Ecuaciones De Ondas

Ecuaciones de Ondas Claudia Marcela García Pertuz [email protected] September 7, 2009 ECUACIÓN DE ONDAS PARA UNA VARILLA Vibraciones longitudinales de una varilla: Cuando se golpea el extremo de una varilla metálica, se producen vibraciones de frecuencias muy altas pero audibles. Si la varilla está adecuadamente sujeta, por ejemplo, mediante una mordaza delgada en su punto medio, las vibraciones persisten durante bastante tiempo. La Q del sistema, especialmente en el caso de la más baja de las frecuencias naturales posibles, es bastante alta y pueden, en algunos casos, dar como resultado un tono sorprendentemente puro. El problema es realmente mucho más parecido al de la cuerda tensa, pero como veremos es bastante difícil de visualizar debido a que el desplazamiento es en la misma dirección que x y no transversal a x. Utilizaremos el simbolo para designar el desplazamiento a partir de la posición de equilibrio de cada partícula de la variable que estaba inicialmente a una distancia x de cierta sección que se supone …ja (o permanentemente desacelerada). Consideramos entonces la ecuación del movimiento de esta …na lámina de la varilla contenida en x y y + M x, que está en el estado no perturbado.

Entonces, como se indica en la …gura, el material que se muestra sombreado es primeramente comprimido y luego estirado. Se ve empujado en sentidos 1

opuestos por las fuerzas F1 y F2 . Ahora bien, el valor de F1 de pende de la variación relativa de las separaciones interatómicas en x. Análogamente, este valor depende de la variación fraccionaria o relativa de separación en x+ M x. Estas fuerzas serán en general ligeramente diferentes. Como resultado de la deformación, sin embargo, todo el material de nuestra lámina está en un estado de tensión y podemos de…nir un valor medio de esta tensión en función de la deformación total. La longitud de la lámina (originalmente M x) ha aumentado en M . Por lo tanto,

Deformación media Tensión media

M Mx M = Y Mx

=

Ahora nos daremos cuenta de que podemos de…nir la tensión en un valor particular de x como el valor deY (@ =@x) en dicho punto. Y entonces, para un punto M x bastante alejado, tendremos: (Tensión en x+ M x) = (Tensión en x) +

@(Tensión) Mx @x

Así pues, si el área de la sección recta de la varilla es , tenemos

F2

F1

=

F2

=

F1

=

@ @x @ @2 Y + Y 2 Mx @x @x @2 Y 2 Mx @x Y

Esto termina la parte conceptual difícil del cálculo. Apliquemos ahora la ley de Newton al material comprendido entre x y x+ M x. Si la densidad es , su masa es x M x. Su aceleración es la segunda derivada respecto al tiempo del desplazamiento , que coincide con en el limite de valores muy pequeños de M x. De aquí resulta

2

Y

@2 @x2 @2 @x2

M =

@2 @t2 1 @2 @2 = 2 2 Y @t2 V @t Mx

x=

con v = (Y = )1=2 . Esto es realmente semejante a la ecuacipon para la cuerda tensa y podemos empezar a buscar soluciones del tipo

(x; t) = f (x) cos !t Sin embargo, existe una importante diferencia de condiciones límites. En la mayoría de las circunstancias no tendremos ambos extremos de la varilla …jos. n Esto puede disponerse así, pero normalmente la varilla estará …ja bien por un extremo,dejando el otro extremo libre, o en el centro, en cuyo caso ambos extremos están libres. Consideremos ahora el caso en que un exremo está …jo. Supongamos que el extremo …jo coincide con x = 0, y el extremo libre corresponde a x = L. Sabemos que la ecuación implica una variación sinusoidal de con x en cualquier instante, y así se puede escribir

f (x) = ASen(

!x ) v

La condición x = L debe expresar el hecho que éste es un extremo libre. En términos físicos esto signi…ca que la tensión en ese punto es cero. Ningún material adyacente está tirando del extremo de la varilla en dicho punto, e inversamente tampoco existe ningún material adyacente que haya de ser acelerado. De aquí que, para x = L, resulte

F = Y

@ =0 @x

Esto sign…ca,

cos

!L v

=

!L = 3

0 (n

1 ) 2

siendo n un entero positivo. Las frecuencias naturales de la varilla vienen dadas así por

vn =

(n

1 2 )v

2L

=

1 2

n

Y

1=2

2L

Se puede ver que la longitud de la varilla debe acomodar un número entero de cuartos de longitud de onda de curvas sinusoidales. El modo inferior de una varilla de este tipo, …ja por un extremo, tiene una frecuencia que viene dada por

