Ecuaciones.docx

PRIMER EJERCICIO 3𝑒 𝑥 𝑇𝑎𝑛(𝑦) + (2 − 𝑒 𝑥 )𝑆𝑒𝑐 2 (𝑦)𝑑𝑦 = 0

Dividiendo por el factor 𝑇𝑎𝑛(𝑦) (2 − 𝑒 𝑥 ) obtenemos 3(𝑒 𝑥 ) 𝑆𝑒𝑐 2 (𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0 (2 − 𝑒 𝑥 ) 𝑇𝑎𝑛(𝑦) Y al integrar −3𝐿𝑛(2 − 𝑒 𝑥 ) + 𝐿𝑛(𝑇𝑎𝑛(𝑦)) = 𝑐

Simplificando 𝑇𝑎𝑛(𝑦) =𝐶 (2 − 𝑒 𝑥 )3

Observe que el factor Tan(y)( 2 − 𝑒 𝑥 ) es cero cuando x=Ln(2) y y=k𝜋 con k ∈ 𝑍 y al sustituirlas en la ecuación original se comprueba que son soluciones, pero se obtienen de la solución general tomando c=+∞ y c=0, respectivamente.

SEGUNDO EJERCICIO (𝑥𝑦 + 4𝑦 2 + 2𝑥 2 )𝑑𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑦 = 0 𝑠𝑖 y(1) =

√2 2

1. Se debe verificar si es una ecuación homogénea o no. Para eso se debe demostrar que M(x,y)=𝑡 ∝ (𝑀(𝑥, 𝑦)) N(x,y)=𝑡 ∝ (𝑁(𝑥, 𝑦))  M(x,y)=𝑡 ∝ (𝑀(𝑥, 𝑦))8𝑡𝑥 = txty+4(𝑡𝑦)2 + 2(𝑡𝑥)2 =𝑡 2 𝑥𝑦 + 4𝑡 2 𝑦 2 + 2𝑡 2 𝑥 2 =𝑡 2 (𝑥𝑦 + 4𝑦 2 + 2𝑥 2 )  N(x,y)=𝑡 ∝ (𝑁(𝑥, 𝑦)) =−𝑡 2 𝑥 2 =𝑡 2 (−𝑥 2 ) Se observa que el alfa es igual a dos, por lo tanto si es homogénea. Para seguir con el desarrollo se debe realizar una suposición 𝑦 = 𝑢𝑥 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑥 Reemplazamos en la ecuación original y y dy. (𝑥 2 𝑢 + 4(𝑢𝑥)2 + 2𝑥 2 )𝑑𝑥 − 𝑥 2 (𝑥𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑥) = 0 𝑥 2 ((𝑢 + 4𝑢2 + 2)𝑑𝑥 − (𝑥𝑑𝑢 + 𝑢𝑑𝑥)) = 0 Se organiza dx a un lado del paréntesis y du al otro. 𝑥 2 (𝑢 + 4𝑢2 + 2 − 𝑢)𝑑𝑥 = 𝑥 3 𝑑𝑢 (𝑥 2 /𝑥 3 )𝑑𝑥 = 𝑑𝑢/(4𝑢2 + 2)

Teniendo separadas la dx y du, se realiza una integral primero de dx y segundo de du, se realiza por partes. 𝑥2

1

 ∫ 3 𝑑𝑥=∫ 𝑑𝑥 = ln(𝑥) + 𝐶1 𝑥 𝑥

1

 ∫ 2 𝑑𝑢 4𝑢 +2 Para esta integral es necesario hacer una sustitución, 1∗𝑉 𝑢= √2 d𝑢 = ∫ 1

= ∫ 2 2 1

1 √2(

𝑣 2 ) +1 √2

1∗𝑑𝑉 √2

1 𝑑𝑢 4𝑢2 + 2

𝑑𝑣

1

= ∫ 2 𝑑𝑣 2 √2𝑣 +1 = =

1 2 √2 1 2 √2

1

∫ 𝑣 2+1 𝑑𝑣 𝑎𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛𝑔(𝑉) + 𝐶2

Teniendo en cuenta que V=√2*u 1 2√2

𝑎𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛𝑔(√2 ∗ u) + 𝐶2

Teniendo la integral se juntas igualdades, se vuelven a igualar. ln(𝑥) + 𝐶1=

1 2 √2

𝑎𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛𝑔(√2 ∗ u) + 𝐶2

Recordando que ux=y y u=y/x, se debe realizar un reemplazo ln(𝑥) + 𝐶1=

1 2√

𝑦

𝑎𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛𝑔 (√2 ∗ ) + 𝐶2 2 𝑥

Se debe buscar el despeje de Y. C3=2√2 𝐶1 𝑦

2√2 ln(𝑥) + 𝐶3=𝑎𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛𝑔 (√2 ∗ ) + 𝐶2 𝑥

C4=C3-C2 𝑦

2√2 ln(𝑥) + 𝐶4=𝑎𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛𝑔 (√2 ∗ ) 𝑥 Se aplica Tangente, en ambos lados de la igualdad, sabiendo que es reciproca con ArcTang.

𝑦

Tang(2√2 ln(𝑥) + 𝐶4)=(√2 ∗ ) 𝑥 Se sigue despejando √2.X.Tang(2√2 ln(𝑥)+𝐶4) =y 2

Se debe aplicar la condición inicial y(1)=

√2 2

√2.1.Tang(2√2 ln(1)+𝐶4) √2 = 2 2

Se recuerda que ln(1)=0 √2Tang(𝐶4) √2 = 2 2

Se debe despejar C4 Anulando valores idénticos, se obtiene Tang(C4)=1 Aplicando ArcTang a ambos lados de la igualdad. C4=ArcTang(1) 𝜋

C4=

4

La Solución será: 𝜋

√2.X.Tang(2√2 ln(𝑥)+ 4 ) 2

=y

TERCER EJERCICIO 𝑋𝑑𝑦 − 𝑌𝑑𝑥 + (𝑦 2 − 1)𝑑𝑦 = 0

Reorganizar la ecuación para separar dy y dx −𝑌𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦 2 − 1)𝑑𝑦 = 0

Para saber si una ecuación es exacta debe la derivada de M ser igual a la derivada de N. M=-Y

N= 𝑥 + 𝑦 2 − 1

𝑑𝑀 = −1 𝑑𝑦 𝑑𝑁 =1 𝑑𝑥 En este caso no es exacta por que las derivadas no son iguales, no cumple la condición.