Ecuacion Trigonometrica

Desarrollado por el Ing. Alejandro Correa Pérez ITESM- Campus Estado de México, Noviembre 2006.

Soluciones

Igualdad que usa Funciones trigonométricas.

Ecuación Trigonométrica

Existe un número finito sólo si nos dan un intervalo.

Ejemplo:

Ecuaciones

Existe el método gráfico y el método algebraico.

Puede existir un número infinito de soluciones.

Se pueden tener valores al simplificar como cos x=2, lo cual no es correcto, ya que no puede ser el coseno mayor a 1. Este tipo de resultados se descartan. Al igual, las soluciones deben sustiturise en la ecuación original para verificar cuales sí la satisfacen.

PREPA TEC

Las Identidades Trigonométricas nos ayudan a transformar la ecuación trigonométrica.

[ 0,2π ) Ecuación Algebraica

Igualdad verdadera sólo para ciertos valores de la variable.

Número infinito de Soluciones

n es cualquier número entero 0

360 n ó 2πn

Se agrega a todas las soluciones encontradas en un ciclo

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Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6

senA =

Para un número infinito de soluciones.

1 2

Solución algebraica

A está en el Intervalo

A las soluciones encontradas para el Intervalo igual a un ciclo ó 1 vuelta se les agrega 2πn π A1 = + 2πn 6 5π A2 = + 2πn 6

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Solución Gráfica π A1 = 6 A2 = π −

π 5π = 6 6

[ 0,2π ) 1 AR = sen    2 π AR = Df 6 −1

En el intervalo dado, hay 2 soluciones o raíces para A porque el seno es positivo en el I y II cuadrantes. El ángulo de referencia nos ayuda a obtener A.

7π − 6

y = sin A

π 6

5π 6

1 y= 2

INICIO

Los valores para A son todos aquellos que al aplicarles la función seno nos da ½. Algunos se indican con las flechas.

Solución algebraica Para un número Infinito de soluciones

tan u = −1 u está en el Intervalo

A las soluciones encontradas para el Intervalo igual a un ciclo ó 1 vuelta se les agrega 2πn INICIO 7π u1 = + 2πn 4 3π u2 = + 2πn 4

Solución Gráfica π 7 u1 = 2π − = π 4 4 π 3π u2 = π − = 4 4

El ángulo de refrencia nos ayuda a obtener u.

[ 0,2π ) u R = tan −1 (1)

π uR = 4 Df En el intervalo dado, hay 2 soluciones o raíces para u porque la tangente es negativa en el II y IV cuadrantes.

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y = tan u

5π − 4

π − 4

3π 4

y = −1

Los valores para u son todos aquellos que al aplicarles la función tangente nos da -1. Algunos se indican con las flechas.

cos 2 x = 0 2x = α cosα = 0

Valores para un número Infinito de soluciones.

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Para un mejor manejo se hace 2 x = α A esto se le llama cambio de variable.

π α1 = + 2πn 2 3π α2 = + 2πn 2 Después, se sustituye 2x y se despeja a x.

π x1 = + πn 4 3π x2 = + πn 4

senϑ tan ϑ = senϑ senϑ tan ϑ − senϑ =

Soluciones intervalo [ 0,2π ) Usamos el círculo unitario por 0 medio del cual sabemos que en un ciclo hay 2 valores para los cuales el seno es 0:

senϑ (tan ϑ − 1) = 0 senϑ = 0 INICIO tan ϑ − 1 = 0

ϑ=0 ϑ =π 1

2

Por el mismo círculo unitario, sabemos que en un ciclo hay dos ángulos cuya tangente es 1:

tan ϑ = 1 Re solver senϑ = 0 tan ϑ = 1

Para un número inifinto de soluciones, sólo agregamos a los resultados obtenidos.

2πn

π ϑ3 = 4 5π ϑ4 = 4

Soluciones intervalo

[ 0,2π )

Aplicando los concepto de círculo unitario y de ángulo de referencia obtenemos las soluciones para un ciclo.

x1 = 0 x2 = π

π 6 5π x4 = 6 7π x5 = 6 11π x6 = 6 x3 =

4 sen x tan x − tan x = 0 2

tan x(4sen x − 1) = 0 2

tan x = 0 4 sen x − 1 = 0 1 2 sen x = 4 1 senx = + 2 1 senx = − 2 2

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Para un número Infinito de soluciones, sólo agregamos a los resultados obtenidos

2πn

Soluciones intervalo [ 0,2π ) Aplicando los concepto de círculo unitario y de ángulo de referencia obtenemos las soluciones para un ciclo.

Trinomio de la forma

1 cos x + = 3 senx senx 1 + cos x = 3 senx (1 + cos x ) 2 = 3 sen 2 x 1 + 2 cos x + cos 2 x = 3sen 2 x

ax + bx + c = 0

x1 = π Sólo una Solución

π 3 5π x3 = 3 x2 =

Pero CUIDADO, de los tres resultados sólo x2 satisface la ecuación original.

Identidad recíproca Y de la cotangente

1 + 2 cos x + cos 2 x = 3(1 − cos 2 x)

Identidad Pitagórica

1 + 2 cos x + cos x = 3 − 3 cos x 2

2

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csc x + cot x = 3

2

4 cos 2 x + 2 cos x − 2 = 0 4(4 cos 2 x + 2 cos x − 2) = 4(0)

Factorización

(4 cos x) 2 + 2(4 cos x) − 8 = 0 (4 cos x + 4)(4 cos x − 2) = 0 4 cos x + 4 = 0 cos x = −1 4 cos x − 2 = 0 1 cos x = 2

Para un número Infinito de soluciones sólo agregamos a los resultados obtenidos

2πn

México a 16 de noviembre del 2006. Bibiografía Algebra, trigonometry and analytic geometry by Swokowski/Cole, 11th edition, 2006 Thomson. Software usado para gráficas: http://gcalc.net Liga en internet de apoyo: http://usuarios.lycos.es/calculo21/id396.htm INICIO