulta ca a.

unde f este o functie ce admite primitive cel putin local. b.

unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.

c.

unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local. d.

unde f este functie ce admite primitive cel putin local.

5

9.

-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

De aici rezulta ca a.

unde f este functie de clasa

.

unde f este functie de clasa

.

unde f este functie de clasa

.

b.

c.

d.

unde f,g sunt functii de clasa

.

6

10.

-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

De aici rezulta ca a.

unde f este o functie ce admite primitive cel putin local. b.

unde f este functie ce admite primitive cel putin local.

c.

unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local. d.

unde f este functie ce admite primitive cel putin local.

7

11.

-Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

De aici rezulta ca a.

unde f este functie de clasa

.

b.

unde f,g sunt functii de clasa

.

c.

unde f este functie de clasa

.

d.

unde f,g sunt functii de clasa

.

8

12.

-Solutiile generale ale ecuatiei caracteristicilor asociate ecuatiei

unde c este o constanta , sunt a.

unde

numere reale

b.

unde

numere reale

unde

c.

unde

d.

13.

numere reale

numere reale

-Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare omogene cu derivate partiale de ordin 2 este

unde c este o constanta . Care este schimbarea de variabile potrivita pentru aducerea ecuatiei cu derivate partiale la forma canonica? a.

c.

b.

d.

9

14.

-Pentru rezolvarea ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare, cu constanta c=1 se aduce ecuatia la forma canonica si apoi se rezolva ecuatia care rezulta. Se obtine a.

unde f este functie de clasa

.

b.

unde f,g sunt functii de clasa

.

unde f,g sunt functii de clasa

.

unde f,g sunt functii de clasa

.

c.

d.

e.

Niciuna din variantele de mai sus

10

15.

-Se aplica metoda separarii variabilelor ecuatiei cu derivate partiale

(1)

Se cauta o solutie de forma

. Rezulta atunci ca X,T satisfac ecuatia a.

c.

b.

d.

11

16.

-Consideram urmatoarea ecuatie

(10)

cu conditia initiala

si conditiile pe frontiera

si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma

. Rezulta atunci ca exista un numar constant k asa ca X,T satisfac ecuatia a.

c.

b.

d.

12

Ecuatii TRUE/FALSE

F

1. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie :

Folosim schimbarea de variabila ξ =3y-x ; η =x+y.

F

2. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabila ξ=y-x; η =2x.

T

3. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabila ξ=2x-y; η =3x.

F

4. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=x+2y; η =2x-y.

F

5. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-y; η =3x.

1

T

6. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=x+y; η =x.

F

7. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η=3x-y.

T

8. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=x+3y; η =x.

F

9. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η =x-y.

F

10. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η =x-y.

2

T

11. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=-x+y; η =-x+2y.

3

2009 Ecuatii cu derivate partiale MULTIPLE CHOICE 1. Să se rezolve problema Cauchy pentru ecuaŃia:

∂ 2u ∂ 2u − =0 ∂t 2 ∂x 2 cu condiŃiile iniŃiale: ∂u u t =0 = x 2 , t =0 = 0 ∂t u ( x, t ) = t 2 + x 2 2. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:

∂ 2u ∂ 2u  2 −4 2 =0 ∂x  ∂t  u = 0, ∂u = x t =0  t = 0 ∂t

u ( x, t ) = xt 3. DeterminaŃi forma unei coarde la momentul t = 2 ∂ 2u 2 ∂ u − a şi de condiŃiile iniŃiale u ∂t 2 ∂x 2

u ( x, t ) =

t =0

π 2a

= sin x,

π

2a

4. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:

∂ 2u ∂ 2u  2 − 2 =0 ∂x  ∂t  u = x, ∂u = − x t =0  t =0 ∂t

u ( x, t ) = x (1 − t ) 5. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei: 2 ∂ 2u 2 ∂ u − a =0  2 ∂x 2  ∂t  u = 0, ∂u = cos x t =0  t =0 ∂t 1 u ( x, t ) = cos x sin at a

1

dacă mişcarea ei este definită de ecuaŃia: ∂u ∂t

t =0

= 1.

