Ecuaciones-u-4.docx

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE COATZACOALCOS INGENIERÍA PETROLERA SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES UNIDAD 4

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: ECUACIONES DIFERENCIALES

NOMBRE DEL DOCENTE:

PERIODO: FEBRERO-JUNIO 2018

ING. ESCOBAR

SESMA

JUAN CARLOS

APELLIDO PATERNO

APELLIDO MATERNO

NOMBRE(S)

ALUMNOS: DECEANO HERNÁNDEZ DAISY JARED HERNÁNDEZ LÓPEZ CÉSAR MIJAÍL LÓPEZ VELÁZQUEZ JOSÉ ENRIQUE ROSAS DE LA CRUZ ANA CRISTINA SEGURA DOMÍNGUEZ ISAÍ MARTÍN SEMESTRE:

4°

GRUPO:

B

COATZACOALCOS, VER. 12 DE JUNIO DE 2018

ÍNDICE Pág. Introducción

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4. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales.

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4.1 Teoría preliminar

3

4.1.1 Sistemas de EDL

3

4.1.2 Sistemas de EDL homogéneos.

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4.1.3 Solución General y Solución Particular de

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Sistemas de E.D.L. 4.2 Métodos de solución para sistemas de EDL.

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4.2.1 Método de los operadores

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4.2.2 Utilizando Transformada de Laplace

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4.3 Aplicaciones.

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Ejemplos

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Conclusión

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Referencias bibliográficas

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INTRODUCCIÓN

Una ecuación diferencial es aquella que relaciona las variables independientes con la variable dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales juegan un papel fundamental tanto en la propia Matemática como en otras ciencias como la Física, Química, Economía, Biología, etc.

Si y = f(x) es una función dada, su derivada respecto de la variable independiente x se puede interpretar como el ritmo de cambio de la variable y respecto de la variable x. Por ejemplo, es bastante usual que, en un proceso económico, las variables involucradas y sus ritmos de variación estén relacionados entre sí por medio de los principios económicos que gobiernan dicho proceso. Al expresar tal conexión en términos matemáticos el resultado es, con frecuencia, una ecuación diferencial.

A diferencia de las ecuaciones algebraicas, en una ecuación diferencial la incógnita es una función (en ocasiones del tiempo), no un número. Una ecuación diferencial es aquella que relaciona una o varias variables independientes, una función de dichas variables (que es la función incógnita) y las derivadas de dicha función hasta un cierto orden.

La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales.

Como en la ecuación (x2 + y2) dx - 2xy dy =0, una derivada puede estar presente de manera implícita a través de diferenciales. La meta es de encontrar Métodos para resolver tales ecuaciones, esto es, determinar la función o funciones desconocidas que satisfagan una ecuación diferencial.

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4. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales. Hasta ahora hemos estudiado métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias consideradas individualmente. Sin embargo, en la práctica, es posible que se necesite usar más de una ecuación diferencial para describir matemáticamente una situación física. En la sección 5.4, se vio que las oscilaciones de un cuerpo sujeto a un resorte podrían describirse mediante una ecuación relativamente simple, si uniéramos dos de dichos resortes, entonces necesitaríamos dos ecuaciones diferenciales reunidas, es decir simultaneas, para describir el movimiento.

4.1 Teoría preliminar

Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas comprenden dos o más ecuaciones que contienen las derivadas de dos o más funciones incógnitas de una sola variable independiente. Si x, y y z son funciones de la variable t.

4.1.1 Sistemas de EDL

Los problemas de la vida real pueden representarse de mejor manera con la ayuda de múltiples variables. Por ejemplo, piensa en el conteo de la población representado con la ayuda de una sola variable. Pero, esta depende del conteo de la población de depredadores, así como también de las condiciones climáticas y la disponibilidad de alimentos. Todas estas condiciones en sí mismas forman una ecuación diferente definida en una variable separada.

Por lo tanto, para estudiar las relaciones complejas, requerimos de varias ecuaciones diferentes para definir diferentes variables. Tal sistema es el sistema de ecuaciones diferenciales. Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se puede denotar como:

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Aquí xi (t) es una variable en términos de tiempo y el valor de i = 1, 2, 3, …, n. También A es una matriz que contiene todos los términos constantes, como [ai,j].

