Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Con Mathematica 5.2 - Calculo Iii

CARACTERIZACION ES Y ALGORITMOS DE RESOLUCIÓN

Palacin Palacios Daniel

ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES

•Caracterizac ión

Si la condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial ordinaria de primer orden sea de variables separables es que la función verifique la relación. ( 1.1

GUÍA PARA EL ALUMNO 1.

2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9.

Ejercicios Comprobar que el programa anterior resuelva correctamente las siguientes ecuaciones: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

Solució n: Solució n: Solució n: Solució n: Solució n: Solució n: Solució n: Solució n: Solució n: Solució n:

No es de variables separables

No es de variables separables

2.2. Guión para el alumno Clear["Global`*"]; f[x_,y_] = Input["Introduce la función f(x,y) que aparece en la ecuación y' = f(x,y)"];

@D @ H@D LH@D LD

u x_, y_ = FullSimplify ¶x f x, y h[w]=FullSimplify[f[x,wu[x,y]x]];

¶ y f x, y

;

2.3. Ejercicios Comprobar que el programa anterior resuelva correctamente las siguientes ecuaciones:

3. Ecuaciones homogéneas

3.1. Caracterización

La condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial ordinari primer orden y´ = f(x, y) sea homogénea es que la función f verifique la rel

(3.1 )

Vamos a demostrar que, en defecto, la condición (3.1) caracteriza las ecuaciones homogéneas.

3.2. Guión para el alumno Clear["Global`*"]; f[x_,y_] = Input["Introduce la función f(x,y) que aparece en la ecuación y'= f(x,y)"]; g[u_]=FullSimplify[f[1, u]];

3.3 Ejercicios Comprobar que el programa anterior resuelve correctamente las siguientes ecuaciones.

4 Ecuaciones lineales 4.1 Caracterización la condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial ordinaria de primer orden sea lineal es que la función verifique la relación.

(4.1) Vamos a demostrar que, en efecto la condición (4.1) caracteriza las ecuaciones lineales.

4.2 Guion para el alumno 1º

2º

3º

4º

4.3 Ejercicios Comprobar que el programa anterior resuelve correctamente las siguientes ecuaciones.

5 Ecuaciones de Bernoulli 5.1 Caracterización La condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial ordinaria de primer orden sea de Bernoulli es que la función verifique la relación (5.1) Donde hemos designado Teniendo en cuenta que la condición (5.1) implica, por un lado, que y, por otro lado, que , vamos a demostrar que, en efecto dicha condición caracteriza las ecuaciones de Bernoulli.

5.2 Guion para el alumno 1º

2º

Paso :1 Reconociendo nuestra alfa

En el programa quedaría de la siguiente manera

Ejercicios

6. ECUACIONES DE RICCATI 6.1. Caracterización La condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial ordinaria de primer orden = f(x, y) sea de Riccati es que la función f verifique la relación 3

HL

¶ f x, y ¶ y3

= 0.

Vamos a demostrar que ,en efecto, la relación (6.1) caracteriza las ecuaciones de Riccati.

En primer lugar debemos introducir la ecuacion que deseamos resolver

6.3. Ejercicios Comprobar que el programa anterior resuelve correctamente las siguientes ecuaciones, teniendo en cuenta las soluciones particulares que se proponen en cada apartado: 1)

Con solución:

2)

Con solución:Es de Riccati , pero y1(x) =x no es una solución particular

Con

3) solución:

4)

Con

solución:

5)

solución: No es de Riccati Con

6) solución:

Con

7) solución:

8)

Con

solución: 9)

Con

solución: 10)

Con

solución: Es de Riccati , pero y1(x)=cosx no es una solución particular

7. Ecuaciones exactas

7.1. Caracterización

La condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial ordinaria de primer orden clase

sea exacta es que las funciones P y Q sean de sobre una región elemental

, y que verifique la relación (7.1)

Sobre la región D Recordamos que una región y

se denomina de tipo 1 si existen dos funciones , ambas de clase

tales que la región D puede describirse mediante

a trozos sobre [a, b],

Una región

la región D

y

se denomina de tipo 2 si existen dos funciones

, ambas de clase

a trozos sobre [a, b], tales que

puede describirse mediante : 7.2 Guión para el alumno : En primer lugar debemos introducir la ecuación que deseamos resolver:

Clear ["Global '*"]; P [x_, y_]=Input ["introduce la función P(x, y) que aparece en la ecuación P(x, y) dx+Q(x, y) dy=0"]; Q [x_,y_]=Input["Introduce la función Q(x ,y) que aparece en la ecuación

a=FullSimplify [ ]; b=FullSimplify [ ]; c=FullSimplify [

]; d=FullSimplify [Print[“La a+c ] ; solución de (“,P[x,y],”)dx+(“,Q[x,y],”)dy=0 es “,d,”=c”]] Ejercicios: Comprobar que el programa anterior resuelve correctamente las siguientes ecuaciones:

1)

solución:

2)

solución:

3)

solución:

4)

solución:

5)

solución:

6) 7) 8) 9) 10)

solución: No es exacta

solución:

solución:

solución: No es exacta

solución:

8. Ecuaciones con factores integrantes 8.1 caracterización En general la ecuación diferencial P(x, y) dx+Q(x, y) dy=0 no es exacta, pero multiplicando la ecuación por un factor adecuado quede en una ecuación exacta.

, de modo que ,

Dada la ecuación P(x, y) dx+Q(x, y) dy=0, con P y Q de clase región elemental del plano), se dice que la función , es

se puede transformar

(D es una , también de clase

un factor integrante de la ecuación si Es

La condición necesaria y suficiente para que la función

sea un factor

integrante de la ecuación P(x, y) dx+Q(x, y) dy=0 es que se verifique la relación ( 8.1

Por otro lado, si

es un factor integrante de Pdx+Qdy=0 ,

depende de cierta función Entonces :

, y además se verifica que

Guion para el alumno 1 º

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3 º

4 º