6. Să se găsească forma unei coarde la momentul t = π dacă mişcarea sa este definită de ecuaŃia:

∂ 2u ∂ 2u  2 − 2 =0 ∂x  ∂t  u = sin x, ∂u t =0 ∂t  u = − sin x

t =0

= cos x

7. Să se aducă la forma canonică indicând transformările de variabile:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u +2 − 3 2 + 2 + 6 = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 ∂ u 1 ∂u + = 0 , ξ = x + y , η = 3x − y ∂ξ∂η 2 ∂ξ 8. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u +4 +5 2 + +2 = 0 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y ∂ 2u ∂ 2u ∂u + + =0 , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η

ξ = 2x − y ,

η=x

9. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u − + 2 +α +β + cu = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y ∂ 2u ∂u ∂u + (α + β ) +β + cu = 0 , 2 ∂η ∂ξ ∂η

ξ = x+ y ,

η=y

10. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 − 2 cos x − 3 + sin x −y =0 ( ) 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ∂ u η − ξ  ∂u ∂u  + −  =0 , ∂ξ∂η 32  ∂ξ ∂η 

ξ = 2 x + sin x + y ,

η = 2 x - sin x - y

11. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u y + 2 xy + 2x +y = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ∂ 2 u ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + 2+ ⋅ + ⋅ =0, 2 ∂ξ ∂η ξ − η ∂ξ 2η ∂η 2

ξ = x2 − y 2 ,

η = x2

12. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u tg x 2 − 2 y tgx +y + tg 3 x = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x 2

∂ 2u 2ξ ∂u − ⋅ =0 , ∂η 2 η 2 ∂ξ

ξ = y sin x , 2

η=y

13. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 1 ∂u 2 + 2sin x − cos x + cos x + sin 2 x = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x 2 ∂y ∂ 2u 1 ξ + η ∂u + cos =0 , ∂ξ∂η 2 2 ∂η

ξ = x + y + cos x ,

η = x − y − cos x

14. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

x2

2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u + 2 xy − 3 y − 2 x + 4 y + 16 x 4u = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y

∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + ⋅ − +u = 0 , ∂ξ∂η 4η ∂ξ ξ ∂η

ξ = xy ,

η=

x3 y

15. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

(1 + x ) ∂∂xu + (1 + y ) ∂∂yu + x ∂∂ux + y ∂∂uy = 0. 2

2

2

2

2

∂ 2u ∂ 2u + =0, ∂ξ 2 ∂η 2

2

(

)

(

ξ = ln x + 1 + x 2 ,

η = ln y + 1 + y 2

)

16. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

sin 2 x

2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u − 2 y sin x + y = 0. ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2

∂ 2u 2ξ ∂u − 2 ⋅ =0 , 2 2 ∂η ξ + η ∂ξ

ξ = ytg

x , 2

η=y

17. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u cth x 2 − 2 y cthx +y + 2y = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂x ∂y 2

1  ∂u ∂ 2u ∂u  ξ + +η =0 , 2 2  ∂η 1 + η  ∂ξ ∂η 

ξ = y chx ,

η = shx

18. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând

transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2 u y 2 + 2 = 0. ∂x ∂y ecuaŃia este de tip eliptic dacă y > 0 ,iar, forma canonică este:

∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u + + =0, ∂ξ 2 ∂η 2 3η ∂η

ξ=x,

2 32 η= y 3

( y > 0)

19. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând

transformarea făcută:

∂ 2u ∂ 2u ∂u + y 2 +α =0 , 2 ∂x ∂y ∂y

unde α = constant

ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă y < 0 , iar forma canonică este: 1 −  α 2  ∂u 2 ∂u − ∂u  = 0 , ξ = x − 2 − y ( y < 0 ) −    ∂ξ∂η ξ − η  ∂ξ ∂η  η = x + 2 − y 3

20. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,

precizând transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2u y 2 +x 2 =0 ∂x ∂y ecuaŃia este de tip eliptic dacă x > 0 , y > 0, iar, forma canonică este: 3  2 x ξ = − ( )   3 η = ( − y ) 2 

∂ u ∂ u 1 ∂u 1 ∂u + + + =0 , ∂ξ 2 ∂η 2 3ξ ∂ξ 3η ∂η 2

2

21. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,

precizând transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2u x 2 + y 2 =0 ∂x ∂y ecuaŃia este de tip eliptic pe exteriorul cercului x 2 + y 2 = 1, iar forma canonică este:

1 − x2 − y 2 ∂ 2 u ∂ 2u y + = = = 0 , , ξ η ∂ξ 2 ∂η 2 x −1 x −1 22. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică,

precizând transformarea făcută: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u 1 − x2 − 2 xy − 1 + y − 2x − 2 y =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y pentru 1 − x 2 + y 2 > 0 ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:

(

)

(

)

