Ecuaciones Diferenciales Por Gregori Tineo Luna 16-0313.docx

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Grégori Tineo Luna 16-0313

Determine el grado y el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales: Para esto se debe encontrar la variable que contenga la mayor derivada o lo que es lo mismo, que se haya derivado más veces. Ejemplo: 1) y' = 10x + 3 Ésta Ec.Df es de primer orden y de primer grado, porque la derivada (y') que aparece está una sola vez derivada (y')y esta elevada al exponente uno (1) que de hecho no se marca. Otros ejemplos: ______________________________________________________________ 2) x2 y'' + 5xy' + 4y = 0 Ésta Ec.Df es de segundo orden y de primer grado, porque la derivada (y'') que aparece está dos veces derivada (y'') y esta elevada al exponente uno (1) que de hecho no se marca. _______________________________________________________________ 5) (y'')2+ 4y = 0 Ésta Ec.Df es de segundo orden y de segundo grado, porque la derivada (y'') que aparece está dos veces derivada (y'') y esta elevada al exponente (2). ______________________________________________________________ 3) d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex 4) Ésta Ec.Df es de segundo orden y de primer grado, porque la derivada (y'') mayor que aparece está dos veces derivada (y'') y esta elevada al exponente uno (1) que de hecho no se marca. Para entender mejor: Esta notación ``d2y`` se puede reescribir así: (y'') Nótese que en esta expresión (d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex) ; d2 está indicando la veces que fue derivada d2 =y`` , y [ ]3 está señalando el exponente: [ y` ]3 Qué es lo que se debe saber: 1- Identificar la mayor derivada 2- A cual exponente esta elevada 3 Tomar en cuenta la notación en cómo se representa una derivada (d =y`)

Practique con este ejemplo: 5) (y'')3+ 4y' - 5y = 0

Verifica por sustitución que la funcione dada es una solución de la ecuación diferencial. y' = 10x + 3; y = 5x2 + 3x + 2 En estos problemas las primas significan la derivada con respecto de x. y' = 10x + 3; y = 5x2 + 3x + 2 Es decir, que la primera expresión (y' = 10x + 3) ya fue derivada y que la expresión (y = 5x2 + 3x + 2), se debe derivar tantas veces como indique que fue derivada la primera expresión; en este caso fue una única vez, entonces procedemos: Derivamos una vez y = 5x2 + 3x + 2 y` = 5(2)x2-1 + 3(1)x1-1 + 2(0) y` = 10x + 3(1)x0 +0 y` = 10x + 3 Como vemos el resultado es igual a la ecuación diferencial dada se satisface. y' = 10x + 3= →y` = 10x + 3 Como vemos el resultado es igual a la ecuación diferencial dada. Se cumple la igualdad, por tanto es solución. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------Ejemplo 2: →

y''+ 4y = 0 ^ y = sen2

Paso 1: Buscar la expresión que no se ha derivado, (y = sen2x) Derivamos a → y = sen 2x dos veces. Y`=2cos2x →primera derivada Encontramos la segunda derivada de → Y`=2cos2x Y``=2(-2senx2x)

Y``=-4senx2x Sustituyendo en y''+ 4y = 0, tenemos: y''+ 4y = 0 -4senx2x+4(sen2x)=0 -4senx2x+4sen2x=0 0=0 Se cumple la igualdad, por tanto es solución. y’’- 2y’ +2y=0^ y= exsen x Encontremos la segunda derivada de → y= exsen x Recuerda que se aplicamos la regla del producto para derivar la expresión: y= exsen x Y`=( ex )`sen x + ex (sen x)` Y`=ex sen x + ex cos x → simplificamos ex Y`= ex(sen x + cos x) a esto le encontramos la segunda derivada Y``= ex(sen x + cos x)+ ex(cos x –sen x) Y``= exsen x + excos x+ excos x –exsen x → simplificamos donde seas posible Y``= excos x+ excos x Y``= 2excos x Sustituimos en → y’’- 2y’ +2y=0 a (Y``= 2excos x

y a Y`= ex(sen x + cos x)