Dado que los coeficientes de la matriz constante A no están definidos explícitamente en términos de tiempo, por lo tanto, un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es llamado a veces autónomo. La notación convencional general para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales es, dx/ dt = f(t, x, y) dy/ dt = g(t, x, y)

El sistema anterior de ecuaciones diferenciales tendrá numerosas funciones para satisfacerla. Mediante la modificación de la variable tiempo obtendremos un conjunto de puntos que se encuentran en el plano de dos dimensiones x-y, los cuales se denominan trayectoria. La velocidad con respecto a esta trayectoria, en algún tiempo t es,

= (dx/ dt, dy/ dt)

Un ejemplo de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es el siguiente: dx1/ dt = −4×1 + 2×2 dx2/ dt = 0×1 + −2×2

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Con el fin de determinar el conjunto completo de fórmulas para la variable dependiente de tiempo xi(t) para todos los valores de i, es necesario obtener primero los vectores propios y valores propios de la matriz constante A. En el caso que la matriz constante A posea un conjunto de valores propios repetidos para sus componentes, sería necesario un vector propio generalizado.

Este es t, toma en cuenta que los vectores propios y valores propios de la matriz constante puede ser un subconjunto de los números reales o también un subconjunto de los números complejos.

La representación de la matriz del problema anterior es la siguiente, dx/ dt = A * x En este caso, A es la matriz constante que puede ser representada como:

A=

Y x(t)T es un vector de variables definidas en términos de tiempo, el cual es representado como:

x(t)T =

dx/ dt =

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En caso de que el vector propio de la matriz constante A sea un subconjunto de los números reales para este ejemplo, podemos escribir:

A = S * D * S-1

Aquí D es la matriz diagonal de la matriz de vectores propios de la matriz constante A y S es la matriz que contiene los vectores propios en forma de columnas, en el mismo orden como los valores propios se escriben en la matriz diagonal D.

En consecuencia, la forma de la matriz del ejemplo anterior se puede escribir como:

dx/ dt = A * x dx1/ dt dx2/ dt = −4 2 0 −4 * x1 x2

4.1.2 Sistemas de EDL homogéneos.

Sabemos que una ecuación diferencial lineal es de la forma:

Si esta misma ecuación se transforma en la forma,

Obtenemos una ecuación diferencial lineal homogénea. Esta se da cuando la función conocida no está presente en la ecuación diferencial lineal, entonces se le llama una ecuación diferencial homogénea. Y si tenemos una gran cantidad de tales ecuaciones juntas, de manera tal que dependen unas de las otras, y definen colectivamente un

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problema común, entonces se les llama un sistema de ecuaciones diferenciales lineal es homogéneo.

Tales sistemas pueden ser resueltos de manera eficiente con la ayuda de las matrices, las cuales son denominadas matriz fundamental. Sean X1, X2 … X3 las soluciones de la matriz fundamental del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales homogéneas, entonces puede representarse de manera condensada como:

En la ecuación anterior, las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales están definidas en algún intervalo, digamos I y la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales es:

En la ecuación anterior, los términos que se mantienen dentro de los corchetes son los vectores fila, donde X1 = [xi1j], X2 = [xi2j] …Xn = [xinj]. Estas son las soluciones n fundamentales del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas para el intervalo dado I. Entonces tenemos que la matriz fundamental para el sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales para el intervalo dado como I es:

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Los pasos para resolver un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales son los siguientes:

1.Construye la matriz de coeficientes para las ecuaciones del sistema dado.

2.Determina los valores propios de esta matriz de coeficientes del sistema dado de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

3.Ahora, busca el vector propio inicial de este conjunto de valores propios y nómbralo como EV1.

4.Determina la primera ecuación de este vector en términos de constantes k1, k2. 5.Después de esto, determina el siguiente conjunto de valores propios, sus vectores propios correspondientes y su ecuación.

6.Anota la solución general para las ecuaciones en términos de constantes k1, k2.

7.Por último, deriva la solución general para el sistema de ecuaciones.

Aunque el procedimiento para solucionar el sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneo es bastante fácil, se da un ejemplo ilustrativo que te ayudará a hacer los conceptos más claros.

dx/ dt = 2x + 3y dy/ dt = 2x + y

Primero, escribamos la matriz constante para el sistema de ecuaciones diferenciales homogéneas dado. Esto es:

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La matriz columna de los valores propios construida a partir de esta matriz de coeficientes es la siguiente:

Esto nos da 1 = −1 y 2 = 4. A partir de estos valores propios el vector propio asociado se construye como:

Colocando el valor de 1 = −1 en lugar, el valor exacto deEV1se obtiene como:

El determinante de este se obtiene como, | EV1 | = 0.

