Ecuaciones Diferenciales De Orden Superior.docx

UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA

FACULTAD DE INGENIERIA

Universidad Privada de Tacna Facultad de Ingeniería

Matemática IV

Escuela Profesional de Ing. Civil

TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

PRESENTADO POR: CORDOVA PONCE Pedro

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ÍNDICE Introducción…………………………………………………………………………..3 Ecuaciones de orden superior………………………………………………………...4 Independencia lineal de funciones……………………………………………………4 Ejercicios I……………………………………………………………………………4 El wronskiano………………………………………………………………………...6 Ejercicios II…………………………………………………………………………..6 Reducción de orden…………………………………………………………………..8 Ejercicios III …………………………………………………………………………8 Operador diferencial………………………………………………………………….11 Ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior……………………………...12 Ecuaciones de orden n en las que no aparece y………………………………………12 Ecuaciones diferenciales de orden n en las que no aparece x ………………………. 12 Ecuaciones diferenciales homogéneas con respecto a y …………………………….12 Bibliografía………………………………………………………………………….. 13

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INTRODUCCIÓN Una Ecuación Diferencial Ordinaria de orden superior es una expresión que relaciona una variable dependiente (Y) y sus derivadas de cualquier orden con respecto a una variable independiente (X), así: 𝑓 (𝑥, 𝑦(𝑥), 𝐷𝑦 (𝑥), 𝐷2 𝑦 (𝑥), … , 𝐷𝑛 𝑦 (𝑥)) = 𝑟(𝑥) En el presente trabajo trataremos de explicar los conceptos referidos a las Ecuaciones no lineales de la forma 𝑓(𝑦, 𝑦 ′ , … , 𝑦 𝑛 ) = 0 , 𝑓(𝑥, 𝑦 ′ , … , 𝑦 𝑛 ) = 0. También hablaremos sobre las Ecuaciones homogéneas tanto como respecto a y, y su caso generalizado; Así como Independencia lineal de funciones. Definiremos también lo que es el Wronskiano y los operadores diferenciales. Así también a que se refiere cuando hablamos de reducción de orden.

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR Una ecuación diferencial ordinaria de orden superior es una expresión que relaciona una variable dependiente: y y sus derivadas de cualquier orden con respecto a una variable independiente x, así: 𝒇 (𝒙, 𝒚(𝒙) , 𝒚′ (𝒙) , 𝒚′′ (𝒙) , … . . , 𝒚𝒏(𝒙) ) = 𝑹(𝑥)

1. INDEPENDENCIA LINEAL DE LAS FUNCIONES Consideramos un sistema finito de n funciones: 𝒇𝟏(𝒙) , 𝒇𝟐(𝒙) , … … , 𝒇𝒏(𝒙) Definidas en algún intervalo (a,b), diremos que estas funciones son linealmente independientes si existen 𝛼1 , 𝛼2 , ……, 𝛼𝑛 . En donde: 𝜶𝟏 . 𝒇𝟏(𝒙) + 𝜶𝟐 . 𝒇𝟐(𝒙) + ⋯ + 𝜶𝒏 . 𝒇𝒏(𝒙) = 𝟎 si solo si 𝜶𝟏 =𝜶𝟐 =…= 𝜶𝒏 = 0 EJERCICIOS I: 1. Para 𝑓1(𝑥) = 𝑥 3 , 𝑓2(𝑥) = 3𝑥 , 𝑓3(𝑥) =

𝑥2 2

𝛼1 𝑥 3 + 𝛼2 3𝑥 + 𝛼3

𝑥2 =0 2

Derivamos la expresión 𝛼1 3𝑥 2 + 𝛼2 3 + 𝛼3 𝑥 = 0

(0)3𝑥 2 + 𝛼2 3 + (0)𝑥 = 0

𝛼1 6𝑥 + 𝛼3 = 0

3𝛼2 = 0

6𝛼1 = 0

𝛼2 = 0

𝛼1 = 0 6𝑥(0) + 𝛼3 = 0 𝛼3 = 0 4

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2. Para 𝑓1(𝑥) = 𝑥 , 𝑓2(𝑥) = 2𝑥 , 𝑓3(𝑥) = 𝑥 2