2excos x - 2ex(sen x + cos x) + 2 exsen x=0 → simplificamos: 2excos x - 2exsen x -2ex cos x + 2 exsen x=0 0=0 Se cumple la igualdad, por tanto es solución. Qué es lo que se debe saber: 1 Identificar la expresión no derivada 2 Ver la mayor derivada de la otra expresión y derivar la no derivada tantas veces como la que esta derivada 3 Sustituir en la primera expresión y comprobar la igualdad. Practique con estos ejemplos: i.

y' = 1 ^ y = x

ii.

y'' + 4 x-1y' = 0^ y = x-3

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RESUELVA LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES a) dy= 4-2x dx 3y2-5 Para este tipo de ejercicios, se deben separar las variables de forma tal que cada variable quede con su diferencial correspondiente.

a) dy= 4-2x dx 3y2-5 (3y2-5)dy=(4-2x)=dx 𝑎 𝑐 𝑎𝑑 Aquí se aplica la siguiente propiedad: ( = ) = en una 𝑏 𝑑 𝑏𝑐 igualdad el producto de los medios debe ser igual. Y obtenemos esto: (3y2-5)dy=(4-2x)=dx El siguiente paso es integral a ambos lados: ∫(3y2-5)dy=∫(4-2x)=dx 3𝑦 3 3

-5y=4x-

2𝑥 2 2

-+C

y3-5y=4x-x2+C b) dy= x2 dx 1+y2 Separamos las variables, recuerda aplicar la propiedad. (1+y2)dy=x2=dx Integramos a ambos lados: ∫(1+y2)dy=∫x2dx Agregamos la constante de integración. Y+ y3/3= x3/3 +C Qué es lo que se debe saber: 1 Separar las variables. 2 Integral ambos lados

3 Recordar agregar la cosntante de integración (C), y saber la igualdad de 𝑑𝑦

expresar el direncial, por que puede venir expresado así → y' =

𝑑𝑥

Practique con estos ejemplos: 𝑥2

i.

) y' =

ii.

) x y' = 4y dy= 4y dx x

𝑦

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Ejercicio sobre ED de segundo orden Resuelva correctamente las siguientes ecuaciones

a) y''-4y'-12y=0 para este tipo de ecuaciones, buscamos una solución para Y de la forma:

y=ekx Para ella derivamos dos veces la igualdad

y=ekx y`=kekx y``=k2ek x

a) Luego con los coeficientes de Y en → y''-4y'-12y=0, acompañamos los ``K`` y formamos una ecuación cuadrática

k2 -4k-12=0 → ecuación auxiliar: Luego la resolvemos por cualquier método k2 -4k-12=0 aquí y por preferencia por factorización (k-6)(k+2)=0 Resolvemos y nos queda (k-6)=0 →k=6 (k+2)=0 →k=-2

Las igualdades de los `K`los sustituimos en los exponentes de (e) Solución El conjunto solución: (Y=C1e6x +C2e-2x )

Qué es lo que se debe saber: 1 Formar la ecuación con los coeficientes de `Y`. 2 Resolver la ecuación cuadrática resultante para encontrar las soluciones. 3 Sustituir los valores encontrados en los exponentes de (e), los exponente de (e) pueden estar representado por k, r, m, n, etc. No importa ni tiene una variable específica, pero generalmente es ``r`` aquí para el ejemplo usamos k.

Nota: en ekx sólo se cambia el valor de ( k, r, m, n, etc ) nunca el de `x` Practique con estos ejemplos: i. ii. iii. iv.

) y''-7y'+12y=0 ) 5 y''=0 ) 2y''-3y'+y=0

1) Resuelva la ecuación y’= -10x+15y-25 2) Resuelva la ecuación dy/dx= 2x-5y + 2

NOTA: la solución a estos ejercicios lo explico en línea en el siguiente enlace (link) https://www.youtube.com/watch?v=SoKbxGjn5Xk

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