Ecuaciones Diferenciales Lineales De Primer Orden Con Coeficientes Variables

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes variables y término variable (EDL1OCV) dy + u (t ) y = 0 . Para resolver esta ecuación se siguen los siguientes dt

Caso homogéneo. Sea pasos: 1. Se despeja la ecuación

dy = −u (t ) y dt

2. Se separan variables así:

1 dy = −u (t ) y dt

3. Se integra respecto a t, por separado:

1 dy

∫ y dt dt = ∫

dy = ln y + C , y > 0. y

∫ − u (t )dt = − ∫ u(t )dt 4. Se igualan las dos integrales y queda ln y + C = − ∫ u (t )dt 5. Se despeja C: ln y = −C − ∫ u (t )dt 6. Se toman exponenciales y da y (t ) = e − C e − ∫ u ( t ) dt = Ae − ∫ u ( t ) dt Entonces, la solución general de

dy + u (t ) y = 0 es y (t ) = Ae − ∫ u ( t ) dt dt

Ejemplo: dy + 3t 2 y = 0 . dt 1. u(t) = 3t2 2.

∫ 3t dt = t 2

3

+C

3. y (t ) = Ae − ( t

3

+C )

3

3

= Aet e − C = Bet con B ≡ Ae −C .

dy + u (t ) y = w(t ) dt

Caso no homogéneo. w(t) ≠ 0. Para

la solución general es

− u ( t ) dt  ∫ u ( t ) de dt  y (t ) = e ∫  A + ∫ w(t )e  . Aquí A es una constante arbitraria que se define con una condición  

inicial. Ejemplo: dy + 2ty = t . En esta ecuación u(t) = 2t, w(t) = t. dt 2 Entonces, ∫ u (t ) dt = ∫ 2tdt = t + C .

Al usar la fórmula queda: y (t ) = e − ( t

2

+C )

( A + ∫ te

t 2 +C

2

)

−t −C eC e −C = 1 queda Ae e +

2

y (t ) = Be −t +

(

)

2 2 2 2  1 2  dt = e − t e − C A + eC ∫ tet dt = Ae −t e − C + e − t  et + k  . Como 2 

(

)

2 2 1 1 + ke− t = e − t Ae −C + k + . Se hace B = ae −C + k , y al final queda 2 2

1 2

Ejercicios 1.

dy + 2ty = 0 dt

2.

dy 3 + 2ty = t ; y (0) = dy 2

3.

dy 2 + t y = 5t 2 ; y (0) = 6 dt

4. 2

5.

dy 6 + 12 y + 2et = 0; y (0) = dt 7

dy +y=t dt