Practica dirigida Nro 1
1. Un vector v = (3,2) es el vector localizado del segmento AB cuyo punto medio es C = (3,1) .hallar las coordenadas de los extremos.
v =(3,2 )
AB = v a a
+ bX 2
X
+ by
y
2
2.
A +B =C =(3,1) 2
= (3,2) y
a bx −
= 3
= 1
a
y
X
→ A=
3 ,0 2
= 3
9 − , 2 rpt. b y =2 → B = 2
v =( 7,−6 )
es el vector localizado del segmento AB y C = (5/3,3) es el punto de trisección mas cercano de B de dicho segmento. Hallar las coordenadas de A Y B.
v =(7,−6 )
AB = v a
+ 2b X 3
X
a
+ 2by
y
A +2 B 5 =C =( ,3) 3 3 → A= (−3,7 ) a X =7 bx −
= (7,-6) Y
3
5 = 3
= 3
a bx −
X
= − 6 → B = (4,1) rpt.
a = OP , cuya componente horizontal es x y componente vertical es 6-x. hallar a si OB = (9 XY − Y ,Y ) , Y a = b . 3
3. Sea el vector
3
a = OP =
b = OB = a =b 3
x x
3
(x ,6 −x ) 3
(9 XY −Y
=9 xy −y
3
) (9 XY −Y
,Y =
6 −y =x
3
+y =9 xy
2 (x +y ) x +y
3
x
2
+y
2
2
,Y
)
x +y =6
=36 − 2 xy
−xy =9 xy 8 6(36 − 3 xy ) =9 xy +y =6 y 2 8 x = − 6y + 8 =0 y y y =4 x =2 ⇒ a =(8, 4 ) y =2 x =4 no cumple
3
4. Hallar un vector v cuya magnitud es igual a la del vector OB = (4,-3) y cuyo ángulo es la misma que la del vector OC = (1,3)
(4) +(−3) 2
v =OB = OB =(4,− 3)
(
2
OC =1,− 3
u u
OB =5
(
5 1,− 3 ⇒ v = 2
v
5. a) Si
)
oc
OC
=u v
(1,− 3 )
=
5 − 3 ⇒ v = 2 , 2
)
2 rpt .
y = 3 x Hallar dicho vector.
= (x, y) cuya norma es 6 y
v =( x, y ) v =6 6=
(
x
2
v = 3,3
(
+ 3
)
y = 3x
3x
)
2
x =3
rpt .
b) hallar un vector unitario en la dirección del vector en (3,−12 ) y punto terminal tiene ordenada 3. u = 17
de norma 17, que tiene su punto inicial
AB =v
A =(3,− 12 ) 17 =
v
B =(x,3)
AB =(x −3,15)
(x − 3) +(15) 2
2
⇒ v =(8,15 )
u
v
x −3 =8
(8,15)
=
17
6. El segmento de una recta limitada por los puntos
A = ( −1,8,3), B = ( 9,−7,−2 )
esta dividido en 5 partes iguales por los puntos C, D, E, F. Hallar las coordenadas de dichos puntos.
A
C
D
A =(− 1,8,3)
2 B +3 A 5 2(9) −3 = =3 5 24 −14 = =2 5 9 −4 = =1 5
D=
D
X
D
Y
D
Z
E
F
B
B =(9, − 7, − 2)
A +D 2 3 −1 C X = 2 =2 8 +2 C Y = 2 =5 3 +1 C Z = 2 =2 C =
C +B E = 2
E +B F = 2 11 +9 2 +9 11 29 2 = = = = EX F X 2 2 2 4 5 −7 −1 −7 E Y = 2 =−1 F Y = 2 =−4 2 −2 0 −2 E Z = 2 =0 F Z = 2 =−1 11 29 C =(2,5,2 ), D =(3, 2,1), E = ,− 1,0 , F = ,− 4, − 1 2 4
rpt .
AB =a , AD =b expresar en términos de MA, MB, MC , MD donde M es punto de intersección de las
7. En un paralelogramo ABCD se designa
a yb
los vectores diagonales.
B
C M
A
D AC =AB +AD
DB =AB −AD
AM +MC =a +b
2 MB =a −b a −b MB = 2 b −a MD = 2
2 MC =a +b a +b MC = 2 (a +b MA =− 2
)
8. Demostrar que los puntos
⇒ rpt.
A = ( 6,3,4 ) , B = ( 2,1,−2 ) , C = ( 4,−1,10 )
Son vértices de un triangulo.
A = ( 6,3,4 )
B = ( 2,1,−2 )
C = ( 4,−1,10 )
AB = AC
( 2 − 6,1 −3,−2 − 4 ) ( − 4,−2,−6 ) = ( − 2,−4,−6) B −A = C −A
( −4) ( −2) ( −6) 2
+
56 = 56
2
+
2
=
= ( 4 − 6,−1 − 3,10 − 4 )
( −2) ( −4) (6) 2
+
⇒es un triangulo isoseles
2
+
AB = AC
2
9. En el tetraedro OPQR que se muestra en la figura se a
c =OQ
sea M el punto medio de RQ . Hallar PM en función de a , b , c .