La ecuación asociada de este vector propio es, 3k1 + 3k2 = 0 2k1 + 2k2 = 0 De manera similar, la otra ecuación para el segundo vector propio es,

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-2k1 + 3k2 = 0 2k1 - 3k2 = 0

Cuando t = 0, c1 = 1 y c2 = 1. X1 = e-t K1

Del mismo modo:

Esto nos da la solución general:

4.1.3 Solución General y Solución Particular de Sistemas de E.D.L. Que el espacio de soluciones tiene al menos dimensión n se sigue del teorema de existencia y unicidad que garantiza la existencia de las n soluciones linealmente independientes correspondientes a las condiciones iniciales:

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O cualesquiera otras que hagan que el wronskiano en 𝑡0 no sea nulo. Existen, por tanto, sistemas fundamentales de soluciones, que están formados por definición por n soluciones linealmente independientes. Que un sistema fundamental es una base del espacio de soluciones, que tiene, por tanto, dimensión n, se sigue del hecho de que toda solución x de la homogénea, Lx = 0, puede expresarse como combinación lineal de las del sistema fundamental con coeficientes constantes que pueden calcularse resolviendo en un punto 𝑡0 el sistema.

Que tiene solución única porque su determinante, que es el wronskiano del sistema fundamental en 𝑡0 es distinto de cero. La unicidad de la solución correspondiente a condiciones iniciales en 𝑡0 garantiza que:

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Con los coeficientes elegidos en 𝑡0 Por tanto, la solución general del sistema homogéneo que incluye todas las soluciones es una combinación con coeficientes constantes arbitrarios de vectores de un conjunto fundamental X=

4.2 Métodos de solución para sistemas de EDL Un sistema de diferenciales lineales puede resolver las ecuaciones. Al igual que existen varias técnicas para resolver una ecuación diferencial lineal, también las hay para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Como el método de eliminación de Gauss, método separable y reducible etc. Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales representado como:

Entonces, la representación de la matriz equivalente de este sistema de ecuaciones diferenciales lineales será:

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4.2.1 Método de los operadores Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas tienen que ver con dos o más ecuaciones que contienen derivadas de dos o más variables dependientes (las funciones desconocidas) respecto a una sola variable independiente. El método de eliminación sistemática para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes se basa en el principio algebraico de eliminación de variables. Veremos que la operación análoga de multiplicar una ecuación algebraica por una constante es operar en una EDO con cierta combinación de derivadas. Eliminación sistemática La eliminación de una incógnita en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se facilita al rescribir cada ecuación del sistema en notación de operador diferencial.

Donde las

son constantes, puede escribirse como

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Se factoriza en operadores diferenciales de menor orden, entonces los factores conmutan. Ahora, por ejemplo, para rescribir el sistema:

En términos del operador D, primero se escriben los términos con variables dependientes en un miembro y se agrupan las mismas variables.

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones suficientemente derivables

etcétera, que satisface cada

ecuación del sistema en algún intervalo común I.

MÉTODO DE SOLUCIÓN Considere el sistema simple de ecuaciones lineales de primer orden

Operando con D la primera ecuación de (1) en tanto que la segunda se multiplica por – 3 y después se suma para eliminar y del sistema, se obtiene

raíces

de la ecuación auxiliar de la última ED son se obtiene

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Multiplicando la primera ecuación en (1) por 2 mientras que se opera la segunda con D y después

restando,

se

obtiene

la

ecuación

diferencial

para

Inmediatamente se tiene que:

Ahora (2) y (3) no satisfacen el sistema (1) para toda elección de porque el sistema en sí pone una restricción al número de parámetros en una solución que se puede elegir en forma arbitraria. Para ver esto, observe que sustituyendo x(t) y y(t) en la primera ecuación del sistema original (1), después de simplificar, se obtiene:

Puesto que la última expresión es cero para todos los valores de t, debemos tener Estas dos ecuaciones nos permiten escribir 𝑐3 como un múltiplo de 𝑐1 y 𝑐4 como un múltiplo de 𝑐2:

Por tanto se concluye que una solución del sistema debe ser:

Se recomienda sustituir (2) y (3) en la segunda ecuación de (1) y comprobar que se cumple la misma relación (4) entre las constantes.

4.2.2 Utilizando Transformada de Laplace Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones lineales de la forma:

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Donde A es una matriz cuadrada de n filas por n columnas con coeficientes donde

reales

son

funciones

dadas

es la función vectorial incógnita. Supongamos Además las condiciones iniciales:

Donde

números reales para

sea

Entonces, tomando la Transformada de Laplace en (2.15) y teniendo en cuenta (2.16) obtenemos que

De donde, si

denota la matriz identidad,

Y de aquí

Una vez calculada de este modo

obtendremos y tomando la Transformada

inversa.