∂ 2 u ∂ 2u − =0, ∂ξ 2 ∂η 2

ξ=

y , 1+ x

η=

1 − x2 + y 2 1+ x

23. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 − 2sin x − cos x − cos x =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y

u ( x, y ) = ϕ ( x + y − cos x ) +ψ ( x − y + cos x ) 24. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:

u ( x, y ) = ϕ

(

) (

x − y +ψ

x+ y

)

x, y > 0

25. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: 2 ∂ 2u ∂u 2 ∂ u x −y − 2y =0 2 2 ∂x ∂y ∂y 2

x  y ϕ ( x, y ) + ψ   y x 26. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: 2 2 ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u 2 ∂ u x − 2 xy +y +x +y =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y u ( x, y ) = ϕ ( x ⋅ y ) ln y +ψ ( x ⋅ y ) u ( x, y ) =

4

27. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: 2 ∂  2 ∂u  2 ∂ u x x =   ∂x  ∂x  ∂y 2

u ( x, y ) =

ϕ ( x − y ) +ψ ( x + y ) x

28. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:

( x − y)

∂ 2u ∂u ∂u − + =0 ∂x∂y ∂x ∂y

u ( x, y ) =

X ( x) − Y ( y) , unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare x− y

29. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:

∂ 2u ∂u ∂u + y + x + xyu = 0 ∂x∂y ∂x ∂y u ( x, y ) = e

−

x2 + y 2 2

ϕ ( x ) +ψ ( y ) 

30. Utizând schimbarea de variabile independente :

y z , η = , ζ = z− y x x să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u x 2 2 + 2 xy + y 2 2 + 2 yz + z 2 2 + 2 zx =0 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y∂z ∂z ∂z∂x  y z y z u ( x, y, z ) = ( z − y ) ϕ  ,  + ψ  ,  , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅)  x x  x x 31. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = a11 2 + 2a12 + a22 2 a11a22 = a122 ) ( 2 ∂t ∂x ∂x∂y ∂y

ξ=

(

) (

u ( x, y , t ) = ϕ x + a11t , y + a22t + ψ x − a11t , y − a22t unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.

)

32. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:

∂ 4u ∂ 4u ∂ 4u −2 2 2 + 4 = 0 ∂x 4 ∂x ∂y ∂y

u ( x, y ) = ( x − y ) f1 ( x + y ) + ( x + y ) f 2 ( x − y ) + f3 ( x − y ) + f 4 ( x + y ) unde f k ( ⋅)

( k = 1, 4) sunt funcŃii arbitrare

33. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + 2 − 3 =0 , ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2

u y =0 = 3x 2 ,

u ( x, y ) = 3x 2 + y 2 5

∂u ∂y

=0 y =0

34. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:

(1 + x ) 2

∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 − + y +x −y =0 , 1 ( ) 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y

u ( x, y ) =

u y = 0 = ϕ0 ( x ) ,

∂u ∂y

= ϕ1 ( x ) y =0

1   α 2 − 1   β 2 − 1  1 β 1  z 2 − 1  ϕ1  ϕ0   ϕ0   −  dz 2   2α   2 β   2 ∫α z  2 z 

(

unde, α = x + 1 + x 2

)(

)

y + 1+ y2 ,

β=

x + 1 + x2 y + 1+ y2

35. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 + 2 cos x − sin x − sin x =0, 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y u ( x, y ) =

u y =sin x = ϕ0 ( x ) ,

∂u ∂y

= ϕ1 ( x ) y = sin x

x −sin x + y

1 1 ϕ 0 ( x − sin x + y ) + ϕ 0 ( x + sin x − y )  + ϕ1 ( z ) dz 2 2 x +sin∫x − y

36. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + 4 − 5 + − = 0, ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y

u y =0 = f ( x ) ,

∂u ∂y

= F ( x) y =0

y x−  x− y  5 z 5 − x +6 y  5 6z  6 u ( x, y ) = f ( x + y ) + e e f ′ ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz  ∫  6 x+ y  x + y 

37. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic: 2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u x − 2 xy − 3y =0, ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 2

(

)

 3 1 u ( x, y ) = ϕ 0 x 3 y + yϕ 0  4 4 

u

y =1

= ϕ0 ( x ) , x y

∂u ∂y

= ϕ1 ( x ) y =1 x y

7 − x 3 4 3 34 3 4 + − ϕ ϕ x y x x dx x y x x dx 0( ) 1( )  ∫ ∫ y  16 4 3 3 x y x y

6

7 − 4