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ECUACIONES Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas Ir a la navegaciónIr a la búsqueda Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas Unidad:Álgebra Departamento: Departamento de matemática

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema lineal de ecuaciones formado por sólo dos ecuaciones que admite un tratamiento particularmente simple, junto con el caso trivial de una ecuación lineal con una única incógnita, es el caso más sencillo posible de sistemas de ecuaciones, y que permiten su resolución empleando técnicas básicas del álgebra cuando los coeficientes de la ecuación se encuentran sobre un cuerpo (sobre un anillo la solución no es tan sencilla).

Una infinidad de problemas pueden ser resueltos con un sistema de dos ecuaciones. Veamos las distintas formas en las que se pueden encontrar sus soluciones.

FunLin 03.svg

Sumario 1

Tipos de solución

1.1

Sistema compatible

1.1.1

Sistema compatible determinado

1.1.2

Sistema compatible indeterminado

1.2

Sistema incompatible

1.3

Análisis de tipos

2

Métodos de resolución

2.1

Método de reducción

2.2

Método de igualación

2.3

Método de sustitución

2.4

Regla de Cramer

3

Solución de un problema

4

Bibliografía

5

Enlaces externos

Tipos de solución Consideremos un sistema como el siguiente:

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcr}a\,x&+&b\,y&=&c\\d\,x&+&e\,y&=&f\end{array}}\right.} {\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcr}a\,x&+&b\,y&=&c\\d\,x&+&e\,y&=&f\end{array}}\right.}

En un sistema de ecuaciones se pueden dar los siguientes casos:

{\displaystyle {\mbox{Tipos de sistemas}}{\begin{cases}{\mbox{Compatible}}{\begin{cases}{\mbox{Determinado}}\\{\mbox{Indet erminado}}\end{cases}}\\{\mbox{Incompatible}}\end{cases}}} {\displaystyle {\mbox{Tipos de sistemas}}{\begin{cases}{\mbox{Compatible}}{\begin{cases}{\mbox{Determinado}}\\{\mbox{Indet erminado}}\end{cases}}\\{\mbox{Incompatible}}\end{cases}}} Sistema compatible Sí admite soluciones.

La compatibilidad de un sistema se determina a partir del determinante de la matriz 2x2 que constituye el sistema o equivalentemente de los cocientes de la primera ecuación y la segunda.

Sistema compatible determinado FunLin 04.svg Sí admite un número finito de soluciones; en el caso de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, si el sistema es determinado solo tendrá una solución. Su representación gráfica son dos rectas que se cortan en un punto; los valores de x e y de ese punto son la solución al sistema.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es compatible determinado cuando:

{\displaystyle {\cfrac {a}{d}}\neq {\cfrac {b}{e}}} {\displaystyle {\cfrac {a}{d}}\neq {\cfrac {b}{e}}} En el ejemplo de la figura, dado el sistema:

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcr}-x&+&2y&=&4\\x&+&y&=&5\end{array}}\right.} {\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcr}-x&+&2y&=&4\\x&+&y&=&5\end{array}}\right.} Podemos ver, que:

{\displaystyle {\cfrac {-1}{1}}\neq {\cfrac {2}{1}}} {\displaystyle {\cfrac {-1}{1}}\neq {\cfrac {2}{1}}} Lo que da lugar a que las dos rectas se corten en un punto, de valores:

{\displaystyle x=2\;} {\displaystyle x=2\;} {\displaystyle y=3\;} {\displaystyle y=3\;} siendo esta la solución del sistema.

Sistema compatible indeterminado FunLin 05.svg El sistema admite un número infinito de soluciones; su representación gráfica son dos rectas coincidentes. Las dos ecuaciones son equivalentes y una de ellas se puede considerar como redundante: cualquier punto de la recta es solución del sistema.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es indeterminado si:

{\displaystyle {\cfrac {a}{d}}={\cfrac {b}{e}}={\cfrac {c}{f}}} {\displaystyle {\cfrac {a}{d}}={\cfrac {b}{e}}={\cfrac {c}{f}}} Por ejemplo con el sistema:

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcr}-x&+&2y&=&4\\-3x&+&6y&=&12\end{array}}\right.} {\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcr}-x&+&2y&=&4\\-3x&+&6y&=&12\end{array}}\right.} Se puede ver:

{\displaystyle {\cfrac {-1}{-3}}={\cfrac {2}{6}}={\cfrac {4}{12}}} {\displaystyle {\cfrac {-1}{-3}}={\cfrac {2}{6}}={\cfrac {4}{12}}}

{\displaystyle {\begin{array}{r|l}x&y\\\hline -3&0,5\\-2&1\\1&1,5\\0&2\\1&2,5\\2&3\\\end{array}}} {\displaystyle {\begin{array}{r|l}x&y\\\hline -3&0,5\\2&1\\-1&1,5\\0&2\\1&2,5\\2&3\\\end{array}}} Con lo que podemos decir que la primera ecuación multiplicada por tres da la segunda ecuación, por lo tanto no son dos ecuaciones independientes, sino dos formas de expresar la misma ecuación.

Tomando una de las ecuaciones, por ejemplo la primera, tenemos:

{\displaystyle -x+2y=4\longrightarrow \quad y={\cfrac {x}{2}}+2} {\displaystyle x+2y=4\longrightarrow \quad y={\cfrac {x}{2}}+2} Tomando la x como variable independiente, y la y como variable dependiente, según la expresión anterior, asignando valores a x obtendremos el correspondiente de y, cada par (x, y), así calculado será una solución del sistema, pudiendo asignar a x cualquier valor real.

Sistema incompatible FunLin 08.svg El sistema no admite ninguna solución. En este caso, su representación gráfica son dos rectas paralelas y no tienen ningún punto en común porque no se cortan. El cumplimiento de una de las ecuaciones significa el incumplimiento de la otra y por lo tanto no tienen ninguna solución en común.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es incompatible si:

{\displaystyle {\cfrac {a}{d}}={\cfrac {b}{e}}\neq {\cfrac {c}{f}}} {\displaystyle {\cfrac {a}{d}}={\cfrac {b}{e}}\neq {\cfrac {c}{f}}} Por ejemplo, dado el sistema:

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcr}x&+&y&=&5\\x&+&y&=&1\end{array}}\right.} {\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcr}x&+&y&=&5\\x&+&y&=&1\end{array}}\right.} Se puede ver que:

{\displaystyle {\cfrac {1}{1}}={\cfrac {1}{1}}\neq {\cfrac {5}{1}}} {\displaystyle {\cfrac {1}{1}}={\cfrac {1}{1}}\neq {\cfrac {5}{1}}} La igualdad:

{\displaystyle {\cfrac {1}{1}}={\cfrac {1}{1}}} {\displaystyle {\cfrac {1}{1}}={\cfrac {1}{1}}} Determina la proporcionalidad entre las incógnitas, dos rectas paralelas, pero la diferente proporcionalidad con los términos independientes determina un corte con el eje y disiento, y dos rectas paralelas no se cortan en ningún punto. Dando lugar a la incompatibilidad de las soluciones.