𝛼1 𝑥 + 𝛼2 2𝑥 + 𝛼3 𝑥 2 = 0

Derivamos la expresión 𝛼1 + 2𝛼2 + 2𝛼3 𝑥 = 0

𝛼1 + 2𝛼2 + 2(0)𝑥 = 0

2𝛼3 = 0

𝛼1 + 2𝛼2 = 0

𝛼3 = 0

𝛼1 = −2𝛼2

3. Para 𝑓1(𝑥) =

𝑥4 3

, 𝑓2(𝑥) = 6𝑥 2 , 𝑓3(𝑥) = 5𝑥

𝑥4 𝛼1 + 𝛼2 6𝑥 2 + 𝛼3 5𝑥 = 0 3

Derivamos la expresión 4

𝛼1 3 𝑥 3 + 𝛼2 12𝑥 + 5𝛼3 = 0

𝛼1 4𝑥 2 + 𝛼2 12 = 0

𝛼1 4𝑥 2 + 𝛼2 12 = 0

(0)4𝑥 2 + 𝛼2 12 = 0

𝛼1 8𝑥 = 0

12𝛼2 = 0

8𝛼1 = 0

𝛼2 = 0

𝛼1 = 0

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(0)3 𝑥 3 + (0)12𝑥 + 5𝛼3 = 0 5𝛼3 = 0 𝛼3 = 0

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2. El WRONSKIANO Es un conjunto de n funciones {𝑦_1,_2, …,𝑦_𝑛 } se define como la determinante de la matriz cuya primera fila son las funciones y las demás filas se obtienen por derivación sucesiva, así:

𝒘(𝒙)

𝒚𝟏(𝒙) 𝒚′ 𝟏(𝒙) = ⋮ 𝒏−𝟏 [ 𝒚𝟏(𝒙)

𝒚𝟐(𝒙) 𝒚′ 𝟐(𝒙) ⋮ 𝒏−𝟏 𝒚𝟐(𝒙)

… 𝒚𝒏(𝒙) … 𝒚′ 𝒏(𝒙) ⋮ ⋮ 𝒏−𝟏 … 𝒚𝒏(𝒙) ]

Es obvio que el Wronskiano estará definido en aquellos intervalos en los que tanto las funciones como sus primeras n-1 derivadas están definidas.

EJERCICIOS II: 1. Cos x , 2 , Cos 2x

cos 𝑥 𝑤 = | − sin 𝑥 − cos 𝑥

cos 𝑥 2 2 cos 2𝑥 0 −2 sin 2𝑥 | − sin 𝑥 0 0 −4 cos 2𝑥 − cos 𝑥 0

𝑤 = 4(sin 2𝑥 cos 𝑥 − 2 cos 2𝑥 sin 𝑥) 𝑤 ≠ 0 es linealmente independiente

2. x 3 , xex 𝑥3 𝑥𝑒 𝑥 𝑤=| 2 | (𝑥𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 ) 3𝑥 𝑤 = 𝑥 3 𝑒 𝑥 (𝑥 − 2) 𝑤 ≠ 0 es linealmente independiente

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3. ex , 2ex , e−x 𝑒𝑥 𝑤 = [𝑒 𝑥 𝑒𝑥

2𝑒 𝑥 2𝑒 𝑥 2𝑒 𝑥

𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥 2𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 ] 𝑒 𝑥 2𝑒 𝑥 𝑒 −𝑥 𝑒 𝑥 2𝑒 𝑥

𝑤 = 2𝑒 𝑥 -2𝑒 𝑥 +2𝑒 𝑥 -2𝑒 𝑥 +2𝑒 𝑥 -2𝑒 𝑥 𝑤=0 𝑤 = 0 es linealmente dependiente

4. cos2 x , (1 + cos 2𝑥) 1+cos 2𝑥

𝑤=|

2

− sin 𝑥

(1 + cos 2𝑥) | − 2 sin 2𝑥

𝑤 = − sin 𝑥 (1 + cos 2𝑥)+sin 𝑥 (1 + cos 2𝑥) 𝑤=0 𝑤 = 0 es linealmente dependiente 5. sin 𝑥 , cos 2𝑥 , 2𝑥 , 𝑥 3 𝑠𝑖𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑤=| − sin 𝑥 − cos 𝑥

