Ecuaciones Diferenciales.docx

ECUACIONES DIFERENCIALES PASO 1. PRUEBA DE CONOCIMIENTOS PREVIOS

PRESENTADO POR: NEYSERLEN PERTUZ CHAVERRA GRUPO: 551119- 8

PRESENTADO A: PEDRO JOSE RUIZ DIRECTOR DEL CURSO.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS FEBRERO: 11-02-2019

DESARROLLO ARGUMENTATIVO

1. Encuentre la anti derivada de la ecuación diferencial: 𝒇,, (𝒙) = 𝟐𝟎𝒙𝟑 − 𝟏𝟎, con las condiciones iniciales: 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝒚 𝒇, (𝟏) = −𝟓 𝒇(𝒙) = ∫ 𝒇,, (𝒙)𝒅𝒙

𝑓 , (𝑥) = (20

𝑥4 − 10𝑥)𝑑𝑥 4

𝑓 , (𝑥) = ∫(5𝑥 4 − 10𝑥)𝑑𝑥

𝑓 , (𝑥) = ∫ 5𝑥 4 − 10𝑥 + 𝑐 𝑓 , (−5) = 5(−5)4 − 10(−5) + 𝑐 𝑓 , (−5) = 5(625) + 50 + 𝑐 𝑓 , (−5) = 5(625) + 50 + 𝑐 𝑓 , (−5) = 3125 + 50 + 𝑐 𝑓 , (−5) = 3175 + 𝑐 𝑐1 = −3175 𝒇(𝒙) = ∫ 𝒇, (𝒙)𝒅𝒙 𝑓 , (−5) = 5(−5)4 − 10(−5) − 3175 𝑓 , (𝑥) = ∫ 5𝑥 4 − 10𝑥 − 3175 + 𝑑𝑥 𝑥5 𝑥2 𝑓(𝑥) = 5 − 10 − 3175𝑥 + 𝑐 5 2 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 − 5𝑥 5 − 3175𝑥 + 𝑐 𝑓(𝑥) = 15 − 5(1)2 − 3175(1) + 𝑐

𝑓(𝑥) = 1 − 5 − 3175 + 𝑐 𝑓(𝑥) = 1 − 3180 + 𝑐 𝑓(𝑥) = −3179 + 𝑐 𝑐2 = −3179

2. A través de la regla de la sustitución, encuentre la antiderivada de: ∫ 𝒙𝟒 𝐜𝐨𝐬(𝒙𝟓 ) 𝒅𝒙 𝑢 = 𝑥5 𝑑𝑢 = 5𝑥 4 𝑑𝑥 =

=∫

𝑑𝑢 4 𝑥 𝑑𝑥 5

𝑥 4 cos 𝑢 𝑑𝑢 5

=

1 ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 5

=

1 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝑐 5

=

1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 5 + 𝑐 5

3. A través de la regla de la sustitución, encuentre la antiderivada de: ∫ 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙√𝟏 + 𝒔𝒆𝒄𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ∗ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑; 𝑢 = 𝑔(𝑥)

1 + sec(𝑥) 𝑑𝑢 =

∫ √𝑢 𝑑𝑢

tan(𝑥) 𝑑𝑥 cos(𝑥)

1

𝑢2+1 = 1 2+1 1

(1 + sec(𝑥))2+1 = 1 2+1 =

3 2 1 ( + 1)2 + 𝑐 3 cos(𝑥)

4. Encuentre la antiderivada a través del uso de las potencias de funciones trigonométricas de: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒙√𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)√cos(𝑥)𝑑𝑥

∫(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)√cos(𝑥)𝑑𝑥 𝑢 = cos(𝑥) 𝑑𝑢 = −sen(x)𝑑𝑥 = ∫ −√𝑢 (1 − 𝑢2 )𝑑𝑢

= − ∫ √𝑢 (1 − 𝑢2 )𝑑𝑢 5

= − ∫ √𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 3

7

2𝑢2 2𝑢2 =( − ) 3 7 7

3

2𝑐𝑜𝑠 2 2𝑐𝑜𝑠 2 = − +𝑐 7 3

5. Encuentre la antiderivada a través del uso del método de sustitución trigonométrica de: ∫ 𝒙𝟑 √ 𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 ∫ 8 𝑡𝑎𝑛3 𝜃√4 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 + 4 ∗ 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃

