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Ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo Isa´ıas Rojas Pe˜na* Departamento de F´ısica, Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa. 6 de marzo de 2019

Resumen En este apunte se presenta un breve resumen de las ideas principales de las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo.

1.

Introducci´on

En 1865 el f´ısico escoc´es James Clerk Maxwell (1831 - 1879) public´o “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field” en el que compilaba en un conjunto ecuaciones los resultados experimentales obtenidos desde finales del siglo XVIII, relacionados con fuerzas el´ectricas, magn´eticas, corrientes el´ectricas, etc., debidos a Coulomb, Gauss, Faraday y otros y ampli´o la ley de Amp`ere introduciendo los conceptos de corriente de desplazamiento, y unificando los campos el´ectricos y magn´eticos en un solo concepto: el campo electromagn´etico. Las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo ocupan el mismo estatus que las leyes de Newton. Maxwell no escribi´o sus ecuaciones en el lenguaje vectorial que usamos actualmente. Originalmente fueron veinte ecuaciones, que el mismo Maxwell redujo a trece. Luego en 1884, Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrup´o estas ecuaciones y las reformul´o en la notaci´on vectorial. Las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo son cuatro ecuaciones vectoriales: la ley de Gauss el´ectrica, la ley de Gauss magn´etica, la ley de Faraday y la ley de Amp`ere-Maxwell.

2.

Ley de Gauss

La ley de Gauss establece que el flujo de ciertos campos (cuya magnitud decrece como el inverso del cuadrado de la distancia a la fuente) a trav´es de una superficie cerrada es proporcional a la magnitud de las fuentes del campo que hay en el interior de dicha superficie. Para el caso del campo el´ectrico, la fuente es la carga el´ectrica, por lo que: Qneta enc. → − → − sup. cerr. Φ→ = E • dA = (1) − 0 E A Si Qneta enc. = 0 el flujo neto es cero, esto es, las l´ıneas de campo de fuentes externas que ingresan a trav´es de la superficie salen por otro lado de la superficie, en cambio si hay carga neta encerrada, estas son el origen o el t´ermino de las l´ıneas de campo, por lo que el flujo neto debe ser distinto de cero. Para el caso del campo magn´etico: → − → − sup. cerr. Φ→ = B • dA = 0 (2) − B

A

Esto se debe a que las fuentes de campo magn´etico (los imanes por ejemplo) siempre son dipolos, de forma que no es posible elegir una superficie gaussiana que encierre solo a un polo magn´etico (monopolo), siempre que se encierre *

El autor agradece que haga llegar sus comentarios y correcciones a [email protected]

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2

3

` LEY DE AMPERE

a un im´an, este tendr´a en su interior a ambos polos, por lo que las l´ıneas que salen de un polo a trav´es de la superficie, entrar´an por otra parte de la superficie al otro polo. De esta forma la ley de Gauss afirma que no existen los monopolos magn´eticos (en estricto rigor no se han observado). Es posible escribir la ley de Gauss de otra forma, para obtenerla escribiremos la carga en funci´on de la densidad volum´etrica de carga ρ: Z Qneta enc. =

ρ dV

(3)

V

Usando el teorema de la divergencia, tenemos que: Z → − → − → − sup. cerr. Φ→ = E • d A = ∇ • E dV − E

A

(4)

V

Donde la superficie gaussiana A limita al volumen V. Igualando ambas ecuaciones se obtiene: Qenc 0 E Z Z 1 → − ∇ • E dV = ρ dV 0 V V sup. cerr.

Φ→ −

=

Luego:

ρ → − ∇• E = (5) 0 Que es la forma diferencial de la ley de Gauss el´ectrica. Un procedimiento similar nos lleva a la forma diferencial de la ley de Gauss magn´etica: → − ∇• B =0 (6)

3.