𝑐𝑜𝑠 2𝑥 −2 sin 2𝑥 −4 cos 2𝑥 8 sin 2𝑥

𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑤 = 2𝑥(−1) | − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 4

2𝑥 𝑥 3 2 3𝑥 2 | 0 6𝑥 0 6

−2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 −4 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 8 𝑠𝑖𝑛 2𝑥

3𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 6𝑥 | + 2(−1)5 | − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 6 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑐𝑜𝑠 2𝑥 −4 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 8 𝑠𝑖𝑛 2𝑥

𝑥3 6𝑥 | 6

𝑤 = 2𝑥 (−36𝑥 sin 2𝑥 cos 𝑥 − ((12𝑥 2 + 24) cos 2𝑥 cos 𝑥) − ((24𝑥 2 + 12) sin 2𝑥 sin 𝑥)) − 2 (−18 sin 𝑥 cos 2𝑥 − ((4𝑥 3 + 6𝑥) cos 2𝑥 cos 𝑥) − ((48𝑥 + 8𝑥 3 ) 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥)) 𝑤 = 36 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 72𝑥 2 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − ((16𝑥 3 + 36𝑥) 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥) −((32𝑥 3 − 72𝑥) 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥) 𝑤 ≠ 0 es linealmente independiente 7

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3. REDUCCIÓN DE ORDEN Consideramos una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, así: 𝒂𝒏(𝒙) . 𝒚𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏(𝒙) . 𝒚𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟎(𝒙) . 𝒚 = 𝟎 En donde n es la cantidad de veces que se a derivado Y. El objetivo es reducir dicha ecuación a una ecuación de primer orden para lo cual se realizará un C.V. donde: 𝒚(𝒙) = 𝝁(𝒙) . 𝒚𝟏 Teniendo en cuenta que 𝒚𝟏 es una solución de la ecuación diferencial. EJERCICIOS III:

1. Dada 𝒚𝟏 = 𝒆𝒙 es solución de 𝒚′′ − 𝒚 = 𝟎 hallar la segunda solución 𝑦2 por el método de reducción de orden. Solución: Si 𝒚(𝒙) = 𝒖(𝒙) . 𝒆𝒙 , entonces: 𝑦 ′ = 𝑢′(𝑥) . 𝑒 𝑥 +𝑢(𝑥) . 𝑒 𝑥

;

𝑦 ′′ = 𝑢′′(𝑥) . 𝑒 𝑥 +𝑢(𝑥) . 𝑒 𝑥 + 2𝑢′(𝑥) . 𝑒 𝑥

Que sustituyendo en la E.D.O.: 𝒚′′ − 𝒚 = 𝒆𝒙 . (𝒖′′ (𝒙) + 𝟐𝒖′ (𝒙) ) = 𝟎 Como 𝒆𝒙 ≠ 𝟎, entonces 𝒖′′ (𝒙) + 𝟐𝒖′ (𝒙) = 𝟎

Haremos un C.V.: 𝑤 = 𝑢′ ; 𝑤 ′ = 𝑢′′ 𝑤 ′ + 2𝑤 = 0 U(x)=𝐶1 𝑒 − ∫ 2 = 𝐶1 𝑒 −2𝑥 = 𝑢′ 1 𝑢 = − 𝐶1 𝑒 −2𝑥 + 𝐶2 2 𝟏 𝒚(𝒙) = − 𝑪𝟏 𝒆−𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆𝒙 𝟐

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Recordemos que teníamos 𝑦1 = 𝑒 𝑥 como primera solución de 𝑦 ′′ − 𝑦 = 0 . Si tomamos 𝐶2 = 0, 𝐶1 = −2 para nuestra segunda solución, tenemos 𝑦2 = 𝑒 −𝑥 . Observa que 𝑊(𝑒 𝑥 , 𝑒 −𝑥 ) ≠ 0 para todo x, de modo que las soluciones son independientes.

