Ecuaciones Lineales O De Primer Grado

Instituto de Nivel Terciario Nº 6029- Tartagal Carrera: Tecnicatura Superior en Administración Pública con Orientación al Desarrollo Local Asignatura: Matemática

  ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO  Llamamos  ecuación  a  toda  igualdad  entre  expresiones  numéricas,  tal  que  por  lo  menos  una  de  ellas  dichas expresiones es desconocida (variable) y que se verifica o cumple para determinados valores que  puede tomar la misma.  3

Ejemplo: 2

19,  sólo se verifica cuando 

8 

Tipos de ecuaciones  Las ecuaciones pueden ser de diferentes tipos, según sean las expresiones que intervengan en ellas, su  grado y la cantidad de incógnitas.  Ejemplos:  •

2

3

•

2

5  es una ecuación de 1º grado con dos incógnitas 

•

5

19  es una ecuación de 1º grado con una incógnita 

7 es una ecuación de 2º grado con una incógnita 

•

 es una ecuación trigonométrica con una incógnita 

• •

2 es una ecuación logarítmica.  2,5

5 es una ecuación exponencial 

En el siguiente cuadro podemos ver una clasificación de las igualdades algebraicas teniendo en cuenta  si se verifica para algunos ó todos los números reales. A continuación nos dedicaremos a estudiar las  ecuaciones lineales.   

Identidad  

Igualdad algebraica     

Ecuación  

Se verifica para cualquier 

Ejemplo: 

valor dado a sus letras. 

 

 

 

 

Se verifica para algunos 

Ejemplo: 

Las letras que aparecen en la 

valores dados a sus letras. 

2

3

5  ecuación se llaman incógnitas  

Recordemos:  Las  soluciones  de  una  ecuación  son  los  valores  que  al  sustituirlos  en  las  incógnitas  hacen  cierta  la  igualdad. 

Prof. Silvia Alejandra Córdova                                                                                                                                               1   

 

ECUACION LINEAL  Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas de  exponente 1.    2x + 3 = 5  3x – x = 2x 

Ejemplos  de ecuaciones lineales o de primer grado con una incógnita. 

x + 5 = 5  x + y = 24 

Ejemplo  de ecuación con dos incógnita 

Resolvamos las siguientes ecuaciones  a)  Se puede resolver “despejando”  2

5

3 

5

3 2

 

1  Esta ecuación tiene una sola solución x=1. Una vez resuelta la ecuación es conveniente verificar que el  valor  obtenido  es  la  solución  de  la  ecuación.  Para  ello,  debemos  sustituir  el  valor  hallado  en  la  ecuación.  Verificación:  2

3

5

2 .1

3

5

2

3 5

5 5

b)  Es una ecuación que tiene infinitas soluciones, pues se verifica para infinitas parejas de números. Por  ejemplo:  1, 5, 24 ,

23  

 

29    0  

 

1

23

5

29

24

0

24  24  24 

 

Prof. Silvia Alejandra Córdova                                                                                                                                               2   

 

c) 

– 3 –

2

2

2

2 –2

0

0.

0 

En  este  ejemplo  observamos  que  hemos  obtenido  0.x  =  0  ,  pensemos  entonces  que  numero  al  multiplicarlo por cero me da como resultado 0, cualquier número comprueba esta igualdad por lo que  decimos que tiene infinitas soluciones  d) 

5

  5 5

–

5

0.

En  este  ejemplo  obtenemos  5  =  0.x  ¿Existe  algún  número  que  al  multiplicarlo  por  0  me  de  cómo  resultado 5?, no existe, por lo tanto la igualdad no tiene solución 

Actividades:  Resuelve las siguientes ecuaciones:  1

1)  

5 5

3)  

9)  

1

6

2

4 2 4

9

 

2)  

15 

4)  

2

6)  

2

3 5

3

5)   7)  

3

2 3

5 2 4 2 5

 

3

2

1

3 2

5  

8)   10)

 

4

6

4 25

18 1 4

6 1 2

6  

5 3

5 3

578 

3  1   2 45

 

  Lenguaje coloquial y simbólico  Las  ecuaciones  (expresiones  algebraicas)  suelen  ser  una  herramienta  muy  importante  a  la  hora  de  sintetizar  o  modelizar  mediante  una  fórmula  el  comportamiento  de  variables  interdependientes.  En 

Prof. Silvia Alejandra Córdova                                                                                                                                               3   

 

este sentido por ejemplo en física permite relacionar la fuerza que se realiza al empujar un cuerpo con  la  velocidad  que  adquiere  el  mismo,  según  la  cantidad  de  masa  del  que  esté  constituido.  Otro  caso  sería  cuando  queremos  obtener  una  fórmula  que  nos  permita  calcular  cuanto  será  el  costo  por  un  servicio  de  remís,  sabiendo  que  este  esta  en  función  de  la  tarifa  mínima  y  la  cantidad  de  cuadras  recorridas en total, Etc.  Ahora  trataremos  de  resolver  problemas  utilizando  ecuaciones  lineales.  Para  ello  podemos  tener  en  cuenta los siguientes pasos:  leer comprensivamente el enunciado;  traducir al lenguaje simbólico;  armar la expresión de la ecuación correspondiente;  resolver la ecuación;   verificar el resultado obtenido.  Ahora veremos cómo resolver un problema paso a paso.  En un espectáculo el mago realiza el siguiente truco.  _ Piensa un número...  _ Súmale 15 al número pensado...  _ Multiplica por 3 el resultado...  _ Al resultado réstale 9...  _ Divide por 3...  _ Resta 8...  _ Dime cuál es el resultado obtenido y te diré que número pensaste. El espectador dice:  _ 32  Instantáneamente el mago afirma con solvencia:  _ El número que pensaste fue el 28.  ¿Cómo lo hizo?  Veamos como se traduce del lenguaje coloquial al simbólico entonces:  Piensa un número 