v1 =

1 4L

Y

1=2

ECUACIÓN DE ONDAS PARA UNA COLUMNA DE GAS Vibraciones de una columna de aire: Es evidente que una columna de aire, o cualquier otro gas, representa un sistema casi equivalente a una varilla sólida. Con una columna de aire es interesante considerar todos los modos que pueden obtenerse teniendo un solo extremo abierto o bien los dos. Un extremo abierto representa (aproximadamente a cualquier frecuencia) una condición de variación de presión nula durante la oscilación y un lugar de máximo movimiento del aire. Por otra parte, un extremo cerrado es un lugar donde el movimiento es nulo y máxima la variación de presión. Si el aire está contenido en un tubo con un extremo cerrado y el otro abierto, el modo de vibración y la frecuencia asociada viene de…nido por tener un nodo en un extremo y un antinodo en el otro. Pero es posible obtener otras series de vibraciones dejando ambos extremos del tubo abiertos, obteniendo, por tanto, un antinodo de desplazamiento en cada extremo. En el caso de un tubo con una longitud dada, las frecuencias posibles son entonces todos los múltiplos enteros de la frecuencia del modo inferior con un extremo cerrado. Los múltiplos impares pertenecen todos al caso del tubo cerrado y los múltiplos pares al del tubo abierto. Puede señalarse que los modos alternados en la secuencia del extremo abierto corresponden a los modos de extremos cerrados de una columna de longitud L=2. Puede señalarse también que un tubo con ambos extremos cerrados tiene una misma serie de frecuencias naturales que uno con ambos extremos abiertos, aunque di…ere de él por el intercambio de posiciones entre los nodos y antinodos. Elasticidad de un Gas: La descripción anterior nos permite numerar las frecuencias relativas de una columna de aire pero consideraremos ahora la frecuencia absoluta para una 4

columna de gas de una longitud dada. Nos interesa esencialmente la evaluación correcta de la velocidad v que aparece en la ecuación diferencial básica, y esto signi…ca que debemos utilizar un módulo de Young Y . El módulo de un gas estaba de…nido por la ecuación

K=

V

dp dV

y que para las oscilaciones de un gas las variaciones de p y V tenían lugar en condiciones adiabáticas, condiciones en las que no hay transfrencia de calor, lo cual signi…ca que la temperatura se eleva y desciende y que, por tanto, la ley de Boyle no describe la realción entre p y V . Ahora haremos un cáculo explícito. Supongase que un tubo de área de sección recta A y longitud l, cerrado por un pistón, contiene gas a una presión p y cuya densidad es . De acuerdo con la teoría cinética de un gas ideal, la presión viene dada por 1 2 v 3

p=

en donde v 2 es la velocidad cuadrática media de las moléculas. Si la masa total del gas en el tubo es m, podemos vovler a escribir la ecuación del modo siguiente:

=

m 2 v 3Al

Y esto se puede escribir de un modo más sencillo si introducimos la ecuación cinética total de traslación, Ek , de todas las partículas:

Ek =

1 mv 2 2

Sustituyendo este valor, encontramos

p=

2 Ek 3A l

Consideremos ahroa un movimiento del pistón que produzca un cambio de presión en toda la columna de gas, de tal modo que el trabajo realizado sobre el gas por el pistón se almacena dentro del gas, representando así una variación de su energía interna. La fuerza necesaria para producir una compresión es 5

esencialmente igual a pA, de modo que el trabajo realizado sobre el gas, como consecuencia de una variación de longitud, M l, de la columna de gas, viene dada por MW =

pA M l

y así es positiva si M l es negativa. Si admitimos que este trabajo se emplea exclusivamente en aumentar la energía cinética de traslación de las moléculas, M Ek =

pA M l

Sin embargo, la variación de longitud M l viene acompañada por variaciones de p lo mismo que de Ek ; a partir de la ecuación tenemos, diferenciando,

M M

1 Ml 2 M Ek Ek 3A l l2 2 Ml 2 Ek p= M Ek 3Al l 3A l p=

Por lo tanto,

M M

2 ( pA M l) 3Al 5 Ml p= p 3 l p=

Ml (p) l

Como el área de la sección recta de la columna de gs se supone que permanece sin variar, el valor de M l=l puede igualarse al cambio relativo de volumen M V =V . De aquí que resulta

Kadiabatica =

V

5 Mp = p MV 3

Este valor puede compararse con el módulo elástico isotermo, que coincide con p. La velocidad v de…nida por este valor adiabático de K viene dada, pues, por

6

v=

1; 667p

1=2

Realmente esta expresión es válida para algunos gases, pero no para todos, y no para el aire mismo. En primer lugar, que el trabajo realizado sobre el gas en la compresión se utiliza completamente para aumentar la energía del gas, en lulgar de producir pérdidas en forma de calor hacia el material que lo rodea. En segundo lugar, que esta energía retenida dentro del gas pasa enteramente a elevar la energía cinética de traslación de las moléculas, en lugar de utilizarse en parte para aumentar la energía de sus movimientos internos. La primera condición parece que se satisface en las vibraciones acústicas de todos los gases. Sin embargo, la segunda condición es válida solo para moléculas que realmente se comportan como bolas de billar macizas, lo cual se concreta en particular a los gases monoatómicos He, Ne, A, etc. Para otros gases, incluyendo el aire, parte del trabajo realizado sobre (o por) el gas da como resultado variaciones en las rotaciones o vibraciones internas de las moléculas. De aquí que para un variación dada de volumen, la variación de la energía cinética de traslación, es menor que lo que implicaría nuestro cálculo, y así, la elasticidad de un gas en la vibración adiabática puede expresarse en la forma

Kadiabatica = p en donde 1

5 3

References [Vibraciones y Ondas. A.P. French. Editorial Reverté, S.A. (1974)]

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