Ecuaciones De La Recta En El Plano

ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO

Ana Sanz

VECTOR DE POSICIÓN DEL PUNTO P Se llama vector de posición del punto P al vector que tiene el origen en O y el extremo en P

VECTOR DE POSICIÓN DEL PUNTO P(p1,p2)

P(p1,p2)

p2

OP = p1 i + p 2 j

j i

p1

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 

Sean A( a1,a2 ) y B( b1,b2) los extremos de un segmento. A

M

O

OM = OA + AM 1 AM = AB 2 1 BOM = OA + AB 2 1 (m1 , m2 ) = (a1 , a2 ) + (b1 − a1 , b2 − a2 ) 2 a1 + b1 a2 + b2 m1 = m2 = 2 2

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

a1 + b1 a2 + b2 M( , ) 2 2

ECUACIONES DE LA RECTA r  Una

recta queda perfectamente determinada cuando se conoce un punto de la misma y un vector paralelo a ella.

ECUACIONES DE LA RECTA r El vector que indica la dirección de la recta se llama vector director P

d

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA r  Sea

P(p1,p2) un punto fijo de la recta r y X(x,y) un punto genérico de la recta.

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA r P

d X

O

r : OX = OP + λ d

ECUACIONES PARAMÉTRICAS Partiendo de la ecuación vectorial:

r : OX = OP + λ d Expresando los vectores en forma de componentes: r : ( x, y ) = ( p1 , p2 ) + λ( d1 , d 2 )

ECUACIONES PARAMÉTRICAS e igualando componente a componente, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta:  x = p1 + λd1 r ≡  y = p2 + λd 2

ECUACIONES PARAMÉTRICAS

 x = p1 + λd1 r≡ y = p + λ d 2 2 

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA CONTINUA  x1 = p1 + λd 1 r ≡ x 2 = p 2 + λd 2 

Despejando el parámetro λ en las dos ecuaciones e igualando: x − p1 y − p2 r ≡ = d1 d2

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA CONTINUA

x − p1 y − p 2 r≡ = d1 d2

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA 

Operando en la ecuación continua de la recta: xd 2 −p1 d 2 = yd 1 −p 2 d 1 xd 2 −yd1 +p 2 d 1 −p1 d 2 =0



Llamando

A = d2; 

B = −d1 ;

C = p 2 d 1 − p1 d 2

Obtenemos la ecuación de la recta en forma general.

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

r: Ax + By + C = 0

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA 

Los valores de x e y que verifican la ecuación de la recta son las coordenadas de sus puntos.



El vector director de la recta es (-B, A)

VECTOR NORMAL r: Ax + By + C = 0 El vector director de la recta es: d = (−B, A) Consideremos el vector: n = ( A, B)

VECTOR NORMAL 

Multiplicando escalarmente ambos vectores: d ⋅ n = (− B, A) ⋅ ( A, B )

d ⋅ n = −BA + AB

d ⋅n =0

VECTOR NORMAL 

Los vectores d = (− B, A) y perpendiculares.



El vector

n = ( A, B)

n = ( A, B)

son

es el vector normal

VECTOR NORMAL

n = ( A, B )

PENDIENTE DE LA RECTA 

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma con la horizontal. m = tg α

α

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA PUNTO PENDIENTE  Una

recta está perfectamente determinada si se conoce un punto P(x0,y0) y la pediente m

P

α

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA PUNTO PENDIENTE y − y0 tgα = x − x0

P

y0 X

y

α

α x

x0

y − y0 m= x − x0 y − y 0 = m( x − x0 )

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA PUNTO PENDIENTE

y − y0 = m( x − x0 )

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA EXPLÍCITA Se obtiene a partir de la ecuación de la recta en forma punto pendiente, despejando y. m: pendiente de la recta. n: ordenada en el origen.

y = mx + n

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA EXPLÍCITA

y = mx + n