Ley de Amp`ere

En 1819 el f´ısico y qu´ımico dan´es Hans Christian Ørsted (1777 - 1851) descubri´o que cuando ubicaba una br´ujula cerca de un alambre conductor, la aguja se desvia cuando pasa una corriente el´ectrica por el alambre. Oesterd (como se le llama en espa˜nol) public´o un art´ıculo titulado “Experimenta circa effectum conflictus electrici in acum magneticam”, en el cual muestra que la corriente el´ectrica es fuente de campo magn´etico, conectando dos fen´omenos que hab´ıan sido considerados sin ninguna relaci´on: la electricidad y el magnetismo. El art´ıculo de Oesterd inspir´o otros estudios Figura 1: Experimento de Ørsted que muestra que la corriente el´ectrica experimentales de campos magn´eticos en proxi- es fuente de campo magn´etico. midad de conductores. Los realizados por los f´ısicos franceses Jean Baptiste Biot (1774 - 1862) y Felix Savart (1791 - 1841) que resultaron en la ley de Biot-Savart, permite calcular el campo magn´etico creado en un punto del espacio por una corriente el´ectrica o por distribuciones de corrientes el´ectricas. Posteriormente, en 1831 Andr´e Marie Amp`ere (1775 - 1836) encontr´o una relaci´on u´ til entre las corrientes el´ectricas y los campos magn´eticos. Esta relaci´on se puede aplicar en situaciones de una alta simetr´ıa para encontrar el campo magn´etico con mayor facilidad que con la ley de Biot-Savart. La ley de Amp`ere afirma que la circulaci´on del campo magn´etico en una curva cerrada es proporcional a la corriente que atraviesa el a´ rea limitada por esa curva: I → − → − − = Λ→ B • d ` = µ0 IS (7) B c

3 Si usamos el teorema de Stokes podemos reescribir el lado izquierdo de la ecuaci´on 7 como un rotacional, y de esta forma escribir la ley de Amp`ere en forma diferencial: I "   → − → − → − → − − = Λ→ B • d ` = ∇ × B • dA (8) B c

A

V´alido para cualquier superficie A limitada por el contorno/lazo c. Por otra parte, el lado derecho de la ecuaci´on 7 lo podemos tambi´en escribir como una integral de a´ rea, ya que: " → − → − I= J • dA (9) A

→ − Donde J es el vector densidad de corriente (corriente por unidad de a´ rea). Igualando ambas ecuaciones: − = µ0 IS Λ→ B "  "  → − → − → − → − ∇ × B • d A = µ0 J • dA A

A

Se obtiene al forma diferencial de la ley de Amp`ere: → − → − ∇ × B = µ0 J

4.

(10)

Ley de Faraday

Michel Faraday (1791 - 1867) estudi´o el descubrimiento de Oersted y repiti´o todos sus experimentos. Faraday se convenci´o que si una corriente el´ectrica produce fuerzas magn´eticas, las fuerzas magn´eticas deben producir una corriente el´ectrica, lo que lo llev´o a realizar experimentos para corroborar esta hip´otesis. En 1830 Michel Faraday y Joseph Henry Figura 2: Los experimentos de Faraday consist´ıan en acercar y alejar un (1797 - 1878), casi simult´aneamente y de mane- im´an de una bobina (y viceversa) conectada a un galvan´ometro. ra independiente, descubrieron que una corriente el´ectrica podr´ıa inducirse en un circuito mediante un campo magn´etico variable. Los resultados de estos experimentos llevaron a la ley conocida como ley de inducci´on de Faraday. Esta ley se˜nala que la magnitud de la fuerza electromotriz (fem) inducida en un circuito es igual a la raz´on de cambio del flujo magn´etico a trav´es de la espira: ε=−

− dΦ→ B

(11) dt El signo (-) se debe a la ley de Lenz. La ley de Lenz afirma que la polaridad de la fem inducida es tal que el sentido de la corriente inducida (en caso que exista) produce un campo magn´etico cuyo flujo se opone a las variaciones del flujo magn´etico del campo inductor (ver figura 3).

Figura 3: La ley de Lenz afirma que la corriente inducida produce un campo magn´etico que se opone a la variaci´on del flujo magn´etico que la produjo.

