Ecuaciones Diferenciales En Variables Separables

Ecuaciones diferenciales en variables separables Suponga que puede escribir F(t,x) como el producto de dos funciones f(t) y g(x) que dependen solo

de t, una de ellas, y la otra depende de x. Esto es: f(t)g(x). Entonces, se puede escribir Una expresión de esta forma es una ecuación diferencial de variables separables. Para resolver este tipo de ecuación se hace lo siguiente: dx = f (t ) g ( x ) dt

a)Se escribe

b)Se separan las variables:

dx = f (t )dt g ( x)

dx

∫ g ( x) = ∫ f (t )dt

c)Se integra:

d)Se calculan las dos integrales Nota: Todo cero (toda raíz) x = a de g(x) da lugar a la solución constante x(t) ≡ a

Ejemplo: dx t3 = dt x 6 + 1 Se identifican las funciones: f(t) = t3; g ( x) = Se separan las variables: (x6 + 1)dx = t3dt Se integra:

∫(x

6

)

+ 1 dx = ∫ t 3dt

1 x +1 6

dx = f (t ) g ( x ) . dt

Queda

1 7 1 x + x = t4 + C 7 4

Ejemplo: Resuelva la ecuación diferencial y halle la curva integral que pasa por 1 dx dx 1 2 (t, x) = (0,− ) . Separo variables: − 2 = 2tdt . Integro: − ∫ 2 = 2∫ tdt . Queda = t + C . Ordenando 2 x x x

da x =

1 . t +C 2

1 1 Para hallar la curva integral que pasa por (t, x) = (0,− ) .hay que hallar C. Entonces, x = − para 2 2

t = 0. Sustituyendo queda -

1 1 1 = ⇒ C = −2 ∴ x = 2 2 0+C t −2

Ejercicios 1.

dy + y 4e 2 x = 0 dx

2.

( xy + 3x ) dy + 2 y = 0

3.

(1 + x ) dy + (1 + y ) = 0 dx

dx

2

2

4. secxdy – 2ydx = 0 5. x2dy – csc2ydx = 0 6. xdy –ydx = 0 7. 3ydx + (xy + 5x)dy = 0