2 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 0 4 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 𝑥 2 8 𝑡𝑎𝑛3 𝜃 = 𝑥 3 2 𝑠𝑒𝑐 3 𝜃 𝑑 𝜃 = 𝑑𝑥 ∫ 8 𝑡𝑎𝑛3 𝜃√4 (𝑡𝑎𝑛2 𝜃 + 2) ∗ 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃

= 32 ∫ 8 𝑡𝑎𝑛3 𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑐𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃𝑑 𝜃

= 32 ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑐 3 𝜃𝑑 𝜃

= 32 ∫ (𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 1)𝑡𝑎𝑛𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑐 3 𝜃𝑑 𝜃

= 32 ∫ 𝑠𝑒𝑐 4 𝑠𝑒𝑐 𝜃 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃 − 32 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑠𝑒𝑐 𝜃 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃 32 ∫ 𝑢4 𝑑𝑢 − 32 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢

32 (

𝑢5 𝑢5 ) − 32 ( ) + 𝑐 5 5

32 (𝑠𝑒𝑐𝜃)5 − 32(𝑠𝑒𝑐𝜃)3 + 𝑐 5 32 √𝑥 2 + 4 5 32 √𝑥 2 + 4 3 ( ) − ( ) 5 2 3 2 32 √𝑥 2 + 4 5 32 √𝑥 2 + 4 3 ( ) − ( ) 5 32 3 8 3 1 4 (√𝑥 2 + 4)5 − (√𝑥 2 + 4) + 𝑐 5 3

1 2 4 √𝑥 + 4(𝑥 2 + 4) − √𝑥 2 + 4(𝑥 2 + 4) + 𝑐 5 3

6. Al resolver la integral: ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟓 𝐱 𝐬𝐞𝐜 𝐱 𝒅𝒙 se obtiene: A. 𝑠𝑒𝑐 5 𝑥 + 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐 B. 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥 + 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑐 C.

1 5

𝑡𝑎𝑛5 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐

𝟏

𝟐

D. 𝟓 𝒔𝒆𝒄𝟓 𝒙 − 𝟑 𝒔𝒆𝒄𝟑 𝒙 + 𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝒄 Justificación de la respuesta así:

∫ 𝑡𝑎𝑛5 𝑥𝑠𝑒𝑐𝑥𝑑𝑥 =

𝑠𝑒𝑐 5 (𝑥) 5

−

2𝑠𝑒𝑐 3 (𝑥) 3

+ sec(𝑥) + 𝑐 , La respuesta de la

pregunta planteada es la opción D

7. Encuentre la antiderivada a través del uso del método de las fracciones parciales 𝟐𝒙+𝟏

de:∫ (𝒙−𝟏)(𝒙+𝟑) 𝒅𝒙 ∫

2𝑥 + 1 𝐴 𝐵 𝑑𝑥 = + (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) (𝑥 − 1) (𝑥 + 3)

∫

2𝑥 + 1 𝐴(𝑥 + 3) 𝐵(𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = + (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) (𝑥 − 1) (𝑥 + 3)

2𝑥 + 1 = 𝐴(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 − 1) 𝑥=1 2 + 1 = 𝐴(1 + 3) 3 = 𝐴(1 + 3) 3 = 𝐴 + 3𝐴 3 = 4𝐴 𝐴=

3 4

𝑥 = −3 −6 + 1 = 𝐵(−3 − 1) −5 = 𝐵(−4) −5 = −4𝐵 𝐵=

−5 −4

𝐵=

5 4

Entonces 3 5 2𝑥 + 1 4 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 4 𝑑𝑥 (𝑥 − 1)(𝑥 + 3) 𝑥−1 𝑥+3 =

3 𝑖𝑛|𝑥 − 1| + 5𝑖𝑛|𝑥 + 3| + 3 4

8. Sea la función 𝒇(𝒙) = 𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝒙𝟑 , que determina la función en el intervalo [𝟎, 𝟑]. Dibuje la región en el plano y determine el sólido de revolución cuando la región gira en torno al eje 𝒙 = 𝟒

