Ecuaciones E Inecuaciones Con Valor Absolut1

ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Ecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│= c Al inicio del semestre se señaló que el valor absoluto de un número real es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica, esto es, │a│=│-a│. Usamos este argumento para resolver ecuaciones con valor absoluto. Por ejemplo, si │x│= 3, entonces x = 3 ó x = -3. Por lo tanto, la solución de la ecuación │x│= 3 es -3 y 3. Las soluciones de una ecuación de la forma │ax + b│= c, donde a ≠ 0 y c es un número positivo, son aquellos valores que satisfacen: ax + b = c ó ax + b = -c. Ejemplos para discusión: 1) │3x - 4│ = 5 2)

1 x −1 = 5 2

3) │3x - 1│+ 2 = 5 4) │x + 2│ = │x - 7│ Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones: 1) │3x - 4│= 23 2) │2x + 1│ + 3 = 8 3)

2 x+4 =2 3

4) │x - 6│ = │5x + 8│

Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│< c

¿Qué significa │x│< 2 ? Significa que x es un número menor que 2 unidades desde cero a la recta numérica. La recta numérica nos ayuda a visualizar la situación. Dibuja en el espacio provisto la recta numérica.

Observa que los valores que satisfacen la expresión │x│< 2 están entre -2 y 2. Es decir, que estos valores están en el intervalo entre -2 y 2, esto es, -2 < x < 2. Propiedad: Si a es un número real positivo y │x│< a, entonces –a < x < a. Ejemplos para discusión: 1) │x│< 3 2) │x + 5│ ≤ 10 3) │3x - 2│≤ 8 4) │2(x – 1) + 4│ < 8 Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones: 1) │x│≤ 5 2) │x - 6│ < 15 3) │2 + 3(x – 1)│< 20

Inecuaciones con valor absoluto de la forma │ax + b│> c ¿Qué significa │x│> 2 ? Significa que x es un número mayor que 2 unidades desde cero en la recta numérica. Esto ocurre cuando x está a la izquierda de

-2 en la recta numérica, esto es, cuando x < -2. También ocurre cuando x está a la derecha de 2 en la recta numérica, esto es, cuando x > 2. Dibuja la recta numérica en le espacio provisto para que puedas visualizarlo.

De manera que la solución de │x│> 2 es x < -2 ó x > 2. Propiedad: Si a es un número real positivo y │x│> a, entonces x < -a ó x > a. Ejemplos para discusión: 1) │x│≥ 3 2) │x - 4│> 5 3) │2x - 3│> 5 4) 3 −

2 x ≥5 3

Ejercicio: Resuelve cada una de las siguientes inecuaciones. 1) │x│> 5 2) │x + 6│> 2 3) │-5x - 2│>13