2. Encuentre la solución general de la ecuación. 𝒙𝟐 𝒚′′ − 𝒙(𝒙 + 𝟐)𝒚′ + (𝒙 + 𝟐)𝒚 = 𝟎 si se cumple que una solución es 𝒚𝟏 = 𝒙 𝑦(𝑥) = 𝑢(𝑥) 𝑦1 𝑦(𝑥) = 𝑢(𝑥) 𝑥 𝑦′(𝑥) = 𝑢′ 𝑥 + 𝑥 𝑦′′(𝑥) = 𝑢′′ 𝑥 + 2𝑢′

𝑥 2 (𝑢′′ 𝑥 + 2𝑢′ ) − 𝑥(𝑥 + 2)(𝑢′ 𝑥 + 𝑥 ) + (𝑥 + 2)𝑢𝑥 = 0 3 ′′ 2 ′ 3 ′ 2 (𝑥 𝑢 2 +′ 2𝑥 𝑢 − 𝑥 2𝑢 − 𝑥 𝑢) = 0 −2𝑥 𝑢 − 2𝑥𝑢 + 𝑥 𝑢 + 2𝑥𝑢

𝑥 3 𝑢′′ − 𝑥 3 𝑢′ = 0 /𝑥 3 𝑢′′ − 𝑢′ = 0 CV: 𝑣 = 𝑢′ 𝑣′ = 𝑢′′ 𝑣′ − 𝑣 = 0 𝑣′ = 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑥

∫

=𝑣

𝑑𝑣 = ∫ 𝑑𝑥 𝑣

𝑙𝑛 𝑣 = 𝑥 + 𝑐 𝑣 = 𝑒 𝑥+𝑐 = 𝑒 𝑥 𝑒 𝑐 𝑣 = 𝑐2 𝑒 𝑥 9

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𝑢′ = 𝑐2 𝑒 𝑥 𝑢 = 𝑐2 ∫ 𝑒 𝑥 𝑢 = 𝑐2 (𝑒 𝑥 + 𝑐) 𝑢 = 𝑐2 𝑒 𝑥 + 𝑐1

𝑦(𝑥) = 𝑢(𝑥) 𝑦1 𝑦(𝑥) = (𝑐2 𝑒 𝑥 + 𝑐1 )𝑥 𝒚(𝒙) = 𝒄𝟏 𝒙 + 𝒄𝟐 𝒆𝒙 𝒙 ......Sol. general

3. La función 𝑦1 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 es una solución de 𝑦 ′′ − 𝑦 = 0 𝑦(𝑥) = 𝑢(𝑥) 𝑦1 𝑦′(𝑥) = 𝑢′ 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 + 𝑢 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑥 𝑦′′(𝑥) = 𝑢′′ 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 + 2𝑢′ 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑥 + 𝑢 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥

𝑦 ′′ − 𝑦 = 0 𝑢′′ 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 + 2𝑢′ 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑥 + 𝑢 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 − 𝑢 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 = 0 𝑢′′ 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 + 2𝑢′ 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑥 = 0

𝑤 = 𝑢′ 𝑤 ′ 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 = −2𝑤 𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑥 𝑤′ 𝑤

∫

𝑑𝑤 𝑤

= −2

𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥

= −2 ∫ cosh 𝑥 𝑑𝑥

𝑙𝑛 𝑤 = −2 𝑙𝑛 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 + 𝑐1

𝑠𝑖𝑛ℎ 𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥

𝑦(𝑥) = 𝑢(𝑥) 𝑦1 𝑦(𝑥) = (𝑐1 (tanh 𝑥) + 𝑐2 ) 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 10

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𝑙𝑛 𝑤 = 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥 + 𝑐1 𝑒 𝑙𝑛 𝑤 = 𝑒 𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐ℎ

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𝒚(𝒙) = 𝒄𝟏 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒙 + 𝒄𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒙

𝑥+𝑐1

𝑤 = 𝑐1 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥 𝑢′ = 𝑐1 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥 𝑢 = 𝑐1 ∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥 𝑢 = 𝑐1 (tanh 𝑥) + 𝑐2

4.