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` LEY DE AMPERE-MAXWELL

La fem no es una fuerza, sino que una diferencia de potencial (se llama as´ı por razones hist´oricas), por lo que corresponde a la integral de l´ınea del campo el´ectrico alrededor de la espira: I → − → − ε = ∆ϕ = E •d` (12) c

Donde c representa la curva de la espira. De modo que la ley de Faraday puede escribirse en forma general: I − dΦ→ → − → − B − = Λ→ (13) E • d ` = − E dt c → − → − La ley de Faraday asegura una dependencia de los campos: ¡ B variable induce a E ! Este es el fundamento de los generadores el´ectricos, las inductancias y los transformadores. Obtengamos la forma diferencial de la ley de Faraday usando el teorema de Stokes: I "   → − → − → − → − − = Λ→ E • d ` = ∇ × E • dA E c

(14)

A

V´alido para cualquier superficie A limitada por el contorno/lazo c. Por otra parte, el lado derecho de la ecuaci´on 13 es tambi´en una integral de a´ rea: − dΦ→ B

d = dt dt

"

→ − → − B • dA =

"

A

A

→ − ∂B → − • dA ∂t

(15)

Igualando ambas ecuaciones: − =− Λ→ E

− dΦ→ B

dt "  " → −  ∂B → − → − → − • dA ∇ × E • dA = − A A ∂t Se obtiene la forma diferencial de la ley de Faraday: → − ∂B → − ∇× E =− ∂t

(16)

→ − Observe que si B = cte el campo el´ectrico es conservativo: → − ∇× E =0

(17)

Por lo que existe una funci´on escalar ϕ llamada potencial el´ectrico que cumple: → − E = −∇ϕ

(18)

→ − Este es el caso del campo electrost´atico. Si B es variable, entonces el campo el´ectrico NO es conservativo.

5.

Ley de Amp`ere-Maxwell Si se toma la divergencia de la forma diferencial de la ley de Amp`ere (Ecuaci´on 10), se obtiene:   → − → − ∇ • ∇ × B = µ0 ∇ • J

(19)

→ − Pero la divergencia de un rotor es nula para cualquier campo vectorial F :   → − ∇• ∇× F =0

(20)

5 de e´ sto se obtiene que el flujo de total de corriente que sale por cualquier superficie cerrada es siempre cero: → − ∇• J =0 (21) Consideremos la raz´on de cambio de la carga encerrada por una superficie cerrada: dQneta enc. IS = − dt sabiendo que: I Z → − → − IS = J • dA y Qneta enc. = ρ dV A

(22)

V

la ecuaci´on 22 se puede escribir de la forma: I

∂ρ dV A V ∂t Y aplicando el teorema de Gauss al lado izquierdo de esta ecuaci´on se obtiene: I Z → − → − → − J • dA = ∇ • J dV → − → − J • dA = −

A

Z

V

Obtieni´endo la llamada ecuaci´on de continuidad: ∂ρ → − ∇• J =− ∂t

(23)

→ − que expresa la conservaci´on de la carga. La ecuaci´on 23 nos muestra que en general ∇ • J , 0, lo que se contrapone → − a lo obtenido en la ecuaci´on 21. Para evitar que ∇ • J sea nula, Maxwell introduce, posiblemente inspirado por la ley → − de Faraday, un t´ermino adicional a la ley de Amp`ere que es proporcional a la derivada temporal de E : → − ∂E → − → − (24) ∇ × B = µ0 J + µ0 0 ∂t ¡Maxwell introdujo este t´ermino sin justificaci´on experimental alguna! Hay otra forma de justificar la existencia de un t´ermino adicional en la ley de Amp`ere: si consideramos un capacitor en carga o descarga y aplicamos la ley de Amp`ere a uno de los conductores que est´a conectado a una de las placas, se podr´ıan elegir infinitas superficies limitadas por una curva que encierre al alambre, consideremos dos de ellas: una superficie S1 elegida tal que sea atravesada por el alambre conductor, mientas que la otra, S2 elegida tal que pase entre ambas placas del capacitor sin que sea atravesada ni por el conductor ni la placa (Figura 4). Como las cargas llegan a la placa y no atraviesan la regi´on entre las placas, la ley de Amp`ere concluye que no existe corriente que atraviese el lazo Figura 4: Capacitor en carga. La corriente de conducci´on (iC ) atraviesa la que limita la superficie S2 , pero si existe corriente que atraviese el lazo cuando superficie plana, pero no la superficie se elige la superficie S1 . Esto claramente no puede ocurrir, ya que la naturaleza curva, pero al tener ambas superficies no puede depender de nuestra elecci´on de superficie. un contorno com´un, no se cumple la ley Usemos el ejemplo del capacitor en proceso de carga para obtener la forma de Amp`ere. integral de la ley de Amp`ere: los alambres conductores llevan cargas a una placa y extraen de la otra: la carga en las placas se incrementan. Dado que la carga instant´anea q (t) de las placas cambia, la magnitud del campo el´ectrico entre las placas tambi´en lo hace: σ q (t) E (t) = = 0 A0 La carga de la placa est´a dada por: − q (t) = 0 AE (t) = 0 Φ→ E De aqu´ı se tiene que la corriente es: I=