∞

9. El valor de la integral ∫𝟎 𝒙𝒆−𝟓𝒙 𝒅𝒙 es aproximadamente: A. Divergente B. 0 C. 1⁄5

D. 𝟏⁄𝟐𝟓 Justificación de la respuesta del ejercicio planteado así. ∫

1 𝑑𝑥 𝑎𝑥𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) + 𝑐 1 + 𝑥2

lim 𝑎𝑥𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) = −

𝑥→−∞

lim 𝑎𝑥𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥) =

𝑥→−∞

=

𝜋 2

𝜋 2

𝜋 𝜋 − (− ) = 𝜋 2 2

La respuesta del ejerció planteado es la opción D B. La serie:∑∞ 𝒏=𝟏

𝟖𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝟏+𝒏𝟐

converge a: (Sugerencia: haga uso del criterio de la

integral) A. 𝜋⁄2 B. No convergente C. 𝜋⁄4 D. 𝜋 2 La respuesta del ejercicio planteado es la opción B

10. Mediante la regla de la cadena 𝑤 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 y 𝑥 = 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑠 ; 𝑦 = 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑠 ; encontrar las 𝑧 = √𝑠 2 + 𝑡 2 , encontrar las derivadas parciales:

𝜕𝑤 𝜕𝑠

y

𝜕𝑤 𝜕𝑡

𝜕𝑤 𝜕𝑤 2 𝜕𝑤 2 (𝑦 ) + = (𝑤 = 𝑥 2 ) + (𝑧 ; 𝑥 = 𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑠); 𝑦 = 𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑠); = √𝑠 2 + 𝑡 2 ) 𝜕𝑠 𝜕𝑠 𝜕𝑠 𝜕𝑤 = (𝑤 = 𝑥 2 ) = 0 𝜕𝑠 𝜕𝑤 = (𝑦 2 ) = 0 𝜕𝑠

𝜕𝑤 = (𝑧 2 ; 𝑥 = 𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑠); 𝑦 = 𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑠); 𝜕𝑠 = √𝑠 2 + 𝑡 2 ) + (−𝑠𝑒𝑛(𝑠)√𝑡 2 + 𝑠 2 ) +

𝑠𝑐𝑜𝑠(𝑠) √𝑡 2 + 𝑠 2

))

0+0 + 𝑧 2 ; 𝑥 = 𝑡; 𝑦 = 𝑡; 𝑧 = (𝑐𝑜𝑠(𝑠)cos(𝑠)√𝑠 2 + 𝑡 2 ) + (−𝑠𝑒𝑛(𝑠)√𝑡 2 + 𝑠 2 ) + 𝑠𝑐𝑜𝑠(𝑠) √𝑡 2 +𝑠2

𝑠𝑒𝑛(𝑠))

𝜕𝑤 = (𝑤 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ; 𝑥 = 𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑠); 𝑦 = 𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑠); 𝑧 = √𝑠 2 + 𝑡 2 ) 𝜕𝑠 𝜕𝑤 𝜕𝑤 2 𝜕𝑤 2 = (𝑤 = 𝑥 2 ) + 𝑦 + (𝑧 ; 𝑥 = 𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑠); 𝑦 = 𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑠); 𝑧 = √𝑠 2 + 𝑡 2 ) 𝜕𝑠 𝜕𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑤 = (𝑤 = 𝑥 2 ) = 0 𝜕𝑡 𝑤 = (𝑦 2 ) = 0 𝜕𝑤 2𝑡 2 + 𝑠 2 = 𝑧 2 ; 𝑥 = 𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑠); 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑠); 𝑧 = 1𝑡 √𝑠 2 + 𝑡 2 ) + 𝑡 𝜕𝑡 √𝑠 2 + 𝑡 2 2

0 + 0 + 𝑧 ; 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑠); 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑠); 𝑧 = 1𝑡√𝑠 2 + 𝑡 2 ) +

2𝑡 2 + 𝑠 2 √𝑠 2 + 𝑡 2

𝑡

BIBLIOGRAFIA 

Mesa, Fernando. Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones, 2012. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&docID =10995711&tm=1498052122554



Caicedo, A., & García, J. M. (2010). Métodos para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Bogotá, CO: Ediciones Elizcom. Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?ppg=1&docID =10565809&tm=1498052881362



Unicoos. [Matemáticas]. (2013 febrero 17). EDO 01 Ecuación Diferencial de primer orden UNIVERSIDAD únicoos [mp4]. Recuperado de