OPERADOR DIFERENCIAL Un operador diferencial es un operador lineal definido como una función del operador de diferenciación. Ayuda, como una cuestión de notación, considerar a la diferenciación como una operación abstracta, que acepta una función y regresa otra. 𝒅𝒚 𝒅𝒏 𝒚 𝑫𝒚 = ; 𝑫𝒏𝒚 = 𝒅𝒙 𝒅𝒙𝒏 𝒅𝒏 𝒚

𝒅𝒏−𝟏 𝒚

𝒅𝒚

𝑳(𝒚) = 𝒂𝒏 (𝒙). 𝒅𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 (𝒙). 𝒅𝒙𝒏−𝟏 +…+𝒂𝟏 (𝒙). 𝒅𝒙 + 𝒂𝟎 (𝒙)

𝑳(𝒚) = 𝒂𝒏 (𝒙). 𝑫𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 (𝒙). 𝑫𝒏−𝟏 +…+𝒂𝟏 (𝒙). 𝑫𝟏 + 𝒂𝟎 (𝒙) Leyes fundamentales de operadores: •

𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 =𝑳𝟐 +𝑳𝟏

•

(𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 ) + 𝑳𝟑 = 𝑳𝟏 + (𝑳𝟐 + 𝑳𝟑 )

•

(𝑳𝟏 . 𝑳𝟐 ). 𝑳𝟑 = 𝑳𝟏 . (𝑳𝟐 . 𝑳𝟑 )

•

𝑳𝟏 . (𝑳𝟐 + 𝑳𝟑 ) = 𝑳𝟏 . 𝑳𝟐 + 𝑳𝟏 . 𝑳𝟑

5. ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

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Si la ecuación diferencial de orden n tiene una dependencia de alguno de los tipos siguientes, es posible resolverla como se indica. 5.1. Ecuaciones de orden n en las que no aparecen y: • • • •

De la forma: 𝐹(𝑥, 𝑦 𝑛−1 , … , 𝑦 𝑛 ) = 0 Se introduce un C.V.: 𝑦 𝑛−1 = 𝑝 De este modo la ecuación reduce su orden a 1: 𝐹(𝑥, 𝑝, 𝑝′ ) = 0 Es necesario integrar n veces.

5.2. Ecuaciones diferenciales de orden n en las que no aparecen x: De la forma: 𝐹(𝑦, 𝑦 𝑛−1 , … , 𝑦 𝑛 ) = 0 Se introduce un C.V.: 𝑦 𝑛−1 = 𝑝 De este modo la ecuación se reduce su orden a 1: 𝐹(𝑦, 𝑝, … , 𝑝′) = 0 • Es necesario integrar n veces.

• • •

5.3. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas con respecto a y: • Se trata de ecuaciones diferenciales de la forma: 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒚′ , 𝒚′′ , … , 𝒚𝒏 ) = 𝟎 • Que satisfacen: 𝑭(𝒙, 𝝀𝒚, 𝝀𝒚′ , 𝝀𝒚′′ , … , 𝝀𝒚𝒏 ) = 𝝀𝒌 . 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒚′ , 𝒚′′ , … , 𝒚𝒏 ) ,

𝝀≠

𝟎 • Se introduce el C.V.:

𝒚𝒏−𝟏 𝒚

=𝒖

• (𝒏 − 𝟏). 𝒚𝒏−𝟐 . 𝒚′ = 𝒖′ . 𝒚 + 𝒚𝒏−𝟏 . 𝒖 = 𝒚(𝒖′ + 𝒖𝟐 ) • De modo que la ecuación se reduce su orden a 1.

BIBLIOGRAFIA 

Espinoza Ramoz, Análisis Matemático IV. 12

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Calculo Diferencial, Moises Lazaro. Figueroa, Anlisis matematico

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