QR = c − b
pero
2n = QR c −b n= 2
QP + PM = QM
a − b + PM = QM = n c −b PM = −a +b 2 − 2a + b + c PM = rpt. 2
10. En la figura se tiene un paralelepipedo de Hallar
=OP y b =OQ
V .W V .W
OA =3
,
OB =4 , OC =5
donde :
W =(0,2,1)
V =a −2b +2c +d +e
y
A =(0,0,3) C =(0,5,0 )
B =( 4,0,0 ) D =( 4,5,0 )
A′ =(0,5,3) E =( 4,5,3)
a = ( 0,5,0 )
b = ( 0,5,3)
d = ( − 4,0,0 )
c = ( 4,0,−3)
e = ( − 4,0,−3)
V = ( 0,5,0 ) − 2( 0,5,3) + 2( 4,0,−3) + ( − 4,0,0 ) + ( − 4,0,−3) = ( 0,−5,−15) W = ( 0,2,1)
( 0,−5,−15)( 0,2,1)
V .W = V .W (5 =
(0) +( −1) +( −3) )( 2
− 2 2
2
2
2
2
2
0 + 2 +1 )
=
− 25 −1 = 25 2 2
rpt.
A = ( 6,−2,4 ), C = (8,−2,−10 ) F = ( − 6,4,2 ), H = (8,4,4 ) Hallar las demás coordenadas.
11. La figura es un cubo si
A = ( 6,−2,4 ) AC =
X
2
C = (8,−2,−10 ) +X
2
2
=
2
F = ( −6,4,2 )
(−14)
+0 +
2
H = (8,4,4 )
= 2 50 = X
2
X =10 AE = AE
u
AE
=10( AC ×FH )
i AC ×FH = 2
j 0
14
0
u
AE
k −14 = ( 0,−192,0 ) 2
= ( 0,−1,0 )
AE =10( 0,−1,0 ) = E − A = ( 0,−10,0 )
FB =10( 0,−1,0 ) = B − F = ( 0,−10,0 )
CG =10( 0,−1,0 ) =G −C = ( 0,−10,0 )
⇒u
AE
= ( 0,−192,0 ) / 192
⇒E = ( 6,−12,4 ) rpta
⇒B = ( −6,−6,2 ) rpta
⇒G = (8,−12,−10 )rpta
HD =10( 0,−1,0 ) = D − H = ( 0,−10,0 ) ⇒D = (8,−6,4 ) rpta
12. a) Si
A + B +C = 0
A.(2 B − A)
2
2. A B − A =?
A =6
B =8
C =12 .Hallar
A +B +C =0
A
2
lo × A, B, C
+ A B + AC =0 2
A B + B +BC =0 AC −BC −C 2 AB = C
2
2
=0 2
− A −B
2 AB − A = C
2
2
reemplasando
=8
b) Si
sumando
−2
A + B +C = 0
2
A
2
2
−B
rpta
A =6
B =3
C = 8 calcular
A B + BC + AC = ? A +B +C = 0
A
2
× A BC
lo
+ AB + AB = 0 2
A B + B +BC = 0 AC +BC + C
2
=0
sumando
2( A B +BC + AC ) = −36 −9 −64 −109 A B +BC + AC = rpta 2 c) Dado
A =11
B = 23
A
A −B =30 = 2 A B cos θ = A +B =
A
A
A +B = 2
2
2
2
A − B = 30
hallar
A +B =?
2
+ B −2 A B cos θ 2
+ B −30 →( I ) 2
2
+ B +2 A B cos θ
(11)
2
+2
(23)
2
→reemplasando( I ) 2
−30 =20
13. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados de un triangulo es paralelo al tercero e igual a la mitad de su longitud.
AC + AB AC AB = + 2 2 2 AB MA =− 2 AC AB AB AC MN = + − ⇒MN = l.q.q.d 2 2 2 2 un vector esparalelo si existeun a =k b ⇒son // 1 1 en este caso MN = AC donde k = ⇒son // l.q.q.d 2 2 AN =
14. Dado el paralelogramo ABCD
AB
2
+ BC
2
2
AC
2
= AB
2
+ AD
BD
2
= BC
2
+CD
AB =BC sumando
AB
2
15. Probar
∧
+BC
2
+ CD + DA =
AC
2
+2 AB AD cos θ
2
−2 BC CD cos θ
+ BD
2
AD =CD
2
+CD
u − v ≤ u −v
2
+DA
2
= AC
∀u ,v ∈R
n
SI ... − u ≤u ≤ u − v ≤v ≤ v
res tan do
−( u − v ) ≤u −v ≤( u − v ) u − v ≤ u −v
2
sacando
2
+BD
2
l .q.q.d
16. Probar que:
u, v
u −v
son ortogonales si o solo si
2
2
=u +v
2
Solución:
u −v
2
2
= u + 2u v + v
2
producto escalar = 0 ⇒ u
⇒ 2u v = 0 y
v
son ortogonales
17.Tres vectores están orientados como se muestra en la figura donde
A = 20
B = 40
C = 30 encuentre A, B, C