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Por ejemplo, consideremos el sistema

Junto con las condiciones iniciales

Entonces la solución del problema viene dada por:

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4.3 Aplicaciones. Circuitos eléctricos con varias ramas. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales también aparecen cuando consideramos circuitos eléctricos con varias ramas, como muestra la siguiente figura:

En este caso debemos aplicar las leyes de Kirchoff para obtener las ecuaciones. La primera de ellas afirma que en cada nudo o punto de ramificación del circuito, la suma de las intensidades entrantes es igual a la suma de las intensidades salientes. En el circuito de la figura esto nos proporciona la ecuación

En segundo lugar, consideramos los dos subcircuitos que hay y fijamos un sentido de la corriente, como muestra la siguiente figura

Tomamos el primer subcircuito por separado, que es

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Para este subcircuito tenemos la ecuación

Donde

Donde q1 es la carga que da lugar a la intensidad I1,

Teniendo en cuenta que las intensidades I1 e I2 llevan el sentido que nosotros hemos prefijado, y tomando la derivada primera, tenemos la ecuación

Tomamos ahora el segundo subcircuito que muestra la figura

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Cuya ecuación será

Teniendo en cuenta que ahora I2 va en sentido contrario a prefijado por nosotros al principio y de ahí el signo negativo. Procediendo como antes obtenemos la ecuación

y combinando las tres ecuaciones tenemos el sistema

Eliminando I1 tenemos las dos ecuaciones

e introduciendo la variable

, el sistema queda

y tenemos el sistema en la forma Despejamos

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que en forma matricial es

Donde

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ejemplos Sistema de ecuaciones diferenciales lineales 1) 3dydx+12y=43dydx+12y=4 dydx+4y=43dydx+4y=43 e∫dx=exe∫⁡dx=ex yc=Ce−4xyc=Ce−4x yp=1e4x∫e4x(43)dxyp=1e4x∫⁡e4x(43)dx =13e4x∫e4x(4)dx=13e4x∫⁡e4x(4)dx =13e4xe4x=13=13e4xe4x=13 Por tanto: y=Ce−4x+13y=Ce−4x+13 2) y‘+3x2y=x2y‘+3x2y=x2 dydx+3x2y=x2dydx+3x2y=x2 e3∫x2dx=ex3e3∫⁡x2dx=ex3 yc=Ce−x3yc=Ce−x3 yp=1ex3∫ex3(x2)dxyp=1ex3∫⁡ex3(x2)dx =1ex313∫ex3(3)(x2)dx=1ex313∫⁡ex3(3)(x2)dx =13ex3ex3=13=13ex3ex3=13 Por tanto: y=Ce−x3+13

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Sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogenea 1)

2)

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Solución general y solución particular de sistemas de ecuación diferencial lineal

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Método de los operadores

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Transformada de Laplace

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CONCLUSIÓN Cuando se estudia matemáticamente una situación de la realidad, el modelo que se obtiene suele tener un carácter no lineal, siendo esto lo que le confiere, en la mayoría de los casos, una gran dificultad. Uno de los procedimientos más utilizados dentro de la matemática, y de la ciencia en general, cuando se aborda un problema difícil, es considerar un problema más sencillo que sea, en algún sentido, una buena aproximación del anterior.

Una de las formas más usuales de simplificar el problema es linealizarlo. Si se quiere estudiar un problema no lineal, el primer paso obligado es estudiar el problema lineal asociado de la manera más completa posible para poder analizar así que ocurrirá en el caso no lineal. El estudio de los sistemas lineales no es difícil y en numerosas ocasiones se pueden obtener resultados concluyentes pues la estructura algebraica de las soluciones es sencilla y a veces se puede dar una descripción de esta en términos de funciones elementales.

Un sistema de ecuaciones diferenciales de orden superior puede transformarse fácilmente en un sistema de primer orden sin más que añadir más variables: si el sistema de orden superior es lineal también lo es el de primer orden. Por esta razón, sin pérdida de generalidad, es posible estudiar únicamente los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Un sistema de k ecuaciones diferenciales de orden superior n expresado de la forma f(x), y(x), y´(x), y´´(x),…. Yn (x)= 0 se denomina lineal cuando la función vectorial f es una función lineal con respecto a la función y(x) y a todas sus derivadas. Los problemas de la vida real pueden representarse de mejor manera con la ayuda de múltiples variables.

Por ejemplo, el conteo de la población de depredadores, así como también de las condiciones climáticas y la disponibilidad de alimentos. Todas estas condiciones en sí mismas forman una ecuación diferente definida en una variable separada.

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Por lo tanto, para estudiar las relaciones complejas, requerimos de varias ecuaciones diferentes para definir diferentes variables. Tal sistema es el sistema de ecuaciones diferenciales.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 

Carmona, Isabel. (1992). Ecuaciones Diferenciales. Alhambra



Dennis G. Zill y Warren S. Wright Dennis G. y (2015). Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores a la frontera, Octava Edición.

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Zill, Dennis G. (2006). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, Octava Edición. Brooks/Cole Publishing Co. ITP

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Simmons, F. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y Notas Históricas.



Mac Graw–Hill, 1993.

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