Ecuaciones De Primer Grado O Lineales.docx

ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita. Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe). Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible. 2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho. 3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible. 4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica. Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación: 2 x −3=53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad ( ¿ ), entonces para llevar el −3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de −3 es +3 , porque la operación inversa de la resta es la suma). Entonces hacemos: 2 x −3+3=53 En el primer miembro −3 2 x =53−3

2 x =56

se elimina con +3

y tendremos:

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x , entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación: 2x

( 12 )=56( 12 )

Simplificamos y tendremos ahora: x=

56 2

x=28

Entonces el valor de la incógnita o variable " x " es 28 .

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO O ECUACIÓN CUADRÁTICA Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de grado 2. Todas las ecuaciones cuadráticas pueden escribirse de la siguiente forma (llamada forma general): a x 2+ bx+ c=0 Las letras a , b y c son los coeficientes de los monomios y representan a números cualesquiera, pero siendo siempre a ≠ 0 . La letra x es la incógnita de la ecuación y representa al número (o números) desconocido que hace que la igualdad sea verdadera. Resolver la ecuación consiste en encontrar este número, llamado solución de la ecuación. El coeficiente independiente.

a

se denomina coeficiente director y

c

se denomina término

Lo que distingue a las ecuaciones de segundo grado con las de primer grado es la presencia del monomio a x 2 , (por eso tiene que ser a ≠ 0 ). Este monomio es el responsable de que la ecuación pueda tener hasta dos soluciones. Tipos de ecuaciones Las ecuaciones cuadráticas se clasifican en dos tipos según sus coeficientes c en completas e incompletas.

a,b

y

No hay relación entre el número de soluciones de la ecuación y el tipo de ecuación (completa o incompleta).

La ecuación es completa La ecuación es completa cuando los tres coeficientes a , b y c 0 .

son distintos de

Ejemplos de ecuaciones completas: 2

x + x +1=0

2 x 2−x +3=0 2

−x +5 x−3=0

Solución de ecuaciones completas Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica cuyo grado es 2, es decir, aquella en la que el grado mayor de los monomios es 2 (es decir, su parte literal es x 2 ). Puesto que la ecuación es de grado 2, tenemos, a lo sumo, 2 raíces (soluciones) distintas. Toda ecuación de segundo grado se puede escribir o reducir a una ecuación equivalente cuya forma sea: 2

a x + bx+ c=0

Las soluciones (o raíces) de la ecuación de segundo grado (en la forma anterior) vienen dadas por la fórmula cuadrática:

Llamamos discriminante, Δ, de la ecuación al radicando de la fórmula anterior, es decir,

Se cumple que 

Si Δ es 0, la ecuación tiene una única solución (de multiplicidad 2)



Si Δ es menor que 0, no existen soluciones (reales)



Si Δ es mayor que 0, existen dos soluciones (reales) distintas (de multiplicidad 1).

Factorización Factorizar una ecuación consiste en expresarla como un producto de polinomios más simples, esto es, como un producto de polinomios de grado menor. Ejemplo: 2

x +2 x +1=( x +1 ) ( x +1 ) Método para factorizar Supongamos que A y B son las dos soluciones de la ecuación



a x 2+ bx+ c=0 Entonces, podemos escribir el polinomio anterior (la parte izquierda) como 2

a x + bx+ c=a ( x− A )( x−B ) Si la única solución es A (por tanto, con multiplicidad 2), la factorización queda como



a x 2+ bx+ c=a ( x− A )2 Si no hay soluciones, no podemos factorizar.



ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA Una ecuación cuadrática es incompleta cuando uno o los dos coeficientes b y c son 0. Por tanto, tenemos tres subtipos: Tipo 1 Si b=0 y c=0 , la ecuación tiene la forma: a x 2=0 Tipo 2 Si b ≠ 0 y c ≠ 0 , la ecuación tiene la forma 2

a x + b x=0 Tipo 3 Si ¿ 0 y c ≠ 0 , la ecuación tiene la forma

2

a x + c=0

Solución de ecuaciones incompletas Ecuaciones tipo 1 Resolver: a x 2=0 No importa cuál sea el coeficiente a ≠ 0. Si pasamos el coeficiente a ≠ 0 dividiendo al otro lado, tenemos x 2=

0 a

2

x =0

El número 0 es el único cuyo cuadrado es 0, así que es la única solución de la ecuación. Estas ecuaciones sólo tienen una solución y es x=0 Ecuaciones tipo 2 Resolver: 2

a x + bx=0

Escribimos la ecuación como un producto (sacamos factor común de

x ):

x ( ax +b )=0 El producto anterior es 0 cuando uno o ambos factores es 0. Por tanto, igualamos ambos factores a 0:

Por un lado, tenemos

x=0 . Por otro, ax +b=0

De esta última ecuación obtenemos la otra solución: x=

−b a

Las soluciones de la ecuación son x 1=0

x 2=

−b a

Ecuaciones tipo 3 Resolver: a x 2+ c=0 Pasamos el término independiente al lado derecho: 2

a x =−c

Pasamos el coeficiente de la incógnita al otro lado: 2

x=

−c a

Como tenemos la incógnita al cuadrado, hacemos la raíz cuadrada: x=±

√

−c a

Tenemos que escribir el signo ± porque es una raíz cuadrada (índice par). x 1=+

√ √

x 2=−

−c a

−c a