− dΦ→ dq (t) = 0 E ≡ I D dt dt

(25)

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5

` LEY DE AMPERE-MAXWELL

Maxwell comprendi´o que el flujo del campo el´ectrico variable a trav´es de la superficie limitada por la curva (que NO es atravesada por cargas), produce el equivalente a una corriente a trav´es de la superficie. Esta corriente, denominada corriente de desplazamiento (ID ), ser´ıa la que fluje entre las dos placas produciendo el mismo resultado que la corriente de conducci´on, induciendo un campo magn´etico (Figura 5). Por lo que la ley de Amp`ere generalizada en la forma integral es: − = µ0 IS + µ0 0 Λ→ B

− dΦ→ E

Figura 5: Campo magn´etico producido por

(26) la variaci´on del flujo del campo el´ectrico

dt

entre las placas.

De esta forma los campos el´ectricos variables producen campos magn´eticos. Esto no se descubri´o experimentalmente, porque el efecto hubiera sido m´ınimo en los experimentos de laboratorio realizados a principios del siglo XIX. ¿Podr´ıan haber otros t´erminos que agregar a la ley de Amp`ere y/o a la ley de Faraday? Para responder a esto usaremos un argumento heur´ıstico. Veamos como quedan las ecuaciones de Maxwell en el vac´ıo (Q = 0 e I = 0): sup. cerr.

Φ→ −

E sup. cerr. Φ→ − B

=0

(27)

=0

(28)

− =− Λ→ E

− dΦ→ B

dt − dΦ→ E − = µ 0 0 Λ→ B dt

(29) (30)

→ − → − ¡Las ecuaciones para E y B tienen la misma forma! ¿C´omo podremos modificar las leyes de Amp`ere y/o la ley de Faraday para hacerlas lo m´as sim´etricas posibles? Recordando que en su forma original las leyes son: − =− Λ→ E

− dΦ→ B

dt − = µ0 IS Λ→ B

Considerando que no se han observado monopolos magn´eticos, descartamos la posibilidad de agregar un t´ermino de corriente de monopolos en la ley de Faraday, por lo que la u´ nica modificaci´on posible en aras de la simetr´ıa de las leyes y descartando agregar otros t´erminos a las ecuaciones, es agregar un t´ermino proporcional a la derivada temporal del flujo del campo el´ectrico en la ley de Amp`ere. Al no existir una necesidad experimental/observacional del nuevo t´ermino, este debe “predecir” una serie de fen´omenos nuevos e inobservados. Si le interesa saber al respecto, vea por ejemplo la secci´on 18-2 de la F´ısica de Feynman.

7

6.

Resumen Las ecuaciones de Maxwell en forma integral son: Qneta enc. → − → − (Ley de Gauss el´ectrica) E • dA = 0 A → − → − B • dA = 0 (Ley de Gauss magn´etica) " IA d → − → − → − → − B • dA (Ley de Faraday) E •d` =− dt A " Ic d → − → − → − → − E • dA (Ley de Amp`ere-Maxwell) B • d ` = µ0 IS + µ0 0 dt A c

(31) (32) (33) (34)

Y en forma diferencial: ρ → − ∇• E = ε0 → − ∇• B =0 → − ∂B → − ∇× E =− ∂t

→ − ∂E → − → − ∇ × B = µ0 J + µ0 0 ∂t

7.

(Ley de Gauss el´ectrica)

(35)

(Ley de Gauss magn´etica)

(36)

(Ley de Faraday)

(37)

(Ley de Amp`ere-Maxwell)

(38)

Fuerza electromagn´etica La din´amica de una part´ıcula de carga Q est´a dada por la segunda ley de Newton y la fuerza de Lorentz: −p d→ → − F neta = dt  → − → − → → − − F EM = Q E + v × B

8.

(39) (40)

Bibliograf´ıa F´ısica Volumen II Electromagnetismo y materia. Feynman R., Leighton R. & Sans M. Addison-Wesley Iberoam´ericana 1987.