 

x 

Súmale 15 

 

x + 15 

Multiplica por 3 el resultado   

3(x + 15) 

Al resultado réstale 9 

3(x + 15) ‐ 9 

 

Prof. Silvia Alejandra Córdova                                                                                                                                               4   

 

Divide por 3 

 

(3(x +15) ‐ 9):3 

Resta 9 

 

(3(x + 15) ‐ 9):3 ‐ 9 

El espectador dice 

 

32 

Entonces la ecuación encontrada es: 

: –

 

Ahora solo nos queda resolver la ecuación y verificar la solución, tarea que dejo para que practiquen  ustedes.  Veamos  el  siguiente  cuadro  que  muestra  algunos  ejemplos  clásicos  de  cómo  pasar  del  lenguaje  coloquial al lenguaje simbólico que pueden aparecer en algunos problemas que involucren ecuaciones  lineales.  Lenguaje coloquial 

Lenguaje simbólico  1  

La suma de un número y su consecutivo  2  

Un número par  El siguiente de un número par 

2 1

La suma de tres números consecutivos  La mitad de un número 

2   2

La tercera parte de la diferencia entre dos números  El perímetro de un rectángulo 

1 

   

3 2

2

Actividades:  1)

Expresar en forma simbólica. 

” Al sumar un número a, con su opuesto, se obtiene cero.  ” Dado un número, multiplicarlo por 2, sumar 4, multiplicar por 5, dividir por 10 y restar 2.  ” El doble de un número a  ” Un número m, mas su doble, más su mitad. 

Prof. Silvia Alejandra Córdova                                                                                                                                               5   

 

” El triple del resultado de sumar cinco a un número  ” El siguiente de un número b  ” La mitad del siguiente de un número b.  ” El anterior de un número b,  ” La edad de un hombre dentro de 20 años.  ” La edad que tenía hace 10 años.  2)

Expresar en lenguaje coloquial   Lenguaje simbólico   Lenguaje coloquial     A= b . h 

 

   a2 – b2 > 6 

 

(m + n )2= 9 

 

   3.(x+5) = y 

 

| |

 

2    

Ejercitación adicional  1)

Resolver y verificar las siguientes ecuaciones  3 . 4

a) c)

3

–2

1 2

5

2

5

3

1 3

e) 2)

3

7

3– 2 10 2

9 2

3   4

 

2

b)

3   d)  

3

3 3 1

3

6 0,75

1 2 3

1

3 

2 1 3

 

 

Daniela y Víctor son hermanos y sus edades actuales son d y v respectivamente. Dentro de 5 

años, la edad de Víctor será una vez y media la edad de su hermana. ¿Cuál o cuáles de las siguientes  expresiones permite calcular la edad de Daniela conociendo la de Víctor?  a)

d= (8v + 2,5 ) : 1,5      

b)

d= (v+5): 1,5          

c)

d= 1,5 (v+5)           

d)

d= (v‐2.5):1,5 

Prof. Silvia Alejandra Córdova                                                                                                                                               6   

 

3)

Un automóvil consume ¼ de combustible en un viaje, luego 2/3 del resto en otro viaje y aún  le 

quedan 15 litros en el tanque. ¿Cuál es la capacidad total del tanque de combustible?  4)

En  un  conocido  hipermercado,  al  finalizar  la  actividad  diaria  se  contabilizaron  en  caja  1520 

billetes. La cantidad de billetes de $ 50 era la cuarta parte de la cantidad de billetes de $ 100. La de $  10, el triple de la cantidad de $ 50.  Se contaron tanto billetes de $ 5 como la mitad de la correspondiente a los de $ 10. ¿Cuántos billetes  de $ 50 había en la caja? ¿Cual fue la recaudación total?  5)

Martín le lleva 4 años a su hermano Luis. ¿Que edad tiene cada uno actualmente si hace 5 años 

la edad de Martín era el doble de la de su hermano?  6)

La suma de tres múltiplos de 3 consecutivos es 63. Calcular dichos números. 

7)

El perímetro de un rectángulo es 216m. Si el doble del ancho excede en 7 m a los tres cuartos 

del largo. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?  8)

El perímetro de un triángulo isósceles es 180 cm. Cada uno de los lados iguales es 30 cm mayor 

que la base. ¿Cuál es la longitud de cada lado?  9)

Un niño tiene el triple de la edad que tenía hace 8 años. ¿Qué edad tiene ahora? 

       

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